施 穎，宋一凡，孫 慧，周新平

(1. 長安大學(xué)公路學(xué)院，西安 710064；2. 浙江工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，杭州 310014；3. 天津大學(xué)管理學(xué)院，天津 300072；4. 中交第一公路勘察設(shè)計研究院有限公司，西安 710075)

車輛過橋時將引起橋梁結(jié)構(gòu)的振動，而橋梁的振動又反過來影響車輛的振動，這種相互作用、相互影響的問題是車橋耦合振動問題．其研究自 1825年人類有了第一條鐵路就開始了[1-2]．在 20世紀 60年代以前，對于車橋耦合振動的研究主要集中在簡單移動荷載作用下的解析方法．計算機的出現(xiàn)和有限元法在工程上的應(yīng)用，使得建立復(fù)雜的車橋耦合振動分析模型成為可能．

近年來，由于高等級公路修建，橋跨越來越大、墩高越來越高，車速也大幅提高，交通流量顯著增長，重載車輛大量涌現(xiàn)，這些原因引起的車橋耦合振動已經(jīng)不可忽視，因此車橋動力分析問題也越來越吸引橋梁界人士更多的關(guān)注和重視．在過去的幾十年中，在設(shè)計橋梁時大多僅做靜力分析，動力分析往往僅涉及到結(jié)構(gòu)的振動特性及地震響應(yīng)、風(fēng)效應(yīng)方面，至于車對橋的作用僅采用沖擊力規(guī)范公式予以考慮，很少涉及到車與橋相互作用和影響的車橋耦合動力分析領(lǐng)域．雖然學(xué)者們對車橋耦合振動的研究已有近百年的歷史，但迄今為止仍沒有達到十分完善和成熟的水平，既有研究成果仍存在許多尚未解決的技術(shù)難題，因此非常有必要開展復(fù)雜橋梁車橋耦合振動及其影響分析的研究．

目前研究車橋耦合振動系統(tǒng)常用的分析方法有以下兩種：一種是用直接積分法求解耦合車橋系統(tǒng)運動方程，可給出沒有迭代過程的時程結(jié)果，但僅限于簡單橋梁；另外一種是把車橋耦合問題處理成兩種不同的運動方程系統(tǒng)，一個用于橋梁振動分析，另一個用于車輛振動分析，用輪與橋面(軌面)豎向位移協(xié)調(diào)來考慮車與橋的接觸，適合于分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系橋梁、多自由度車輛模型的車橋耦合振動分析．國內(nèi)許多學(xué)者均致力于后者的研究[3-7]，并應(yīng)用有限元的方法，但也要編制專用復(fù)雜程序計算．

隨著有限元技術(shù)的廣泛應(yīng)用和大型結(jié)構(gòu)分析軟件的大量涌現(xiàn)，為了方便實用、避免編制復(fù)雜專用程序，研究一種基于既有有限元分析軟件的數(shù)值分析方法，以實現(xiàn)對復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)(如彎橋等)車橋耦合振動及其影響的分析，具有理論意義和應(yīng)用前景．筆者采用本文方法首先通過簡支梁橋算例與參考文獻比較，然后對曲線連續(xù)梁橋在各影響因素(如不同車速、橋面不平度及是否考慮動離心力等)下進行了動力系數(shù)求解，并與規(guī)范值對比，兩者均有較好的吻合度，從而驗證了此分析方法的可行性．

1 車橋耦合振動分析原理與方法

目前車橋系統(tǒng)動力相互作用分析的經(jīng)典方法有移動力作用模型、移動質(zhì)量作用模型、移動車輪＋簧上質(zhì)量作用模型等[8]，這幾種方法都是在梁強迫振動微分方程的基礎(chǔ)上，利用振型疊加法和振型的正交特性推導(dǎo)出了橋梁的車橋系統(tǒng)動力平衡方程組，并編制專用復(fù)雜程序求解．

由文獻[9]知，車輛模型的差異對計算結(jié)果的影響很小，故本文只建立了1/2車與橋相互作用的力學(xué)分析模型，并把車和橋視作兩個分離體系，應(yīng)用廣義虛功原理[10]和有限元法推導(dǎo)了兩者的振動方程組，通過位移協(xié)調(diào)等方程來實現(xiàn)求解．

1.1 車輛模型及振動方程推導(dǎo)[11]

