謝 鑫,李國(guó)林,程國(guó)標(biāo)

(1.海軍航空工程學(xué)院,山東煙臺(tái) 264001;2.91960部隊(duì),廣東汕頭 515073)

0 引言

近炸引信技術(shù)的發(fā)展方向之一在于探測(cè)的精細(xì)化,擁有空間精確定位能力則是其中的一個(gè)具體目標(biāo)。目前引信普遍采用的傳統(tǒng)天線體制在提高空間定位能力上已經(jīng)遇到了瓶頸,比較而言,陣列天線在這一方面則具有先天的優(yōu)勢(shì)。然而陣列天線的體積和復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理要求一度限制著它在彈載乃至機(jī)載平臺(tái)的應(yīng)用。隨著共形天線技術(shù)的發(fā)展,在導(dǎo)彈無(wú)線電引信上應(yīng)用陣列天線正成為可能,這也加速了引信對(duì)于快速有效的目標(biāo)空間定位算法的需求。

空間定位的核心在于到達(dá)角(DOA)估計(jì),多重信號(hào)分類(MUSIC)DOA估計(jì)算法作為主流的超分辨算法之一,自出現(xiàn)以來(lái)就一直受到關(guān)注,由于其運(yùn)算量較大,關(guān)于降低其運(yùn)算量的研究也一直在進(jìn)行。MUSIC算法的運(yùn)算量主要集中在特征值分解和空間譜的搜索兩部分,目前已有的研究也主要集中在這兩方面。文獻(xiàn)[1—5]分別利用接收數(shù)據(jù)近似、陣元降維、多級(jí)維納濾波等方法研究了信號(hào)子空間或噪聲子空間的的快速估計(jì)算法,避開(kāi)了特征值分解問(wèn)題或簡(jiǎn)化了運(yùn)算;文獻(xiàn)[6—8]則分別利用FFT、陣元降維和有限域搜索等方法研究了空間譜的快速搜索問(wèn)題。這些方法不同程度地降低了MUSIC的運(yùn)算量,但同時(shí)多數(shù)存在估計(jì)精度降低的問(wèn)題。本文從優(yōu)化MUSIC搜索過(guò)程的角度研究降低MUSIC的運(yùn)算量的方法,提出了一種基于降維子空間的快速搜索算法。

1 陣列信號(hào)模型

考慮一個(gè)由N個(gè)陣元組成的扇形陣列,扇形張角為φ0,扇形半徑為R,各陣元沿扇形均勻排列,陣元的歸一化方向圖函數(shù)均為G(θ),方向圖指向扇形陣列外部如圖1所示。

圖1 基于有向陣元的均勻扇形陣列Fig.1 Uniform arc array Composed of directional elements

假設(shè)接收到M個(gè)非相關(guān)窄帶信號(hào),且N ＞M,設(shè)入射波信號(hào)和噪聲不相關(guān),則陣列輸出信號(hào)矢量為:

為陣列流形矩陣,其中φi為第i個(gè)信號(hào)的入射方向,a(φi)為對(duì)應(yīng)的方向向量,且有

為M個(gè)入射信號(hào)矢量。

為噪聲矩陣,其中ni(t)為第i個(gè)陣元中的零均值高斯加性白噪聲,方差為σ2。

2 降維子空間搜索算法

基于上一節(jié)中描述的陣列模型,可得陣列輸出信號(hào)的協(xié)方差矩陣。

根據(jù)式(8),依θ進(jìn)行步進(jìn)搜索,并找到譜峰所對(duì)應(yīng)的θ值即為所需的DOA。

從式(8)可以看出,每次步進(jìn)搜索中,主要為矩陣乘法運(yùn)算。A(θ)為N×M維矩陣,E N為N×(N-M)維矩陣,在實(shí)際編程計(jì)算中,一般是通過(guò)AHE N(AHE N)H來(lái)計(jì)算式(8)的,則每步搜索需進(jìn)行M×(N-M)×(N+M)次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和M×(N2-M2-N)次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算。

由于E N張成的噪聲子空間與信號(hào)子空間正交,顯然向量eM+1,…,eN都與信號(hào)子空間正交。即:

降維子空間搜索就是利用了這一特性,僅從噪聲子空間中取出R的一個(gè)特征向量進(jìn)行譜搜索。其空間譜表達(dá)式為A的列向量張成的信號(hào)子空間正交。即:

MUSIC算法正是利用這一點(diǎn)來(lái)進(jìn)行DOA估計(jì)的,其空間譜表達(dá)式為[9]:

此時(shí),在每次步進(jìn)搜索中僅需要M ×(N+M)次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和M2次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算。顯然,此時(shí)的運(yùn)算量?jī)H約為標(biāo)準(zhǔn)MUSIC算法的1/(N-M)。由于陣元數(shù)量N是要大于入射信號(hào)數(shù)量M的,且一般情況下(N-M)＞1,在彈載引信陣列天線應(yīng)用中更是如此。因此,運(yùn)算量降低至原MUSIC搜索算法的1/(N-M)還是相當(dāng)可觀的。

下面給出降維子空間MUSIC算法的具體步驟:

1)計(jì)算接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣R;2)進(jìn)行噪聲子空間估計(jì);3)利用式(10)進(jìn)行空間譜搜索計(jì)算;4)利用式(8)對(duì)上一步的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)和校正。

