田紅亮 朱大林 秦紅玲

(三峽大學(xué)機(jī)械與材料學(xué)院,湖北宜昌 443002)

1 赫茲接觸理論的3個(gè)缺陷

接觸力學(xué)起源于1882年赫茲發(fā)表的經(jīng)典論文《論彈性固體的接觸》[1].赫茲接觸理論作了4個(gè)假設(shè)[2]:(1)表面連續(xù)光滑、非同曲;(2)應(yīng)變小;(3)接近接觸區(qū)時(shí),每個(gè)固體都視為半空間彈性體;(4)表面無摩擦.

在滑動(dòng)過程中,大部分摩擦能量消耗于塑性變形而被直接轉(zhuǎn)化為接觸面表層材料的熱能.塑性變形加劇了原子晶格的振動(dòng),產(chǎn)生一種叫光子的聲波,聲能最終轉(zhuǎn)化為熱能.接觸彈性變形的0.1%～10%能量損失消耗于光子.在粘彈性變形中,彈性滯后也會(huì)產(chǎn)生熱能.在無潤(rùn)滑劑的條件下,這些熱量通過接觸點(diǎn)傳入兩個(gè)滑動(dòng)體.因此,摩擦界面的溫升計(jì)算十分重要.

1909年和1915年努塞爾(Nusselt)的兩篇論文對(duì)強(qiáng)制對(duì)流和自然對(duì)流的基本微分方程及邊界條件進(jìn)行量綱分析,獲得了有關(guān)無量綱數(shù)之間的原則關(guān)系,從而開辟了在無量綱數(shù)原則關(guān)系正確指導(dǎo)下,通過實(shí)驗(yàn)研究求解對(duì)流傳熱問題的一種基本方法,有力地促進(jìn)了對(duì)流傳熱研究的發(fā)展.布洛克[3]對(duì)微接觸點(diǎn)的閃溫進(jìn)行了理論性分析.阿查德[4]分析了圓形微接觸點(diǎn)的溫度分布.耶格爾[5]推導(dǎo)了不同滑動(dòng)速度范圍的溫度分布.Wang和Komvopoulos[6]改進(jìn)了MB模型[7],提出了低速滑動(dòng)區(qū)域界面溫度分布的分形理論.Ray和Roy Chowdhury[8]對(duì)納米表面粗糙度滑動(dòng)體的接觸閃溫進(jìn)行了預(yù)測(cè).Czichos和Kirschke[9]建議用載荷、速度、體積溫度這3個(gè)參數(shù)來表示摩擦擦傷條件.當(dāng)載荷增加時(shí),相對(duì)較軟的表面將會(huì)變形.軟表面的分形維數(shù)將改變.粗糙表面將更平滑,分形維數(shù)增大.問題是分形維數(shù)是如何改變的,改變了多少.當(dāng)載荷繼續(xù)增加時(shí),軟表面將不再具有分形特征,分形理論不再適用.孟鳳英等[10]對(duì)影響粘性土壤破碎體分形維數(shù)的因素進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究,這種通過對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行破壞性實(shí)驗(yàn)測(cè)定分形維數(shù)的方法不適合于那些不宜用外力激振的設(shè)備(如高精密數(shù)控機(jī)床、高檔數(shù)控機(jī)床),也不適合于用力錘或激振器無法激振的超重型機(jī)床.