圖1所示為簡化為兩系的彈簧-阻尼-質(zhì)量系統(tǒng)的4自由度車輛模型，圖中：M為車體質(zhì)量，兩個自由度分別為豎向位移 Z和繞橫向軸的旋轉(zhuǎn)自由度α；m為構(gòu)架質(zhì)量與輪對質(zhì)量之和，每個塊質(zhì)量被賦予了一個豎向位移自由度(z1，z2)；sk為二系垂向剛度；sc為二系垂向阻尼；tk為一系垂向剛度；tc為一系垂向阻尼；支承車體點的豎向位移自由度分別記為1z′和2z′．

圖1 1/2車輛模型作用下的簡支梁橋Fig.1 Simply-supported girder bridge subjected to,1/2 vehicle model

按圖1所示坐標定義，則待求未知位移向量為

車輛模型中的力分別為：重力(Mg、im g，i＝1，2)、慣性力懸置力Fsi和輪胎力 Fti，

由幾何關(guān)系可得

由廣義虛功原理得

將式(1)、(2)代入式(3)，展開得到

式中：bvF 為車輛的輪胎與橋面接觸點處的瞬時耦合荷載向量；vG為重力荷載向量；vM 為車輛的質(zhì)量矩陣；vC為車輛的阻尼矩陣；vK為車輛的剛度矩陣．

1.2 橋跨結(jié)構(gòu)動力平衡方程

目前應(yīng)用較多的大跨度橋梁主梁的計算模型主要有 3種：魚骨式、雙梁式和三梁式．無論哪種模型，橋梁結(jié)構(gòu)最終的振動方程[11]可寫為

式中：M為橋梁的質(zhì)量矩陣；C為橋梁的阻尼矩陣；K為橋梁的剛度矩陣；˙˙X、˙X、X分別為橋梁節(jié)點的加速度、速度和位移向量；F為作用在橋梁節(jié)點上的力列向量．

1.3 位移聯(lián)系方程及車橋相互作用[11]

1.3.1 位移聯(lián)系方程

假設(shè)車輪在運行的過程中始終與橋面密貼不脫離，則使得車橋成為一個系統(tǒng)，輪對的位移可通過梁的相應(yīng)位移表示，其方程成為聯(lián)系方程，即

式中：zi為車輛第 i個輪胎由靜平衡位置起算的豎向位移；dri為行車路線的外形(dx)在作用點處的坐標(包括橋梁預(yù)拱度和橋面不平整等)；yi為橋梁在第 i個輪胎作用下的瞬時變位；ui為車輛各軸懸掛彈簧的相對位移．

1.3.2 車橋相互作用

將車輛和橋梁視作兩個分離體系，二者之間耦合作用通過輪胎與橋面間的相互作用聯(lián)系起來．輪胎與橋梁間的相互作用力可描述為[12-13]

式中：ki為第i個輪胎的剛度；ci為第i個輪胎的阻尼系數(shù)；ui、 u˙i為第i個輪胎與橋梁的豎向聯(lián)系位移和相對速度．

1.4 車橋耦合振動有限元數(shù)值計算方法

基于 ANSYS車橋耦合振動數(shù)值分析的具體方法、步驟及分析流程如圖2所示．

(1)基于 Matlab平臺，采用 Wilson-θ法編程求解，得到車輛振動時間和速度、時間和位移等響應(yīng)時程序列．

(2)利用既有大型通用結(jié)構(gòu)的分析軟件 ANSYS建立計算模型，求得橋梁振型與頻率．

(3)根據(jù)第(2)步計算得到的橋梁基頻，結(jié)合劃分單元數(shù)，綜合考慮車速等因素，選取合適的時間積分步長(積分步長一般可取為 Δ t ≤ T /15)．

(4)將車輛與橋梁接觸點聯(lián)系位移及相互作用力，輸入由 ANSYS建立的車橋振動相互作用有限元模型中，利用其瞬態(tài)動力學(xué)分析功能實現(xiàn)數(shù)值求解．

圖2 車橋耦合振動數(shù)值分析流程Fig.2 Flow chart of numerical analysis of, vehicle-bridge coupled vibration

(5)用第(4)步求解得出的位移、速度重復(fù)第(1)步進行修正車輛模型，再重復(fù)第(4)、第(5)步，如此循環(huán)直到前后兩次響應(yīng)曲線接近重合，即得最終解．