3 性能分析和仿真

在降低運(yùn)算量的同時(shí)同樣需要關(guān)注算法的性能,下面對(duì)算法的性能進(jìn)行分析。令

則有:U 1?U 2(當(dāng)且僅當(dāng)M=N-1時(shí)等號(hào)成立)

即可能存在某角度θ滿足θ∈U且θ?U 。這也就說(shuō)明利用這種降維子空間進(jìn)行DOA搜索可能出現(xiàn)偽峰。出現(xiàn)偽峰的原因正是因?yàn)樵肼曌涌臻g維數(shù)的減少使得其正交子空間擴(kuò)大,從而使得搜索的方向向量落入其正交子空間的概率增大。

利用第2節(jié)中的陣列模型,在陣元數(shù)為15、快拍數(shù)為256、信噪比為10 dB、信號(hào)到達(dá)角為-20°的情況下,對(duì)子空間算法進(jìn)行仿真計(jì)算,其結(jié)果如圖2所示。

圖2 降維子空間算法得到的空間譜Fig.2 Spatial spectrum estimation using dimension reduced subspace algorithm

從圖2中可以看出,降維子空間搜索算法能夠準(zhǔn)確地確定入射信號(hào)的到達(dá)角,但正如前面所分析的結(jié)果,出現(xiàn)了偽峰,這給DOA估計(jì)帶來(lái)了不確定性。通過(guò)多次仿真還發(fā)現(xiàn),偽峰出現(xiàn)的位置和數(shù)量也具有隨機(jī)性。在信噪比分別為10 dB和20 d B的情況下,經(jīng)過(guò)200次Monte-Carlo仿真統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn),得到出現(xiàn)偽峰個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)如表1所示。

表1 出現(xiàn)偽峰個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)表Statistic of the amount of false peak Tab.1

從表1可以看出,在10d B信噪比的情況下,出現(xiàn)1個(gè)偽峰的概率較高,而出現(xiàn)2個(gè)以上偽峰的概率是很低的;而且當(dāng)信噪比提高到20 dB時(shí),出現(xiàn)偽峰的個(gè)數(shù)和次數(shù)都明顯降低。

基于這些統(tǒng)計(jì)分析數(shù)據(jù),對(duì)DOA估計(jì)的檢驗(yàn)和校正就變得簡(jiǎn)單了,只需在使用降維子空間算法進(jìn)行搜索后,對(duì)得到的結(jié)果再利用式(8)進(jìn)行檢驗(yàn)。根據(jù)出現(xiàn)的偽峰個(gè)數(shù),這種檢驗(yàn)運(yùn)算一般不會(huì)超過(guò)M+2次,一般應(yīng)用中,這個(gè)運(yùn)算次數(shù)相對(duì)于步進(jìn)搜索的運(yùn)算次數(shù)是很小,從而不會(huì)增加整體運(yùn)算量。

從上面的分析中可以看出:雖然采用降維子空間進(jìn)行DOA估計(jì)所帶來(lái)的運(yùn)算量降低是以引入估計(jì)結(jié)果的不確定性為代價(jià)的,但通過(guò)利用標(biāo)準(zhǔn)MUSIC算法進(jìn)行校正,可以很方便地消除這種不確定性,而且進(jìn)行這種校正后,還可以保證估計(jì)結(jié)果在精度上沒(méi)有任何損失。

4 算法運(yùn)算量分析

在第3節(jié)中已對(duì)降維子空間搜索算法和標(biāo)準(zhǔn)MUSIC算法的運(yùn)算量進(jìn)行了簡(jiǎn)單對(duì)比。為了具體地說(shuō)明問(wèn)題,下面將對(duì)不同陣元數(shù)目、不同目標(biāo)數(shù)目的情況下兩種算法搜索過(guò)程的運(yùn)算量進(jìn)行比較分析。

根據(jù)表 1,假設(shè)偽峰數(shù)為 1個(gè),以每步 0.5°在-90°～+90°空域進(jìn)行搜索,分別對(duì)陣列數(shù)為 15和30的情況下,不同目標(biāo)數(shù)目時(shí)采用降維子空間算法在DOA搜索過(guò)程中運(yùn)算量減少的百分比進(jìn)行了分析,結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 陣列數(shù)為15時(shí)的運(yùn)算量比較Fig.3 Comparison of computational complexity in the case of 15 elements

圖4 陣列數(shù)為30時(shí)的運(yùn)算量比較Fig.4 Comparison of computational complexity in the case of 30 elements

從圖3和圖4可以看出:盡管降維子空間搜索算法需要對(duì)初步估計(jì)結(jié)果進(jìn)行校正,總的來(lái)看該算法所能夠節(jié)省的運(yùn)算量仍然是相當(dāng)可觀的,而且算法最終的精度沒(méi)有任何損失。

5 結(jié)論

綜上所述,本文所提出的基于降維子空間搜索算法先利用降維的噪聲子空間進(jìn)行DOA粗略估計(jì),使得MUSIC搜索的運(yùn)算量大大減小,然后利用最大噪聲子空間對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行修正,保證了MUSIC算法的精度不受損失;性能分析和數(shù)值仿真驗(yàn)證了該算法的有效,從而使MUSIC算法更具實(shí)用性。

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