上述理論模型一般采用赫茲接觸理論能夠預(yù)測(cè)接觸點(diǎn)的最大溫升和平均溫升,但不能確定實(shí)際接觸面積上的溫度分布,且大多數(shù)模型沒有考慮表面粗糙度對(duì)溫度分布的影響.事實(shí)上,根據(jù)赫茲接觸理論的第3和4個(gè)假設(shè),赫茲接觸理論的第1個(gè)缺陷是局限于無摩擦表面及理想彈性固體.根據(jù)第1個(gè)假設(shè),赫茲認(rèn)為[11]表面互相不協(xié)調(diào)的物體最初在一個(gè)點(diǎn)或一條線上接觸,甚至在載荷作用下,與物體本身的尺寸相比,接觸面的尺寸通常也很小,在這些情況中,接觸應(yīng)力構(gòu)成局部應(yīng)力集中,它與兩個(gè)物體體內(nèi)的應(yīng)力無關(guān).另一方面,表面相互協(xié)調(diào)一致的物體可能會(huì)在一塊面積上接觸,接觸面的大小可以與這兩個(gè)物體的有效尺寸相比,于是接觸應(yīng)力就變成整個(gè)物體內(nèi)一般應(yīng)力分布的一部分,而不能從中分離出來,因此第2個(gè)缺陷是赫茲接觸應(yīng)力不適用于兩接觸同曲表面.赫茲接觸理論的第3個(gè)缺陷是沒有考慮塑性變形.

MB模型是原創(chuàng)性定量計(jì)算方法,被公認(rèn)為分形理論的奠基石,為了使MB模型在算法上達(dá)到完美,田紅亮等[12]指出MB模型存在3個(gè)缺陷,修正了MB模型的后兩個(gè)缺陷,本文以修正后的MB模型為計(jì)算基礎(chǔ).螺紋聯(lián)接中振動(dòng)能量的耗散機(jī)理很復(fù)雜,也很少有人研究.能量耗散的重要根源是螺紋間及相配零件接合處的摩擦,以及接觸表面的互相撞擊.此外,隨著振動(dòng),接合處的聯(lián)接零件也會(huì)產(chǎn)生彈性變形[13].本文考慮表面粗糙度和塑性變形,適當(dāng)處理接觸物體交界面處的摩擦,將赫茲接觸理論以更符合實(shí)際的方式推廣到滑動(dòng)接觸,根據(jù)球形微凸體的赫茲接觸理論和MB修正模型,對(duì)微接觸點(diǎn)的溫升進(jìn)行了分析,得到了低速滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)的分形區(qū)域?qū)嶋H接觸面積溫升的補(bǔ)充累積概率分布函數(shù)的封閉形式表達(dá)式.

2 兩彈塑性接觸表面的溫升

實(shí)際表面上粗糙峰頂?shù)男螤钔ǔＪ菣E圓體,由于橢圓體的接觸區(qū)尺寸遠(yuǎn)小于本身的曲率半徑,因而粗糙峰可以近似地視為球體,兩個(gè)平面的接觸可視為一系列高低不齊的球體相接觸,單個(gè)粗糙峰簡(jiǎn)稱單峰.對(duì)非球體,單峰頂端是使表面輪廓曲率半徑取最大值的某一點(diǎn).單峰頂端的干涉量[14]為

式中,pa為微接觸點(diǎn)的平均壓應(yīng)力,下標(biāo)a表示平均(average);E′為兩接觸粗糙表面的復(fù)合彈性模量;R為赫茲接觸的等效峰頂曲率半徑;G為分形粗糙度參數(shù);D為表面輪廓分形維數(shù)為一個(gè)微接觸點(diǎn)的平截面積;r′為一個(gè)微接觸點(diǎn)的平截半徑.

臨界平均壓應(yīng)力為

式中,Kf為摩擦校正系數(shù)[15],下標(biāo)f表示摩擦(friction);σy=H/K為較軟材料的屈服強(qiáng)度,下標(biāo)y表示屈服(yield);H為較軟材料的硬度;K為相關(guān)系數(shù),0.5≤K≤3.

式中,f為摩擦因數(shù).

將式(5)代入式(1),可得接觸點(diǎn)材料初始屈服時(shí)的臨界干涉量為

將式(4)代入式(7),得

式(8)除以式(2),得

式中,a′y為劃分彈塑性區(qū)域的臨界平截微接觸點(diǎn)面積.