1.5 車橋耦合振動有限元數(shù)值計算方法比較

簡支梁橋動力分析模型如圖 1所示．車輛的技術(shù)參數(shù)按表 1[3]取值，橋梁參數(shù)如下：跨徑為 32,m，單位長度質(zhì)量為5.41×103,,kg/m，抗彎剛度為3.5×1010N·m2．按本文方法分別求解車速為 120,km/h和160,km/h 時，以車輛響應(yīng)曲線零點、0.5、1.0、1.5、2.0周期為計算起點的簡支梁橋跨中位移響應(yīng)曲線．計算結(jié)果與文獻[3]按 Ruge-Kutta法計算結(jié)果比較列于圖3和圖4，結(jié)果表明，本文以車輛響應(yīng)曲線2周期(見圖 5和圖 6)為計算起點得到的結(jié)果與文獻[3]計算結(jié)果基本吻合，說明該方法是可行的．

表1 車輛技術(shù)參數(shù)Tab.1 Technical parameters of vehicle

圖3 簡支梁跨中位移響應(yīng)曲線比較(120,km/h)Fig.3 Comparison of response curves of vertical displacement at middle strip for simplysupported beam(120,km/h)

圖4 簡支梁跨中位移響應(yīng)曲線比較(160,km/h)Fig.4 Comparison of response curves of vertical,displacement at middle strip for simply-,supported beam(160,km/h)

圖5 車輛位移響應(yīng)曲線Fig.5 Response curve of vehicle displacement

圖6 車輛速度響應(yīng)曲線Fig.6 Response curve of vehicle velocity

2 曲線連續(xù)梁橋車橋耦合振動數(shù)值分析

2.1 動力分析模型與技術(shù)參數(shù)

圖7、圖 8所示為 1/2車模作用下的連續(xù)彎梁橋動力分析模型和橫斷面圖．車輛技術(shù)參數(shù)按表 1取值，橋梁參數(shù)如下：跨徑為3×25,m的連續(xù)梁，曲率半徑為 200,m，單位長度質(zhì)量為 9.3×103,kg/m，豎向抗彎剛度為 3.21×1010,N·m2，橫向抗彎剛度為 5.01×1011,N·m2，抗扭剛度為 7.19×1010,N·m2．

2.2 不同車速對車橋耦合振動影響分析

圖7 1/2車輛模型作用下的連續(xù)彎梁橋Fig.7 Curved beam bridge subjected to 1/2 vehicle model

按本文方法分別求解車速為 40～120,km/h時橋梁振動響應(yīng)．曲線連續(xù)梁中跨跨中及邊跨跨中豎向位移響應(yīng)曲線和動力系數(shù)對比結(jié)果分別如圖 9～圖12所示．

由圖9～圖12分析可知：

(1)無論車輛的速度是多少，橋梁的最大動位移都發(fā)生在跨中附近；

圖8 連續(xù)彎梁橋截面示意(單位：cm)Fig.8 Cross-section sketch of curved beam bridge(unit:cm)

圖9 曲線梁橋中跨跨中豎向位移響應(yīng)曲線比較Fig.9 Comparison of response curves of mid-span vertical ,displacement at middle strip of curved beam bridge

圖10 曲線梁橋邊跨跨中豎向位移響應(yīng)曲線比較Fig.10 Comparison of response curves of side-span vertical displacement at middle strip of ,curved beam bridge

圖11 中跨跨中豎向位移動力系數(shù)與車速的關(guān)系Fig.11 Relationship between power coefficient of mid-span vertical displacement at middle strip and vehicle speed

圖12 邊跨跨中豎向位移動力系數(shù)與車速的關(guān)系Fig.12 Relationship between power coefficient of side-span vertical displacement at middle,strip and vehicle speed

(2)隨著車速的增加，振動響應(yīng)波動的幅值越來越大，頻率越來越低，周期變長；

(3)對各種車速，當車輛經(jīng)過在邊跨跨中位置的前后時刻，中跨跨中的動力系數(shù)達到最大；而當車輛經(jīng)過在中跨跨中位置的前后時刻，邊跨跨中的動力系數(shù)達到最大；

