湯雙清，胡 歡，徐艷飛

(三峽大學(xué) 機械與材料學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

符號說明

Dw——鋼球直徑，mm

Dpw——球組節(jié)圓直徑，mm

E——彈性模量

E1——當(dāng)量彈性模量

μ——接觸體的泊松比

ε——第二類橢圓積分

k——接觸橢圓系數(shù)

f——溝道曲率系數(shù)

Li，Le——星形套、鐘形殼與鋼球接觸點的力臂，mm

p——接觸應(yīng)力

P0——溝道與鋼球間的接觸載荷，N

R1——圓弧溝道曲率半徑，mm

∑R——主曲率半徑和，mm

Rx,Ry——當(dāng)量主曲率半徑，mm

rax,ray——接觸點鋼球主曲率半徑，mm

rbx,rby——接觸點溝道主曲率半徑，mm

T——萬向節(jié)傳遞的扭矩，N·m

Z——鋼球數(shù)

下標(biāo)

i——內(nèi)圈(星形套)溝道

e——外圈(鐘形殼)溝道

球籠式等速萬向節(jié)是目前應(yīng)用最為廣泛的等速萬向節(jié)，作為前置前驅(qū)動轎車的關(guān)鍵部件，等速萬向節(jié)的性能和壽命與接觸應(yīng)力密切相關(guān)，萬向節(jié)疲勞破壞的特征通常是溝道表面產(chǎn)生剝落和麻點[1-2]。圓弧形溝道由于容易加工，且鋼球和溝道只有兩個接觸點，不易出現(xiàn)“滯點”而被廣泛使用。以下通過使用Hertz接觸理論對球籠式等速萬向節(jié)圓弧形溝道的接觸應(yīng)力進行參數(shù)化的公式推導(dǎo)，尋找出對萬向節(jié)溝道接觸應(yīng)力有影響的參數(shù)。應(yīng)用正交試驗優(yōu)化設(shè)計方法，將相應(yīng)的影響參數(shù)選取為主要因素，并將其作為自變量設(shè)計正交化試驗。對正交試驗結(jié)果進行極差分析，得到3個主要因素對接觸應(yīng)力大小的影響程度。通過關(guān)注主要的影響因素，來指導(dǎo)圓弧形溝道等速萬向節(jié)的設(shè)計生產(chǎn)加工，以便能有效減小溝道接觸應(yīng)力，從而增加其使用壽命。

1 圓弧形溝道接觸應(yīng)力的理論推導(dǎo)及影響因素

對等速萬向節(jié)進行內(nèi)部接觸應(yīng)力的理論分析，實際上是進行彈性接觸分析，目前彈性接觸分析主要采用的是Hertz接觸理論。

1.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定

圓弧截面形式的溝道是由一半徑稍大于鋼球半徑的圓弧形成，如圖1所示，以鋼球球心為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，OO1為圓弧的圓心和鋼球圓心之間的距離。

圖1 圓弧溝道幾何模型

(1)

R1=fDw

(2)

由(2)式可得：

(3)

由此可知，圓弧溝道的結(jié)構(gòu)參數(shù)OO1，R1僅同鋼球直徑Dw和接觸點溝曲率系數(shù)f有關(guān)。

1.2 圓弧溝道主曲率半徑和的確定

鋼球與內(nèi)圈接觸主曲率可表示為：

(4)

rby=-R1=-fDw

同理,鋼球與外圈接觸主曲率可表示為：

(5)

rby=-R1=-fDw

引入當(dāng)量主曲率：

(6)

(7)

主曲率和表示為：

(8)

則對于內(nèi)溝道：

對于外溝道：

1.3 Hertz理論接觸應(yīng)力計算公式

根據(jù)文獻[1]中的介紹，假定理想狀態(tài)下作用在各球上的力相等，接觸區(qū)處于彈性應(yīng)力狀態(tài)，且接觸面尺寸比物體接觸點曲率半徑小得多。由此便可直接引用Hertz理論求解接觸應(yīng)力。

傳遞扭矩為T時6個鋼球同時受載，理想狀態(tài)下6個鋼球上傳遞力的大小相同，此時作用在鋼球與溝道接觸點的接觸載荷可表示為[4]：

(9)