確定實(shí)際接觸面積中彈性變形和塑性變形接觸面積大小的研究表明,由式(9)可得當(dāng)δ＞δy或a′＜a′y即壓應(yīng)力較大,接觸點(diǎn)處于塑性變形;當(dāng) δ＜δy或a′＞a′y即壓應(yīng)力較小,接觸點(diǎn)處于彈性變形.兩固體表面受法向力作用,單峰尖端接觸,實(shí)際接觸面積很小,壓應(yīng)力很高,產(chǎn)生塑性變形,然后當(dāng)載荷增加時(shí),實(shí)際接觸面積逐漸增大,這些塑性變形點(diǎn)合并成為一個(gè)較大曲率半徑的接觸點(diǎn),從而釋放壓應(yīng)力,直至壓應(yīng)力降到屈服點(diǎn)σs,形成彈性接觸狀態(tài),此過程當(dāng)然會(huì)涉及加工硬化(下面會(huì)詳細(xì)討論),大的接觸點(diǎn)處于彈性變形,因?yàn)閹讉€(gè)小的接觸點(diǎn)結(jié)合在一起,成為一個(gè)大的接觸點(diǎn),這時(shí)肯定有相互作用.MB模型沒有考慮相鄰微凸體之間的作用.這些分析結(jié)果與MB模型得出的結(jié)論相同,與經(jīng)典GW 模型[16]得出的結(jié)論相反.

球形壓痕頭塑性轉(zhuǎn)變的準(zhǔn)則[17]為

式中,σf為流動(dòng)應(yīng)力,下標(biāo)f表示流動(dòng)(flow).

式中,下標(biāo)pt表示塑性(plastic)轉(zhuǎn)變(transition).

一個(gè)彈塑性微接觸點(diǎn)的平均壓應(yīng)力為

式中,β為量綱一應(yīng)變;下標(biāo)aep表示平均(average)彈塑性(elastoplastic).

式中,ε為球形壓痕頭的總應(yīng)變;n為應(yīng)變加工硬化指數(shù)的倒數(shù).

系數(shù)B滿足下式

將式(16)、(15)代入式(18),得

將式(19)代入式(13),得

式(1)的干涉量是理論值.當(dāng)考慮應(yīng)變加工硬化時(shí),實(shí)驗(yàn)干涉量小于式(1)的理論干涉量.實(shí)驗(yàn)干涉量稱為穿透深度.壓痕頭壓入半空間的穿透深度[18]為

由式(21)可得一個(gè)彈塑性微接觸點(diǎn)的面積為

當(dāng)n=1,可得赫茲理論一個(gè)彈性微接觸點(diǎn)的面積為

由式(3)、(15)得

微接觸點(diǎn)溫升的彈塑性校正系數(shù)為

式中,下標(biāo)t表示溫度(temperature).

將式(20)、(22)～(24)代入式(25),得

當(dāng)n=1,Kt=0.1π(2-ln0.6)=0.788 8,與 β 無關(guān).微接觸點(diǎn)溫升的彈塑性校正系數(shù)隨量綱一應(yīng)變的變化如圖1所示.

圖1 彈塑性校正系數(shù)隨量綱一應(yīng)變的變化

在實(shí)際接觸面積上的溫升概率分布密度(單位是℃-1)為

式中,Ts=Tm-T0為穩(wěn)態(tài)摩擦溫升,下標(biāo)s表示平穩(wěn)(steady);Tm為熔點(diǎn),下標(biāo)m表示熔化(melting);T0為整體溫度(bulk temperature);C=0.5/ln(0.5π);Tsmax為分形區(qū)域的最大溫升.

量綱一最大Jaeger參數(shù)滿足

式中,ρ為密度;c為比熱容,單位是J/(kg?℃);k為熱導(dǎo)率;a′L為一個(gè)最大微接觸點(diǎn)的平截面積,下標(biāo)L表示最大(Largest).