(4)中跨和邊跨跨中豎向位移最大動力系數(shù)先隨著車輛速度的增加而增大，在車速 80,km/h時出現(xiàn)一個轉(zhuǎn)折點，取得極值出現(xiàn)了共振現(xiàn)象．

2.3 橋面不平整度對車橋耦合振動影響分析

路面不平整度是指路表面相對于基準平面的偏離程度．大量的試驗測量結(jié)果表明，路面不平整是具有零均值、各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn) Gauss隨機過程．在實際中，通常用功率譜來描述路面的統(tǒng)計特性，且路面不平整度的功率譜密度可擬合為[14]

式中：n為空間頻率，m-1；n0為參考空間頻率，n0＝0.1,m-1；Gx( n0)為路面不平度系數(shù)；Gx( n)為位移功率譜密度；w為頻率指數(shù)，取w＝2．

根據(jù) GB/T 7031—1986，據(jù)統(tǒng)計我國高等級公路基本屬于 A、B、C 3個等級[15]，橋面大多相當于公路C級路面．圖 13是根據(jù)文獻[14]的數(shù)值模擬方法得到的公路A、B和C級路面的不平整度曲線．計入橋面不平整度的橋梁中跨跨中和邊跨跨中的動力系數(shù)計算結(jié)果匯總于表2．

由圖 11、圖 12與表 2的對比分析可知：計入橋面不平整度后，橋梁的振動響應(yīng)波動的幅值明顯增大，頻率變低、周期變長，且橋梁的最大動力系數(shù)由原來的 1.24增大到 1.58，故橋面不平整度對橋梁的車橋耦合振動影響很大，這正好與文獻[7]認為橋面平整度是影響橋梁車激振動的主要因素之一相吻合，分析時應(yīng)予以考慮．

表2 動力系數(shù)計算結(jié)果匯總Tab.2 Summary of dynamic coefficient calculation

圖13 A、B和C級橋面的不平整度曲線Fig.13 Roughness curves of grade A，B and C pavement

2.4 車輛離心力對車橋耦合振動的影響分析

圖14和圖 15是按本文方法分別求得車速60,km/h時不計車輛動離心力和計入車輛動離心力的橋梁振動響應(yīng)時程曲線，其中離心力的計算按 JTG D60—2004第 4.3.3.1條規(guī)定進行，并移至橋梁截面的中心處．限于篇幅，本文只列出中跨跨中豎向位移和扭轉(zhuǎn)角時程曲線兩者對比．

由圖14和圖15對比分析可知：離心力對橋梁豎向動態(tài)響應(yīng)影響不大(圖中兩曲線基本重合)，但使橋梁扭轉(zhuǎn)角動態(tài)響應(yīng)加?。?/p>

圖14 中跨跨中豎向位移時程曲線比較Fig.14 Comparison of time-history curves of mid-spanv ertical displacement at middle strip

圖15 中跨跨中扭轉(zhuǎn)角時程曲線比較Fig.15 Comparison of time-history curves of mid-span twist angel at middle strip

3 結(jié) 語

按JTG D60—2004給定的連續(xù)梁基頻估算公式得出本算例計算沖擊力引起的正彎矩效應(yīng)和剪力效應(yīng)時的基頻 f＝6.441,Hz，由此計算的沖擊系數(shù)為0.313，換算為動力系數(shù)為 1.313，對中跨來說僅大5.6%，基本吻合，但對邊跨來說減幅高達 20.3%，存在著不安全的隱患，應(yīng)引起重視．

通過簡支梁算例計算結(jié)果與參考文獻結(jié)果的比較分析可知，以車輛響應(yīng)曲線2.0周期為計算起點并經(jīng)兩次修正后，數(shù)值分析得到的橋梁響應(yīng)曲線具有較好的精度；通過連續(xù)梁計算結(jié)果與規(guī)范比較也有較好的吻合度，這充分驗證了本文利用既有有限元程序?qū)崿F(xiàn)車橋耦合振動響應(yīng)數(shù)值分析方法的可行性，從而為研究復(fù)雜橋梁(如連續(xù)彎橋、高墩連續(xù)剛構(gòu)、拱橋、斜拉橋等)車橋耦合提供了一種簡便而可靠的數(shù)值分析方法．

［1］ IM Biggs. Introduction to Structural Dynamic[M]. New York：McGraw-Hill Book Co，Inc，1964.

