盛廣銘， 吳中川， 王甲峰

（①解放軍信息工程大學(xué)，河南 鄭州 450002；②海軍駐綿陽(yáng)地區(qū)特種裝置軍事代表室，四川 綿陽(yáng) 621900；③中國(guó)工程物理研究院電子工程研究所，四川 綿陽(yáng) 621900）

0 引言

在通信信號(hào)的處理過(guò)程中，經(jīng)常要根據(jù)實(shí)際需要對(duì)采樣率進(jìn)行調(diào)整，即要求信號(hào)分析系統(tǒng)能夠工作在多采樣率狀態(tài)。一般來(lái)說(shuō)，采樣率的調(diào)整都是在時(shí)域進(jìn)行的，計(jì)算量比較大。雖然可以采用多相濾波器組[1]來(lái)實(shí)現(xiàn)，以降低運(yùn)算量提高運(yùn)算速度，但對(duì)于大整數(shù)倍和分?jǐn)?shù)倍變采樣率，多相濾波器組的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜[1]，而且其結(jié)構(gòu)完全是通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到的，不能直觀地反應(yīng)變采樣率的物理過(guò)程。與時(shí)域處理相比，通信信號(hào)的頻域處理方法，如上下變頻、頻域?yàn)V波等，通常能夠簡(jiǎn)化處理過(guò)程，降低算法的復(fù)雜度，并且直接與物理過(guò)程相對(duì)應(yīng)，易于理解。

1 解析信號(hào)

對(duì)于一個(gè)通信信號(hào)可以用實(shí)函數(shù)形式或復(fù)函數(shù)形式表示，在進(jìn)行信號(hào)處理之前往往要將實(shí)信號(hào)復(fù)化，變?yōu)樗慕馕鲂问?。最?jiǎn)單的方法是直接用實(shí)信號(hào)s(t)作復(fù)信號(hào)z(t)的實(shí)部，并添加一個(gè)信號(hào)x(t)作其虛部[2]：

通常的做法是保留其正頻部分（并將幅度加倍，以使原信號(hào)的總能量保持不變），并剔除掉負(fù)頻部分[2]。由于實(shí)信號(hào)的頻譜為共軛對(duì)稱，剔除負(fù)頻部分不會(huì)造成任何信息損失，也不會(huì)帶來(lái)虛假信息。這樣，其頻譜就不存在共軛對(duì)稱性，所對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)應(yīng)為復(fù)信號(hào)。因此，通信中接收機(jī)接收的一般是正交的兩路信號(hào)，即信號(hào)的實(shí)部和虛部。如果只接收了一路信號(hào)，那就要對(duì)它進(jìn)行復(fù)化，這樣才能得到通信信號(hào)的幅度和相位信息。

剔除實(shí)信號(hào)的負(fù)頻部分，在頻域相當(dāng)于把實(shí)函數(shù)的頻譜通過(guò)一個(gè)階躍式傳輸函數(shù)，其過(guò)程在時(shí)域可以表示為：

式中，H[ s(t)]稱為s(t)的Hilbert變換，即[2]：

對(duì)于采樣后的離散化數(shù)據(jù)，式（3）轉(zhuǎn)換為：

由于解析信號(hào)非常便于處理，因此在后面的討論中，都首先將通信信號(hào)復(fù)化為解析信號(hào)然后再進(jìn)行分析。

2 整數(shù)倍升采樣

整數(shù)倍升采樣的一般原理如圖1所示[3]。其中L為升采樣的倍數(shù)，h( n)為低通濾波器，其過(guò)程是首先在原序列相鄰數(shù)據(jù)之間插入L-1個(gè)0，然后在通過(guò)低通濾波濾除多余的頻譜分量，就得到L倍升采樣后的序列。下面以2倍內(nèi)插為例討論如何在頻域?qū)崿F(xiàn)這一過(guò)程。

圖1 L倍升采樣原理

設(shè)原序列為{s(n)}，n=0,1,…,N-1，其復(fù)數(shù)表示為{z(n)}，即s(n)=Re{z(n)}，插入0后的序列為{y(k)}，k=0,1,…,2N-1，不失一般性：