溫升的補(bǔ)充累積概率分布函數(shù)為

將式(27)代入式(31),得

由式(27)可得平均溫升為

穩(wěn)態(tài)摩擦溫升Ts的二階原點(diǎn)矩為

溫升的標(biāo)準(zhǔn)差為

由式(33)可以看出,平均溫升是最大溫升的0.4023倍,文獻(xiàn)[19]的平均溫升是最大溫升的π/4=0.7854倍,因?yàn)樵撐墨I(xiàn)假定接觸壓應(yīng)力為赫茲應(yīng)力,而赫茲接觸理論是近似的.由式(22)和(23)可以看出,aep≥aHertz,所以赫茲接觸理論低估了微接觸面積,高估了接觸壓應(yīng)力.應(yīng)用赫茲接觸理論造成平均溫升偏大的另一個(gè)原因是,赫茲接觸理論認(rèn)為作用在彈性體上的集中外力F1與作用在剛性平面上的接觸支反力F2相等,即F1=F2,事實(shí)上由于物體的慣性等原因,F1＞F2,張朝暉[20]用ANSYS對(duì)鋼球和剛性平面的赫茲接觸進(jìn)行了分析,集中外力傳遞到接觸表面后,力衰減的百分比為(F1-F2)/F1=(5 000-4754.92)/5000=4.9016%,其中F1=5000 N為球頂承受的法向集中力;F2=4754.92 N為剛性平面的接觸支反力.本文考慮了表面的摩擦、法向接觸的非彈性特征及塑性轉(zhuǎn)變,所以平均溫升偏小.

3 工程實(shí)例、實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

作為工程結(jié)構(gòu)陶瓷材料,有以Si3N4和SiC為主要成分的高溫結(jié)構(gòu)陶瓷;有以Al2O3為主要成分的刀具結(jié)構(gòu)陶瓷.陶瓷材料的主要特點(diǎn)是:硬度極高、耐磨、耐腐蝕、熔點(diǎn)高、剛度大以及密度比鋼鐵低等.陶瓷材料常被形容為“像鋼一樣強(qiáng),像金剛石一樣硬,像鋁一樣輕”的材料.目前,陶瓷材料已應(yīng)用于密封件、滾動(dòng)軸承和切削刀具等結(jié)構(gòu)中.但是陶瓷材料的主要缺點(diǎn)是比較脆,斷裂韌度低,價(jià)格昂貴,加工工藝性差等.4種陶瓷的力學(xué)和熱物理性能見表1,表中平均摩擦因數(shù)取0.15.

表1 4種陶瓷的力學(xué)和熱物理性能

4種陶瓷彈塑性區(qū)域的臨界平截微接觸點(diǎn)面積、一個(gè)最大微接觸點(diǎn)的平截面積見表2.3種情況皆可以得到a′L＞a′y,故發(fā)生彈塑性變形,因?yàn)?:根據(jù)文獻(xiàn)[21]的式(3),可得到 0＜a′≤a′L,再根據(jù)該文獻(xiàn)的式(4),可認(rèn)為a′是積分變量,積分區(qū)間(0,a′y)+[a′y,a′L],在積分區(qū)間a′∈ (0,a′y)發(fā)生塑性變形 ,在積分區(qū)間a′∈[a′y,a′L]發(fā)生彈性變形.

表2 臨界平截面積、最大平截面積

采用最小二乘法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲面擬合,滑動(dòng)速度、名義壓應(yīng)力和溫度對(duì)摩擦因數(shù)的影響如圖2所示.根據(jù)圖2(a),摩擦因數(shù)首先隨名義壓應(yīng)力增大而增大,然后隨名義壓應(yīng)力增大而減小;摩擦因數(shù)隨滑動(dòng)速度增大而減小.根據(jù)圖2(b),摩擦因數(shù)首先隨名義壓應(yīng)力增大而增大,然后隨名義壓應(yīng)力增大而減小;摩擦因數(shù)首先隨溫度增大而增大,然后隨溫度增大而減小,溫度較高時(shí),摩擦因數(shù)相對(duì)低溫時(shí)要穩(wěn)定,沒有出現(xiàn)熱衰退現(xiàn)象.根據(jù)圖2(c),摩擦因數(shù)隨滑動(dòng)速度增大而減小;摩擦因數(shù)首先隨溫度增大而增大,然后隨溫度增大而減小.

