李紀(jì)

（太原廣播電視中專，山西 太原 030001）

數(shù)制間的轉(zhuǎn)換技巧

李紀(jì)

（太原廣播電視中專，山西 太原 030001）

計(jì)算機(jī)原理是中等職業(yè)學(xué)校計(jì)算機(jī)專業(yè)的一門(mén)主干專業(yè)課程，數(shù)制轉(zhuǎn)換是其中的基礎(chǔ)知識(shí)。我們?nèi)粘Ｉ钪惺褂玫氖鞘M(jìn)制，而計(jì)算機(jī)中是用二進(jìn)制來(lái)表示數(shù)據(jù)的，這就需要進(jìn)行數(shù)制間的轉(zhuǎn)換，但用常規(guī)方法計(jì)算量較大，本文介紹通過(guò)在教學(xué)中總結(jié)的一些轉(zhuǎn)換技巧，從而提高效率和準(zhǔn)確性。

數(shù)制；轉(zhuǎn)換；十進(jìn)制；二進(jìn)制

計(jì)算機(jī)原理是中等職業(yè)學(xué)校計(jì)算機(jī)及應(yīng)用專業(yè)的一門(mén)主干專業(yè)課程，其中數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中的表示這一章中要求學(xué)生能夠熟練掌握各數(shù)制間的轉(zhuǎn)換，為以后掌握必要的軟硬件知識(shí)，掌握微型計(jì)算機(jī)組成結(jié)構(gòu)和各部件的工作原理，了解指令系統(tǒng)和匯編語(yǔ)言知識(shí)及程序設(shè)計(jì)的基本概念奠定基礎(chǔ)。另外，它也是中等職業(yè)學(xué)生對(duì)口升學(xué)考試中的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)。

一、基本概念

數(shù)制是用一組固定的數(shù)字和一套統(tǒng)一的規(guī)則來(lái)表示數(shù)目的方法。在計(jì)算機(jī)中，常用的數(shù)制有十進(jìn)制、二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制。

十進(jìn)制數(shù)是人們十分熟悉的計(jì)數(shù)方式，它是用0～9十個(gè)數(shù)字符號(hào)，按一定規(guī)律排列起來(lái)，表示值的大小，按照“逢十進(jìn)一”的原則計(jì)數(shù)。例如，6336這個(gè)四位數(shù)可寫(xiě)成：6336=6×103+3×102+3×101+6×100，從這個(gè)表達(dá)式中可發(fā)現(xiàn)以下特點(diǎn)：（1）十進(jìn)制的基數(shù)為10，即允許選用基本數(shù)碼的個(gè)數(shù)，只有0～9這10個(gè)數(shù)字符號(hào)。

（2）同一數(shù)字符號(hào)在不同位置代表的數(shù)值是不同的。右邊第一位為個(gè)位，記作100；第二位為十位，記作101；第三和第四位依此類推。通常將103、102、101、100稱為對(duì)應(yīng)數(shù)位的權(quán)，各位數(shù)的權(quán)都是基數(shù)的冪。每個(gè)數(shù)位對(duì)應(yīng)的數(shù)字符號(hào)稱為系數(shù)，所以某數(shù)位的數(shù)值等于該位的系數(shù)和該位權(quán)的乘積。如6336這個(gè)數(shù)中雖然有兩個(gè)6，但一個(gè)代表6000，一個(gè)代表6；3也是如此。（3）從右向左采用逢十進(jìn)位。

從上邊對(duì)十進(jìn)制數(shù)的分析，得到二進(jìn)制數(shù)的基數(shù)為2即0和1兩個(gè)數(shù)字符號(hào)；各位的權(quán)為2的冪；從右到左，采用“逢二進(jìn)一”的原則。

同樣的道理：八進(jìn)制的基數(shù)為8，即0～7八個(gè)數(shù)字符號(hào)；各位的權(quán)為8的冪；從右到左，采用“逢八進(jìn)一”的原則。十六進(jìn)制的基數(shù)為16，即0～9、A、B、C、D、E、F16個(gè)數(shù)字符號(hào)；各位的權(quán)為16的冪；從右到左，采用

“逢十六進(jìn)一”的原則。

在計(jì)算機(jī)中，通常用數(shù)字后面跟一個(gè)英文字母來(lái)表示該數(shù)的進(jìn)制。其中，“D”表示該數(shù)為十進(jìn)制數(shù)（Decimal number），有時(shí)可以省略；“B”表示該數(shù)為二進(jìn)制數(shù)(Binarynumber)；“Q”表示八進(jìn)制數(shù)（Octal number）；“H”表示十六進(jìn)制數(shù)（Hexadecimal number）。

二、各進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的普通算法——按權(quán)展開(kāi)相加法

二進(jìn)制：1101111B=1×26+1×25+0×24+1×23+1× 22+1×21+1×20=64+32+8+4+2+1=111即二進(jìn)制數(shù)1101111轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為111

