江 華， 張 靜

（①海軍工程大學 裝備經濟管理系，湖北 武漢 430033；②海軍萬壽路干休所，北京 100000）

0 引言

在光纖通信系統(tǒng)[1-2]中，單模光纖的彎曲損耗是使信號劣化的主要因素之一。在測量彎曲損耗時，早期的理論在假設光纖具有無限擴展包層的條件下，給出了一個簡單的計算模型，這個模型預測彎曲損耗與彎曲半徑和波長之間存在單調變化的關系[3]。然而近年來，實驗顯示單模光纖中彎曲損耗隨彎曲半徑和波長的變化都呈現出振蕩的現象[4-6]。這是因為包層尺寸的有限性和涂覆層的存在，致使纖芯中傳播的場和從包層與涂覆層的界面上反射回來的部分輻射場發(fā)生耦合，并不如傳統(tǒng)理論假設的那樣，所有的彎曲損耗都從基模中泄漏出去永遠損耗了。為了解釋這一現象，Harris和Castle從射線理論的角度出發(fā)，認為這是由基模和whispering gallery模之間的耦合引起的[7]。近年來，人們開始從波動理論的角度出發(fā)，利用數值法來分析單模光纖的彎曲損耗。Valiente和Vassallo得出了關于彎曲損耗的線性方程組[8]。Vendeltrop－Pommer和Povlsen利用波束傳播法（BPM：Beam Propagation Method）對這一現象進行了解釋[9]。只有Murakami和Tsuchiya把彎曲光纖看作五層平板波導[4]，在傳統(tǒng)損耗公式的基礎上，乘以一個修正因子，得到一個相對簡單的損耗公式。

本文采用一個簡單的模型，仿真和分析了單模光纖中彎曲損耗隨彎曲半徑和波長變化的關系，并對關系曲線的特性進行了討論，得出了一些有價值的結論。

1 理論模型

由于可將求解單模光纖的彎曲損耗轉化為求解彎曲光纖基模傳播常量的虛部，而傳播常量的虛部又與波動方程后向場在軸芯上的強度有關，所以我們只要求解由彎曲光纖轉化而來的等效直光纖的波動方程，得到后向場在光纖軸芯上的強度，進而就可求得單模光纖彎曲損耗系數。

弱導近似時，彎曲光纖中的橫向場分布為(,)xyψ，它滿足二維標量方程。根據以上的理論思路，通常采用的方法為通過修正折射率將彎曲光纖等效成直光纖。此時標量方程對坐標y的傅里葉變換為：

式中：k0=2πλ為真空中的波數；β0為未受擾動直光纖基模的傳播常量；?為y分量的傅里葉變換共軛量； nq是q區(qū)域的折射率。

式（1）解為：

設 Rc為彎曲半徑的臨界值，當 R ＜Rc時，損耗會急劇增加，振蕩現象也會充分顯現。其通過對艾利函數的近似，我們可以進一步求取后向場軸芯上的強度，最后得到彎曲損耗系數。設L2=b RrRC，當L的值較大時，繁瑣的無窮積分就能得到替代，得到一個簡單的彎曲損耗系數的表達式：

其中：2Bα是傳統(tǒng)理論中具有無限延伸包層的單模光纖的彎曲損耗系數。對于纖芯折射率為1n的階躍型光纖，2Bα值為：

2 實驗與分析

本文仿真實驗采用的是 G.652型光纖，其參數如表 1所示。

表1 光纖參量

圖 1、圖 2分別是理論仿真得到的單模光纖彎曲損耗隨彎曲半徑及波長變化的曲線以及實際測得的實驗數據。圖中的虛線和實曲線分別是式（4）和式（3）的仿真結果，從中可以看到傳統(tǒng)理論所推導的彎曲損耗和彎曲半徑及波長的關系是單調的。而實曲線隨著彎曲半徑的增大呈遞減趨勢的同時還伴隨著振蕩現象，并且彎曲半徑越小，振蕩越頻繁越劇烈。圖2中，橫坐標數值應乘以10-3單模光纖的彎曲損耗隨著波長的增大呈現遞增趨勢的同時也伴隨著振蕩現象。由于實驗條件有限，只取了較少的半徑值進行實驗，所以實驗顯示的振蕩現象不是很明顯，但是損耗曲線和實驗數據在所對應的半徑值上還是基本一致的。

圖1 單模光纖中彎曲損耗隨彎曲半徑變化的曲線

圖2 單模光纖的彎曲損耗隨波長變化的曲線

觀察式（3），因為 Z3＞Z2＞0，所以當，式（4）可取得局部最大值，即波峰值；（m為任意正整數），式（4）取得局部最小值，即波谷值。對以上兩式進行化簡計算，可得到如下條件等式（7）：

這一結論剛好與文獻[7]的分析相吻合：彎曲損耗的振蕩現象是由光纖中的基模和在包層和涂覆層中傳播的whispering gallery模之間的耦合引起的。當兩種模的相位同步，即同相耦合時彎曲損耗振蕩曲線出現最大值；反之，當兩模的相位異步，即異相耦合時，彎曲損耗振蕩曲線出現最小值。通過式（5），單模光纖彎曲損耗出現峰值和谷值時所對應的彎曲半徑值就可以比較準確地被預測。下頁圖3給出了式（5）的仿真結果，“▽”和“O”分別標識的是峰值和谷值位置的預測值。由于實驗中彎曲半徑取值的困難，這里取了三組數據，見下頁表2。

表2 波峰預測實驗

實驗結果如圖3所示，雖然半徑取值沒有完全與理論值相等，但是實驗數據從大體趨勢上體現了理論預測的正確性。通過對彎曲損耗曲線峰－谷值位置特性的了解，我們可以更為深入地掌握單模光纖彎曲損耗的振蕩規(guī)律。

圖3 單模光纖的彎曲損耗波峰－波谷位置預測

3 結語

本文采用一簡單的分析模型，對單模光纖的彎曲損耗和彎曲半徑、波長的關系進行了仿真和實驗,觀察到彎曲損耗隨彎曲半徑和波長的變化具有單調變化趨勢的同時還呈現振蕩的現象。并在此基礎上，對關系曲線的特性進行了深入地分析，得出了峰－谷值位置的計算式，分析表明，彎曲損耗的振蕩現象是由光纖中的基模和在包層和涂覆層中傳播的whispering gallery模之間的耦合引起的。這對我們在實際應用中掌握單模光纖彎曲損耗的情況有相當大的幫助。

[1] 梁成升.認識光纖光纜[J].通信技術,2009,42(05):68-70.

[2] 龍海,劉鵬.全雙工光纖無線通信系統(tǒng)中的關鍵技術研究[J].通信技術,2009,42(05):60-62.

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