(10)

當(dāng)接觸點主曲率、法向載荷、彈性模量和泊松比已知時，用Hertz公式求得接觸橢圓長、短半軸，進而可求得最大接觸應(yīng)力。

(11)

k和ε分別為橢圓系數(shù)和第二類橢圓積分，可分別由下式求得[4]：

1.4 溝道接觸應(yīng)力的影響因素

由上兩節(jié)的公式推導(dǎo)可知，對圓弧形溝道接觸應(yīng)力有直接影響的參數(shù)為法向載荷P0、當(dāng)量彈性模量E1、橢圓系數(shù)k、第二類橢圓積分ε以及接觸點主曲率半徑和∑R。當(dāng)萬向節(jié)的材料一定時，接觸體的彈性模量和泊松比就一定，從而當(dāng)量彈性模量E1一定；在鋼球數(shù)Z=6及傳遞的扭矩T一定時，對法向載荷P0的影響參數(shù)為球組節(jié)圓直徑Dpw和鋼球直徑Dw；橢圓系數(shù)k、第二類橢圓積分ε以及接觸點主曲率半徑和∑R都與球組節(jié)圓直徑Dpw、鋼球直徑Dw以及溝道的溝曲率系數(shù)f有關(guān)，由此可知，圓弧形球籠式等速萬向節(jié)溝道接觸應(yīng)力的主要影響因素為Dpw，Dw和f。

2 接觸應(yīng)力影響因素的正交試驗優(yōu)化設(shè)計

2.1 正交試驗的因素與水平確定

對圓弧形球籠式等速萬向節(jié)溝道接觸應(yīng)力有直接影響的結(jié)構(gòu)參數(shù)為球組節(jié)圓直徑Dpw、鋼球直徑Dw以及溝道的溝曲率系數(shù)f，故以這3個參數(shù)作為正交試驗的因素，以溝道接觸應(yīng)力大小為正交試驗的性能指標(biāo)進行正交試驗。

參照文獻[3]中等速驅(qū)動軸的相關(guān)參數(shù)，選取球籠式等速萬向節(jié)傳遞的最大轉(zhuǎn)矩為T=1 122 N·m，所用鋼球直徑為Dw=15.875 mm，球組節(jié)圓直徑為Dpw=54.3 mm，雙心弧溝道和橢圓溝道與鋼球接觸角β=45°，圓弧形溝道溝曲率系數(shù)通常取f=0.505～0.520。鋼球材料為GCr15，泊松比為μa=0.29，彈性模量為Ea=2.06×1011N/m2；鐘形殼材料為55#鋼，泊松比為μb=0.3，彈性模量為Eb=2.01×1011N/m2；星形套材料為20CrMnTi，泊松比為μc=0.29，彈性模量為Ec=2.06×1011N/m2。按照以上3個因素的取值，每個因素取3種水平，其正交試驗的因素水平表如表1所示。

表1 接觸應(yīng)力正交試驗優(yōu)化設(shè)計因素水平表

2.2 正交試驗方案組合及計算

因該正交試驗有3個因素，每個因素都有3個水平，現(xiàn)選用L9(34)列出接觸應(yīng)力的正交試驗方案表(表2)[5-7]。

表2 接觸應(yīng)力正交試驗方案組合表

根據(jù)上節(jié)中已知的各種參數(shù)及表2中對應(yīng)的9組正交試驗方案，由(11)式分別計算相應(yīng)內(nèi)、外溝道的接觸應(yīng)力，得出各試驗的各項指標(biāo)結(jié)果(表3)。

表3 各試驗方案的指標(biāo)結(jié)果

3 極差分析法分析

3.1 極差分析法計算

由表3的各列因素A，B，C分別計算每一種水平上試驗值(接觸應(yīng)力性能指標(biāo))的平均數(shù)[5-7]。

即因素A在1，2，3水平上試驗值的平均數(shù)分別為：

(1)對于內(nèi)溝道

K1A=3 303.62；K2A=3 176.88；

K3A=3 106.80。

因素B在1，2，3水平上試驗值的平均數(shù)分別為

K1B=3 255.82；K2B=3 232.74；

K3B=3 098.74。

因素C在1，2，3水平上試驗值的平均數(shù)分別為

K1C=2 686.80；K2C=3 296.75；

K3C=3 603.76。

算出因素A,B,C的極差R(1，2，3水平中最大減最小的差)