設(shè)Z(m)為z(n)的DFT變換[4]：

Y(l)為y(k)的DFT變換，即：

考察Y(l)：

當(dāng)l≤N-1時(shí)：

當(dāng)l＞N-1時(shí)，令l=N+v，則：

由此可見(jiàn)，插入0值后的頻譜是原頻譜延拓一個(gè)周期，而插零后的低通濾波，其作用就是濾除延拓的頻譜[5]。這一過(guò)程可以推廣到L倍升采樣。L倍升采樣中，插入L-1個(gè)0后信號(hào)的頻譜是原頻譜延拓L-1個(gè)周期，而濾波的過(guò)程就是將這L-1個(gè)延拓頻譜濾除。這一過(guò)程等價(jià)于在原有頻譜 Z(m)補(bǔ)(L-1)N個(gè)0。

綜上所述，可以得到L倍升采樣的頻域處理過(guò)程如下，

① 將輸入實(shí)信號(hào)s(n)進(jìn)行復(fù)化，得到解析信號(hào)z(n)；

② 求z(n)的頻譜Z(m)；

③ 在Z(m)進(jìn)行擴(kuò)展，補(bǔ)(L-1)N個(gè)0得到頻譜Y(l)；

④ 對(duì)Y(l)做LN點(diǎn)的逆DFT運(yùn)算并取實(shí)部，即得到了L倍升采樣后的時(shí)域信號(hào)y(k)。

圖2是部分仿真結(jié)果。輸入信號(hào)是頻率為1kHz的余弦信號(hào)，采樣率為20 ks/s。為了便于比較，以樣點(diǎn)數(shù)作為時(shí)域波形的橫軸。

圖2 整數(shù)倍升采樣仿真結(jié)果

3 整數(shù)倍降采樣

整數(shù)倍降采樣的一般原理如圖3所示[3]。首先通過(guò)低通濾波器h(n)濾除多余頻譜分量，避免降采樣后發(fā)生混疊，然后進(jìn)行L倍抽取，即實(shí)現(xiàn)了L倍降采樣。

顯然，整數(shù)倍降采樣是整數(shù)倍升采樣的逆過(guò)程，這里只作定性分析而不再進(jìn)行理論推導(dǎo)。在頻域上，低通濾波就相當(dāng)于將不需要的高頻部分頻譜置 0，而抽取就相當(dāng)于對(duì)頻譜進(jìn)行截短，由此可以得到L倍降采樣的頻域處理過(guò)程如下：

a. 信號(hào)長(zhǎng)度N能夠被L整除，則：

① 將輸入實(shí)信號(hào)s(n)進(jìn)行復(fù)化，得到解析信號(hào)z(n)；

② 求z(n)的頻譜Z(m)；

③ 對(duì)Z(m)進(jìn)行截短，即只保留Z(m) m=0,1,…,N/L-1，得到頻譜Y(l)；

④ 對(duì)Y(l)做N/L點(diǎn)的逆DFT運(yùn)算并取實(shí)部，即得到了L倍降采樣后的時(shí)域信號(hào)y(k)。

b. 信號(hào)長(zhǎng)度N不能被L整除，則：

① 在序列前面補(bǔ)Nz個(gè) 0，使補(bǔ) 0后的序列長(zhǎng)度M=N+Nz可以被L整除；

② 按照a中所述進(jìn)行處理；

③ 去掉結(jié)果序列中的延遲樣點(diǎn)，即得到了L倍降采樣后的時(shí)域信號(hào)y(k)。

所需補(bǔ)零的最小數(shù)目，可按下式計(jì)算：

其中mod(N,L)表示N對(duì)L求模取余。

在序列前面補(bǔ)Nz個(gè)0，相當(dāng)于將序列延遲Td=Nz/fs，fs是采樣率，根據(jù)付利葉變換的性質(zhì)，時(shí)域的時(shí)延對(duì)應(yīng)頻域的相移，而降采樣后序列的時(shí)延不變，則：fsnew是降采樣后的采樣率。由此可以得到降采樣后序列的延遲樣點(diǎn)數(shù)：