八進(jìn)制：213Q=2×82+1×81+3×80=139

十六進(jìn)：2FAH=2×162+15×161+10×160=762

這種方法計(jì)算量很大，比較容易出錯(cuò)，而且浪費(fèi)時(shí)間?？荚噷?duì)時(shí)間和準(zhǔn)確性要求非常高，而且不能使用任何有關(guān)的電子設(shè)備或是計(jì)算類工具，通過(guò)長(zhǎng)期的思考和總結(jié)，對(duì)于有些特殊的值，我們可以使用一些簡(jiǎn)便方法，提高效率。另外，因?yàn)?和16，都是2的整次冪，所以二進(jìn)制正整數(shù)與八進(jìn)制和十六進(jìn)制正整數(shù)的相互轉(zhuǎn)換又比較容易。這樣一來(lái)，十進(jìn)制數(shù)和二進(jìn)制數(shù)相互轉(zhuǎn)換的技巧就至關(guān)重要了。

三、二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)

由于二進(jìn)制數(shù)的特殊性，要不是加上所在位的權(quán)值，要不就是0，所以權(quán)值的規(guī)律就很重要。它們分別是1、2、4、8……構(gòu)成的是等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列的求和公式Sn=a1(1-qn)/(1-q)，第一項(xiàng)a1=1，公比q=2，求得二進(jìn)制中特有的求和公式，這個(gè)公式就是當(dāng)二進(jìn)制數(shù)碼全部為1情況下的累積權(quán)值，也就是二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成的十進(jìn)制數(shù)。例如：11111111B=28-1=255,即先數(shù)清總的二進(jìn)制位數(shù)，此題為8，n=8，代入公式就可立即求出結(jié)果，比普通算法既省時(shí)又不易出錯(cuò)。

對(duì)于二進(jìn)制數(shù)中有個(gè)別0的情況，用累計(jì)權(quán)值減去0位上的權(quán)值即可，這樣就得到公式：Sn=（2n-1）-2a-2b……（注：Sn為十進(jìn)制數(shù)，n為總的二進(jìn)制位數(shù)，a、b等為0位上相應(yīng)的位序），例如：1111110B=(27-1) -20=128-1-1=126，當(dāng)然在0絕對(duì)多的情況下，采用這種方法就比較麻煩，可以用普通按權(quán)展開(kāi)相加法。

對(duì)于像第一個(gè)數(shù)為1，其余都為0的二進(jìn)制數(shù)，也有簡(jiǎn)單方法可尋。如：10000000B=27=128，即為2n（注：n為0的個(gè)數(shù)）。

四、十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，通常使用的是除2取余法，這種方法如果數(shù)比較大的話，我們畫(huà)連除圖有點(diǎn)浪費(fèi)時(shí)間且容易出錯(cuò)，現(xiàn)在我們嘗試換一種思路，從權(quán)值出發(fā)，找到相應(yīng)的位權(quán)，逐步推導(dǎo)，將十進(jìn)制數(shù)快速轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

因?yàn)槎M(jìn)制數(shù)是由數(shù)碼與位權(quán)的值相乘后累積的和，又因?yàn)槿魏螖?shù)與0相乘的積都為0，所以我們把二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換十進(jìn)制數(shù)時(shí)，只要把1位上的權(quán)值相加即可。反之，在十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)，我們可以逆向思維，首先找到等于或小于且最接近該十進(jìn)制數(shù)的權(quán)值，確定數(shù)碼為1的最高位數(shù)；然后把十進(jìn)制數(shù)與確定的最高位的權(quán)值相減，得到差值，再找到與差值相等或比差值小且與之最接近的權(quán)值，確定第二個(gè)數(shù)碼為1的位數(shù)，依次類推，直到差值為0，最后在空位填上0，注意不要丟掉第0位，另外，這種方法需要熟記2的0～10次冪數(shù)值。

例如，我們將12轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，首先找到與12相等或小于12且與12最接近的權(quán)值，我們可以確定是8=23，又因?yàn)?2-8=4，我們?cè)僬业脚c4相等或比4且小接近4的權(quán)值，即為4=22，這時(shí)我們可以寫(xiě)為12=8+4=23+22=1100B，即在第3位寫(xiě)1，第2位寫(xiě)1，第1位寫(xiě)0，第0位寫(xiě)0，一定別忘記第0位，我們可以看出二進(jìn)制數(shù)的位數(shù)是最高位次冪加1，如上例中最高次冪為3，二進(jìn)制數(shù)位數(shù)為4。這種方法漸漸熟悉后就會(huì)很快求得結(jié)果。

同樣道理的逆向思維，對(duì)于一些特殊的十進(jìn)制數(shù)，也可反過(guò)來(lái)用二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)十進(jìn)制數(shù)的方法。如8=23=1000B，16=24=10000B，32=25=100000B，它們的制數(shù)為1后加n個(gè)0。再如規(guī)律是十進(jìn)制數(shù)為2的n(n為正整數(shù))次冪轉(zhuǎn)換為二進(jìn)7=23-1=111B，15=24-1=1111，31=25-1=11111，它們的規(guī)律是十進(jìn)制數(shù)為2的n(n為正整數(shù))次冪減1轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)為n個(gè)1。

五、八進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)

有了二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)的技巧，八進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)就可借助于二進(jìn)制數(shù)這個(gè)橋梁輕松和十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行互換了。

［1］宮靜洲.巧換二進(jìn)制與十進(jìn)制［J］.中國(guó)信息技術(shù)教育，2009，（5）:27-28.

［4］武馬群主編.計(jì)算機(jī)原理［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［3］李立東，朱曉鷗.微機(jī)原理與匯編語(yǔ)言基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社,2002.

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