武 軍

1 巖體簡化模型

工程巖體是被不連續(xù)面切割的天然地質(zhì)體。工程巖體的計算模式可以被歸納為四種。當(dāng)不連續(xù)面的影響很小時,巖體宏觀上表現(xiàn)為均質(zhì)、各向同(異)性特征,可以采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型。當(dāng)巖體被一條或多條主要不連續(xù)面切割,可能產(chǎn)生分離與滑移等非線性效應(yīng)時,宏觀上仍可按均質(zhì)、各向同(異)性處理,并需考慮主要不連續(xù)面的影響。當(dāng)巖體中存在大量致密且呈規(guī)律/隨機(jī)分布的不連續(xù)面時,巖體位移場是準(zhǔn)連續(xù)的,可以采用“等效”連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型。若巖體被多組不連續(xù)面切割,形成一個由有限巖塊組成的區(qū)域時,各個巖塊可能因轉(zhuǎn)動、平移,或沿不連續(xù)面的分離、滑移等產(chǎn)生不連續(xù)位移場。通常,采用不連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型。然而,巖體中廣泛分布的宏觀裂隙(節(jié)理)使巖體成為一種具有顯著各向異性的非連續(xù)介質(zhì)。對于現(xiàn)實巖體的分析就不能簡單的采用連續(xù)介質(zhì)的模型來求解,而是采用不連續(xù)介質(zhì)的力學(xué)模型。

2 節(jié)理巖體的本構(gòu)模型

根據(jù)多數(shù)研究者的見解,均質(zhì)巖體中的節(jié)理可看作圓盤狀破裂面。設(shè)其半徑為a,法線方向余弦為{ni}。節(jié)面上法應(yīng)力為σ(以拉為正),則該面上剩余應(yīng)力為:

其中,t,f分別為該面上的剪應(yīng)力和摩擦系數(shù)。

借助于斷裂力學(xué)能量釋放理論,由單個節(jié)理引起的變形能為:

對于存在m組節(jié)理,其中心點(diǎn)在空間完全隨機(jī)分布的情形,考慮到能量密度為廣延量,由節(jié)理網(wǎng)絡(luò)引起的應(yīng)變能密度為各單個節(jié)理引起的應(yīng)變能密度之和,即:

其中,λ為p組節(jié)理的體密度。

根據(jù)能量原理,由完整巖塊及節(jié)理系統(tǒng)引起的應(yīng)變能密度we和wc與等效介質(zhì)的總應(yīng)變能密度w有如下關(guān)系:

則由式(5)可導(dǎo)得節(jié)理巖體本構(gòu)關(guān)系為:

其中,Cv,Cs分別為完整巖塊的柔度張量及節(jié)理網(wǎng)絡(luò)引起的柔度張量增量,且有:

其中,h=τ/t。

3 非連續(xù)變形數(shù)值分析方法

3.1 離散單元法

離散單元法是由Cundall于20世紀(jì)70年代提出的。離散單元法是針對節(jié)理巖體提出的一種適用于模擬巖土體大位移的數(shù)值方法。它是在塊體準(zhǔn)剛性假設(shè)的前提下,以牛頓第二定律為理論基礎(chǔ)建立起來的,以微小運(yùn)動狀態(tài)的求解模擬巖體的大位移。當(dāng)所研究的塊體在力系作用下或邊界條件發(fā)生變化時,單元就在牛頓第二運(yùn)動定律下發(fā)生平移或轉(zhuǎn)動,允許調(diào)整各個塊體單元的接觸關(guān)系,接觸關(guān)系的調(diào)整產(chǎn)生新的接觸力,在該力的作用下產(chǎn)生新的位移。如此循環(huán),在不平衡力作用下,塊體產(chǎn)生運(yùn)動。

3.2 DDA方法

DDA(不連續(xù)變形分析)是由石根華博士提出的一種新型數(shù)值分析方法。它以自然存在的節(jié)理面和斷層切割巖體形成不同的塊體單元,以各塊體的位移作為未知量,通過塊體間的接觸和幾何約束形成一個塊體系統(tǒng)。在塊體運(yùn)動的過程中,嚴(yán)格滿足塊體間不侵入。將邊界條件和接觸條件等一同施加到總體平衡方程,總體平衡方程由最小勢能原理求得。

3.3 拉格朗日元法

拉格朗日元法(Fast Lagragian Analysis of Contin-na,縮寫為FLAC)是由Cundall加盟的ITASCA咨詢集團(tuán)于1986年提出的。該方法起初應(yīng)用于流體力學(xué)研究每個流體質(zhì)點(diǎn)隨時間而變化的情況,即著眼于某一流體質(zhì)點(diǎn),研究它在任意一段時間內(nèi)軌跡、所具有的速度、壓力等。后來該法被移植到固體力學(xué)中,將所研究的區(qū)域劃分成網(wǎng)格,網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于流體的質(zhì)點(diǎn),然后按時步研究網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動。這種方法適合于求解非線性的大變形問題,其按時步采用動力松弛的方法求解,不需要形成剛度矩陣,不用求解大型聯(lián)立方程,可用計算機(jī)解決較大的工程問題。

3.4 塊體單元法

塊體單元法是由任青文等改進(jìn)的。該方法是在剛體彈簧元的基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)的,以形心處的剛體位移作為基本未知量,并根據(jù)它們在外力作用下的平衡條件、變形協(xié)調(diào)條件及夾層材料的本構(gòu)關(guān)系,建立起塊體單元法的支配方程。同時,在塊體單元間設(shè)縫單元,在由虛功原理求出各塊體形心處的剛體位移后,由縫單元兩側(cè)塊體的相對位移確定縫面的變形與應(yīng)力。塊體單元法主要適用于具有地質(zhì)結(jié)構(gòu)面的巖體。