［2］ Fryba L. Vibration of Solids and Structures Under Moving Loads [M]. The Netherlands：Noordhoff International Publishing Groningen，1972.

［3］ 沈火明，肖新標. 求解車橋耦合振動問題的一種數(shù)值方法[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報，2003，38(6)：658-662.Shen Huoming，Xiao Xinbiao. Numerical method for ve-hicle-bridge couple vibrations[J]. Journal of Southwest Jiaotong University，2003，38(6)：658-662(in Chinese).

［4］ 王解軍，張 偉. 汽車荷載作用下梁橋的動力沖擊效應(yīng)研究[J]. 振動與沖擊，2007，26(6)：125-128.Wang Xiejun，Zhang Wei. Power effect of impact of beam bridge under vehicular loads[J]. Journal of Vibration and Shock，2007，26(6)：125-128(in Chinese).

［5］ 劉 華，葉見署，張 濤. 連續(xù)梁在行駛車輛作用下的動態(tài)反應(yīng)[J]. 交通運輸工程學(xué)報，2006，6(2)：26-29，34.Liu Hua，Ye Jianshu，Zhang Tao. Dynamic response of continuous girder bridge under moving vehicular loads[J]. Journal of Traffic and Transportation Engineering，2006，6(2)：26-29，34(in Chinese).

［6］ 單得山，李 喬. 鐵路曲線連續(xù)梁橋車橋耦合振動分析[J]. 中國鐵道科學(xué)，2004，25(5)：20-25.Shan Deshan，Li Qiao. Analysis of vehicle-bridge coupling vibration on railway curve continuous beam bridge[J]. China Railway Science，2004，25(5)：20-25(in Chinese).

［7］ 王潮海，王宗林. 車-橋耦合振動分析的模態(tài)綜合方法[J]. 公路交通科技，2006，23(12)：76-80，90.Wang Chaohai，Wang Zonglin. Dynamic analysis on coupled vehicle-bridge system by modal synthesis method[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development，2006，23(12)：76-80，90(in Chinese).

［8］ 宋一凡. 公路橋梁動力學(xué)[M]. 北京：人民交通出版社，2000.Song Yifan. Dynamics of Highway Bridge[M]. Beijing：The People’s Communications Publishing House ，2000(in Chinese).

［9］ 申永剛. 大跨度 CFRP拉索斜拉橋的模態(tài)阻尼特性研究[D]. 杭州：浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，2008.Shen Yonggang. Modal Damping of Long-Span Cable-Staved Bridges with CFRP Cables[D]. Hangzhou：College of Architectural Engineering，Zhejiang University，2008(in Chinese).

［10］ 曾慶元．彈性系統(tǒng)動力學(xué)總勢能不變值原理[J]. 華中理工大學(xué)學(xué)報，2000，28(1)：1-3.Zeng Qingyuan．The principle of total potential energy with stationary value in elastic system dynamics[J].Journal of Huazhong University of Science &Technology，2000，28(1)：1-3(in Chinese).

［11］ 王亞昆. 大跨度自錨式懸索橋車橋耦合振動數(shù)值分析[D]. 西安：長安大學(xué)公路學(xué)院，2008.Wang Yakun. Vehicle-Bridge Coupled Dynamical Numerical Analysis for Long Span Self-Anchored Suspension Bridge[D]. Xi′an：School of Highway，Chang’an University，2008(in Chinese).

［12］ Henchi K，F(xiàn)afard M，Talbot M，et al. An efficient algorithm for dynamic analysis of bridge under moving vehicles using a coupled modal and physical components approach[J]. Journal of Sound and Vibration，1998，212(4)：663-683.

［13］ Huang D Z. Dynamic analysis of steel curved box girder bridges [J]. Journal of Bridge Engineering，2001，6(6)：506-513.

［14］ 宋一凡，陳榕峰. 基于路面不平整度的車輛振動響應(yīng)方法[J]. 交通運輸工程學(xué)報，2007，7(4)：39-43.Song Yifan，Chen Rongfeng. Analysis method of vehicle vibration response caused by pavement roughness[J].Journal of Traffic and Transportation Engineering，2007，7(4)：39-43(in Chinese).

［15］ 余志生. 汽車理論[M]. 5版．北京：機械工業(yè)出版社，2009.Yu Zhisheng. Automobile Theory[M].5th ed． Beijing：China Machine Press，2009(in Chinese).