分形區(qū)域的最大溫升隨滑動(dòng)速度的變化如圖3所示.根據(jù)圖3,分形區(qū)域的最大溫升隨滑動(dòng)速度增大而線性增大.ZrO2的最大滑動(dòng)速度為0.1852m/s,Al2O3-TiC的最大滑動(dòng)速度為1.951 m/s,WC的最大滑動(dòng)速度為2.969m/s,金剛石的最大滑動(dòng)速度為176.1m/s.在低速滑動(dòng)區(qū)域,金剛石具有最大的速度范圍,因?yàn)榻饎偸臒釘U(kuò)散率最高.對(duì)于給定的滑動(dòng)速度,ZrO2的最大溫升最高,因?yàn)閆rO2的比值E′/k最大.

圖3 分形區(qū)域的最大溫升隨滑動(dòng)速度的變化

實(shí)際接觸面積的溫升概率分布密度隨一個(gè)微接觸點(diǎn)的溫升的變化如圖4所示.根據(jù)圖4(a),非零域隨滑動(dòng)速度增大而擴(kuò)展.對(duì)于固定的滑動(dòng)速度1.951 m/s,Al2O3-TiC實(shí)際接觸面積溫升概率分布密度的穩(wěn)定水平常數(shù)值(即縱坐標(biāo)的最大值)比WC的低,因?yàn)榇藭r(shí)Al2O3-TiC所受的最大溫升更高.根據(jù)圖4(b),對(duì)于固定的量綱一分形粗糙度參數(shù),最大溫升隨分形維數(shù)增大而減小;對(duì)于固定的分形維數(shù),最大溫升隨量綱一分形粗糙度參數(shù)增大而增大.

當(dāng)Tm=69℃,T0=25℃時(shí),溫升的補(bǔ)充累積概率分布函數(shù)隨滑動(dòng)速度的變化如圖5所示.根據(jù)圖5,溫升的補(bǔ)充累積概率分布函數(shù)隨滑動(dòng)速度增大而增大,表明非潤(rùn)滑面積在加大;溫升的補(bǔ)充累積概率分布函數(shù)還隨分形維數(shù)增大或量綱一分形粗糙度參數(shù)減小而減小.對(duì)于相同的滑動(dòng)速度、分形維數(shù)和量綱一分形粗糙度參數(shù),Al2O3-TiC的溫升的補(bǔ)充累積概率分布函數(shù)比WC的高.

圖5 補(bǔ)充累積概率分布函數(shù)隨滑動(dòng)速度的變化

4 分形維數(shù)與分形粗糙度參數(shù)

在滑動(dòng)過程中,分形維數(shù)-時(shí)間關(guān)系如圖6所示.根據(jù)圖6,分形維數(shù)隨時(shí)間增大而增大.

圖6 分形維數(shù)-時(shí)間關(guān)系

在滑動(dòng)過程中,分形粗糙度參數(shù)-時(shí)間關(guān)系如圖7所示.根據(jù)圖7,分形粗糙度參數(shù)首先隨時(shí)間增大而增大,然后隨時(shí)間增大而減小.

圖7 分形粗糙度參數(shù)-時(shí)間關(guān)系

5 結(jié) 語

根據(jù)球形微凸體的赫茲接觸理論和MB修正模型,對(duì)微接觸點(diǎn)的溫升進(jìn)行了分析,得到了低速滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)的分形區(qū)域?qū)嶋H接觸面積溫升的補(bǔ)充累積概率分布函數(shù)的封閉形式表達(dá)式.

分形區(qū)域的最大溫升隨滑動(dòng)速度增大而線性增大.非零域隨滑動(dòng)速度增大而擴(kuò)展.對(duì)于固定的量綱一分形粗糙度參數(shù),最大溫升隨分形維數(shù)增大而減小.對(duì)于固定的分形維數(shù),最大溫升隨量綱一分形粗糙度參數(shù)增大而增大.溫升的補(bǔ)充累積概率分布函數(shù)隨滑動(dòng)速度增大而增大,隨分形維數(shù)增大或量綱一分形粗糙度參數(shù)減小而減小.平均溫升為最大溫升的0.4023倍,溫升的標(biāo)準(zhǔn)差為最大溫升的0.24倍.