RA=196.82；RB=157.08；RC=916.96。

(2)對于外溝道

K1A=2 439.42；K2A=2 430.37；

K3A=2 402.71。

因素B在1，2，3水平上試驗值的平均數(shù)分別為

K1B=2 551.82；K2B=2 415.43；

K3B=2 305.24。

因素C在1，2，3水平上試驗值的平均數(shù)分別為

K1C=2 051.81；K2C=2 470.10；

K3C=2 750.58。

算出因素A,B,C的極差(1，2，3水平中最大減最小的差)

RA=36.71;RB=246.58;RC=698.77。

3.2 各因素極差R主次關(guān)系比較分析

根據(jù)計算，對于內(nèi)溝道：RC>RA>RB；對于外溝道：RC>RB>RA。

由上面的各因素極差值的比較可知：溝道的溝曲率系數(shù)對球籠式等速萬向節(jié)內(nèi)、外溝道接觸應(yīng)力的影響極為顯著；而球組節(jié)圓直徑和鋼球直徑的影響次之。

3.3 因素水平與指標(biāo)關(guān)系圖及試驗分析

因素A實際水平為52.4，54.3，56.2 mm。以實際水平為橫坐標(biāo)，試驗值(接觸應(yīng)力性能指標(biāo))平均數(shù)K1A，K2A，K3A為縱坐標(biāo)，按照內(nèi)、外溝道分別作圖。對因素B、因素C也同樣作圖[5-7]，詳見圖2～圖4。

圖2 平均接觸應(yīng)力與A因素水平關(guān)系圖

圖3 平均接觸應(yīng)力與B因素水平關(guān)系圖

圖4 平均接觸應(yīng)力與C因素水平關(guān)系圖

由以上平均接觸應(yīng)力與各因素水平關(guān)系圖可知：在總體趨勢上，內(nèi)溝道接觸應(yīng)力大于外溝道接觸應(yīng)力與實際非常相符。圖2中，內(nèi)、外溝道的接觸應(yīng)力隨著球組節(jié)圓直徑的增大而減小。圖3中，內(nèi)、外溝道的接觸應(yīng)力也是隨著鋼球直徑的增大而減小，這說明通過適當(dāng)增大球組節(jié)圓直徑和鋼球直徑，可以減小球籠式等速萬向節(jié)內(nèi)、外溝道的接觸應(yīng)力。但同時，球組節(jié)圓直徑和鋼球直徑的增大，會使整個球籠式萬向節(jié)尺寸增大，這又是不利的。圖4中，隨著溝曲率系數(shù)的增大，內(nèi)、外溝道的接觸應(yīng)力增大，而且變化趨勢較大，這也驗證了溝曲率系數(shù)是影響圓弧形球籠式等速萬向節(jié)內(nèi)、外溝道接觸應(yīng)力最為顯著的影響因素。減小溝曲率系數(shù)，可以顯著地減小其內(nèi)、外接觸應(yīng)力，從而增加其使用壽命。溝曲率系數(shù)的減小，意味著鋼球和溝道的接觸區(qū)域增大，這也對溝道的加工以及內(nèi)部潤滑及散熱提出較高的要求。

4 結(jié)束語

通過使用Hertz接觸理論公式及結(jié)構(gòu)參數(shù)的推導(dǎo)，提出對圓弧形球籠式等速萬向節(jié)內(nèi)、外溝道接觸應(yīng)力大小有影響的3個因素——鋼球回轉(zhuǎn)直徑、鋼球直徑以及溝道溝曲率系數(shù)，通過應(yīng)用正交試驗優(yōu)化設(shè)計方法，驗證了溝道溝曲率系數(shù)是影響圓弧形球籠式等速萬向節(jié)內(nèi)、外溝道接觸應(yīng)力最為顯著的影響因素。通過適當(dāng)控制溝道溝曲率系數(shù)大小，可以達到有效減小內(nèi)、外接觸應(yīng)力，提高其性能及使用壽命的目的。