4 非連續(xù)變形計算模型基本原理

4.1 廣義有限單元

廣義有限單元是由數(shù)學(xué)覆蓋、有限物理覆蓋和本構(gòu)模型三要素構(gòu)成。廣義有限單元的數(shù)學(xué)覆蓋是指廣義有限單元的插值逼近空間,它是該單元廣義結(jié)點(diǎn)的數(shù)學(xué)覆蓋的重疊區(qū)域,其覆蓋函數(shù)是廣義有限單元的插值逼近函數(shù)。廣義有限單元的物理覆蓋是其數(shù)學(xué)覆蓋作用的有效物理區(qū)域,是廣義有限單元的積分區(qū)域,其最大區(qū)域不超越廣義有限單元的數(shù)學(xué)覆蓋,因此廣義有限單元的物理覆蓋可以是不規(guī)則區(qū)域,可在其物理覆蓋外部構(gòu)造其數(shù)學(xué)覆蓋,進(jìn)行插值,使廣義有限單元能夠處理復(fù)雜的物理邊界。廣義有限單元的本構(gòu)模型是指其應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系。可見由于數(shù)學(xué)覆蓋和本構(gòu)關(guān)系的不同,將構(gòu)成不同特性的廣義有限單元。任意廣義有限單元的數(shù)學(xué)覆蓋函數(shù)(即位移插值函數(shù))可表示為:

其中,Ni為廣義有限單元i的數(shù)學(xué)覆蓋的形函數(shù);Ui為廣義有限單元i的數(shù)學(xué)覆蓋的廣義自由度。

4.2 點(diǎn)接觸力元

點(diǎn)接觸力元是指在接觸面上接觸力受到力學(xué)上屈服準(zhǔn)則和運(yùn)動學(xué)上流動準(zhǔn)則的約束。點(diǎn)接觸力元是由接觸對組成,接觸對是由一個單元的角點(diǎn)與其相對應(yīng)的另一個單元的角點(diǎn)或邊構(gòu)成,于是接觸對有兩種類型:角與角和角與邊。廣義有限單元 i與廣義有限單元j間接觸面ij上的界面力一般可表達(dá)為:

其中,Tij為接觸面ij上的界面力的插值函數(shù);Rij為接觸面ij上的接觸應(yīng)力廣義自由度;Tijk為接觸對k在接觸面ij上的接觸力插值函數(shù),R為接觸對k在接觸面ij上的接觸ijk力,即[σijk,τijks]T;ncij為接觸面ij上的接觸對數(shù)。

4.3 非連續(xù)變形計算力學(xué)模型的控制方程

在多體系統(tǒng)實際物理剖分的基礎(chǔ)上,用點(diǎn)、線和面將多體系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)剖分而形成 ni個子區(qū)之和,在每個子區(qū)上可根據(jù)實際需要構(gòu)造廣義有限單元,令其廣義有限單元數(shù)為 nei,各廣義有限單元求解函數(shù)的模式可以互不相同,可能由于廣義有限單元間求解函數(shù)的不連續(xù)而在廣義有限單元間形成新的不連續(xù)面(接觸面),可以把它當(dāng)作接觸面處理。令任意廣義有限單元的物理覆蓋為 Aij,則有和分別為位移邊界、應(yīng)力邊界、接觸邊界和連續(xù)邊界。

非連續(xù)變形計算力學(xué)模型的分區(qū)參變量最小勢能原理可表述為:在非連續(xù)變形力學(xué)系統(tǒng)的當(dāng)前構(gòu)形和給定的外力增量作用下,對于任意子區(qū)i在滿足位移邊界條件的所有位移場中真實的位移使系統(tǒng)總勢能增量泛函 ∏1i取極小值,其中接觸力為不參加變分的參變量,其必須滿足接觸力元所受到的約束條件。

設(shè)在 t時刻非連續(xù)變形力學(xué)系統(tǒng)的初始應(yīng)力、初始應(yīng)變、初始速度和初始加速度分別為σt,εt,vt和at,在 Δt時間內(nèi),系統(tǒng)所受的體積力密度增量和外力增量分別為b和,系統(tǒng)的位移增量、速度增量、加速度增量、應(yīng)力增量和應(yīng)變增量分別為u,v,a,σ和ε。任意子區(qū) i的總勢能增量泛函 ∏1i為:

其中,第一項為子區(qū)i的總彈性勢能增量;第二項為外力和摩擦力勢能增量,并利用時域上的New mark逐步積分法:

由變分駐值條件可得到:

通過區(qū)分參變量最小勢能原理,加上參變量的控制條件,可以得到如下非連續(xù)變形計算力學(xué)模型的整體控制方程:

5 結(jié)語

本文所提及的非連續(xù)變形計算力學(xué)模型能夠比較精確地預(yù)測剛性和可變形巖質(zhì)塊體系統(tǒng)的變形和接觸力,可根據(jù)變形的變化模式來判斷系統(tǒng)是否達(dá)到極限平衡狀態(tài),從而可得到系統(tǒng)處于極限平衡狀態(tài)所受到的極限荷載或臨界抗剪強(qiáng)度及其相應(yīng)的變形狀態(tài)和接觸力分布,進(jìn)而可得到安全系數(shù)。系統(tǒng)的控制方程可以適用于復(fù)雜的邊值問題。初步研究表明這種非連續(xù)變形計算力學(xué)模型可以作為極限平衡分析的一種有效的數(shù)值分析方法,在巖土邊坡穩(wěn)定分析中將具有廣闊的應(yīng)用前景。

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