即Nznew取大于Nz/L的最小正整數(shù)。如果Nz取最小即滿足（12）式，則有：

因此如果Nz取最小，則降采樣后，序列的延遲樣點(diǎn)數(shù)恒為1。

在同樣條件下進(jìn)行了整數(shù)倍降采樣仿真，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 整數(shù)倍降采樣仿真結(jié)果

4 分?jǐn)?shù)倍變采樣

設(shè)q、p為正整數(shù)且互為質(zhì)數(shù)。則p/q倍變采樣的一般原理如圖5所示[3]。

顯然，p/q倍變采樣是p倍升采樣和q倍降采樣的級(jí)聯(lián)過(guò)程，綜合2章、3章中的討論，可以得到p/q倍變采樣的處理過(guò)程如下：

① 計(jì)算mod(N,q),如果為0則進(jìn)行步驟②，否則，在序列前補(bǔ)Nq個(gè)零，使mod(Nq,q)=0，如果Nq取最小則可按式（12）計(jì)算；

② 對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行復(fù)化得到相應(yīng)的解析信號(hào)；

③ 計(jì)算解析信號(hào)的頻譜，設(shè)頻譜長(zhǎng)度為M，如果mod(N,q)=0，M=N，否則M=N+Nq；

④ 保留頻譜的前M·p/q項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新的頻譜序列；

⑤ 對(duì)這個(gè)新的頻譜序列進(jìn)行逆DFT運(yùn)算，并取實(shí)部，如果mod(N,q)=0，則所得的序列即為p/q倍變采樣后的實(shí)信號(hào)，否則去掉延遲樣點(diǎn)后，才能得到變采樣后實(shí)信號(hào)。

延遲樣點(diǎn)數(shù)按式（16）計(jì)算：

如果Nq取最小，則式（16）轉(zhuǎn)化為：

由上述過(guò)程可見(jiàn)，整數(shù)倍變采樣是分?jǐn)?shù)倍變采樣的特例。分?jǐn)?shù)倍變采樣的仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 分?jǐn)?shù)倍變采樣仿真結(jié)果

5 結(jié)語(yǔ)

前面介紹了通信信號(hào)變采樣率的頻域處理方法。從中可以看出，變采樣率在頻域中只是補(bǔ)零、截?cái)嗟群?jiǎn)單操作，而頻譜的正反變換可以采用高效的快速算法，因此頻域變采樣率技術(shù)的計(jì)算量與時(shí)域處理方法相比有大幅度的降低；而且，其處理過(guò)程與變采樣率的物理過(guò)程相對(duì)應(yīng)，比較直觀，易于理解。如果將頻域變采樣率與頻域上下變頻、頻域?yàn)V波等頻域處理技術(shù)結(jié)合起來(lái)，可實(shí)現(xiàn)數(shù)字基帶信號(hào)與數(shù)字中頻信號(hào)相互轉(zhuǎn)換的全頻域處理。另外，由于頻譜計(jì)算需要將輸入信號(hào)進(jìn)行分段，因此頻域分析技術(shù)特別適用于定時(shí)隙突發(fā)通信信號(hào)（如固定跳速的跳頻信號(hào)）的處理中。

[1] 秦明偉，李德建，姚遠(yuǎn)程.軟件無(wú)線電數(shù)字下變頻及抽取技術(shù)研究[J].通信技術(shù),2008,41(09):84-88.

[2] 曹志剛，錢亞生.現(xiàn)代通信原理[M].北京:清華大學(xué)出版社，1992：37-39.

[3] 陶然，張惠云，王越.多抽樣率數(shù)字信號(hào)處理[M].北京:清華大學(xué)出版社，2007:25-36.

[4] 胡廣書.數(shù)字信號(hào)處理[M].第 2版.北京:清華大學(xué)出版社,2003：121-122.

[5] 柴曉東，袁曉.數(shù)字信號(hào)抽取與插值不同次序的頻域分析[J].通信技術(shù)，2009,42(02):317-319.