[1]Hertz Heinrich.ü ber Die Berǜ hrung Fester Elastischer K?rper(On the Contact of Elastic Solids)[J].J reine und angewandte Mathematik,1882,92:156-171.

[2]Bhushan Bharat.Principles and Applications of Tribology[M].New York:John Wiley&Sons,1999:200.

[3]Blok H.Theoretical Study of Temperature Rise at Surfaces of Actual Contact Under Oiliness Lubricating Conditions[J].Proceedings of the General Discussion on Lubrication&Lubricants:the Institution of M echanical Engineers,1937,2:222-235.

[4]Archard J F.The Temperature of Rubbing Surfaces[J].Wear,1958-1959,2:438-455.

[5]Jaeger John Conrad.Moving Sources of Heat and the Temperature at Sliding Contacts[J].Journal and Proceedings of the Royal Society of New South Wales,1942,56:203-224.

[6]Wang S,Komvopoulos K.A Fractal Theory of the Interfacial Temperature Distribution in the Slow Sliding Regime:Part Ⅱ——M ultiple Domains,Elastoplastic Contacts and Applications[J].Journal of Tribology,1994,116(4):824-832.

[7]M ajumdar A,Bhushan Bharat.Fractal Model of Elastic-Plastic Contact Between Rough Surfaces[J].Journal of T ribology,1991,113(1):1-11.

[8]Ray Sudipto,Roy Chowdhury S K.Prediction of Flash Temperature at the Contact Between Sliding Bodies With Nanoscale Surface Roughness[J].Journal of Tribology,2007,129(3):467-480.

[9]Czichos H,Kirschke K.Investigations into Film Failure(Transition Point)of Lubricated Concentrated Contacts[J].Wear,1972,22(3):321-336.

[10]孟鳳英,丁啟朔,鹿 飛等.沖擊作用下粘性土壤破碎體的分形維數(shù)與影響因素[J].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào),2009,40(3):108-111,124.

[11]Johnson K L.One Hundred Years of Hertz Contact[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,1982,196:363-378.

[12]田紅亮,朱大林,秦紅玲.MB模型的修正及應(yīng)用[J].三峽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,31(6):54-59,66.

[13]Б eл и KOB P B.機(jī)床螺紋聯(lián)接的阻尼[J].胡 橋,譯.機(jī)床譯叢,1980(2):6-9.

[14]田紅亮,朱大林,方子帆.兩彈塑性接觸粗糙表面的嚴(yán)格解析解[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2010,227(1):225-227.

[15]Sackfield A,Hills D A.Some Useful Results in the Tangentially Loaded Hertzian Contact Problem[J].The Journal ofStrain AnalysisforEngineering Design,1983,18(2):107-110.

[16]Greenwood J A,Williamson J B P.Contact of Nominally Flat Surfaces[J].Proceedings of the Royal Society of London,1966,Series A M athematical and Physical Sciences 295(1442):300-319.

[17]Johnson K L.Contact Mechanics[M].Cambridge:Cambridge University Press,1985:175-176.

[18]Matthews J R.Indentation Hardness and Hot Pressing[J].Acta Metallurgica,1980,28(3):311-318.

[19]Holm Ragnar.Calculation of the Temperature Development in a Contact Heated in the Contact Surface,and Application to the Problem of the Temperature Rise in a Sliding Contact[J].Journal of Applied Physics,1948,19:361-366.

[20]張朝暉.ANSYS 11.0結(jié)構(gòu)分析工程應(yīng)用實(shí)例解析[M].2版.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2008:156-169.

[21]田紅亮,朱大林,秦紅玲.兩彈性接觸粗糙低速滑動(dòng)表面溫升的分形模型[J].三峽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,32(2):65-71.