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        基于Origin平臺的滾動疲勞壽命Weibull分析

        2010-07-26 10:07:24張軍利陳建春周井玲
        軸承 2010年6期
        關(guān)鍵詞:陶瓷球圖解法斜率

        張軍利,陳建春,周井玲

        (南通大學(xué) 機械工程學(xué)院,江蘇 南通 226007)

        滾動接觸疲勞壽命具有離散性,需用數(shù)理統(tǒng)計的方法處理數(shù)據(jù),才能對疲勞性能有比較清楚的了解。在多種分布理論中,由于Weibull分布更接近壽命試驗結(jié)果,數(shù)學(xué)處理也較方便,所以在討論滾動軸承壽命時,絕大多數(shù)都采用Weibull分布進行分析[1]。

        Weibull分布常用的有圖解法和估算法。圖解法,即利用Weibull概率紙,對試驗數(shù)據(jù)進行分析和評價。由于使用概率紙比較簡單直觀,故圖解法成為獲取Weibull分布參數(shù)估計的常用方法。然而,由于受描點、連線、測量的肉眼誤差,甚至筆尖粗細等因素的影響,導(dǎo)致這種傳統(tǒng)的手工圖解法的計算精度不太理想。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展,目前已出現(xiàn)了Weibull分布分析的專用軟件,如美國的Relex Weibull,Weibull ++等,能較好地解決此類問題。但是,使用此類專用軟件進行數(shù)據(jù)量不大或者頻率不高的Weibull分析時,成本相對太高。因此,下文提出了一種基于常用數(shù)據(jù)分析軟件Origin平臺進行Weibull分析的簡便方法。

        1 Weibull分布與Weibull概率紙

        1.1 Weibull分布概述

        自從Palmgen A將Weibull分布用于滾動軸承分析以來,一直沿用至今[1]。Weibull分布函數(shù)為:

        (1)

        式中:F(L)為軸承壽命不大于L時的破壞概率;L為壽命,作為隨機變量處理;L0為分布中最小的壽命值,一般設(shè)其為0;β為斜率參數(shù),表示一批軸承壽命的離散性,β值越大,表明離散性越??;η為特征壽命參數(shù),又稱作尺度參數(shù),表示破壞概率為0.632時所對應(yīng)的軸承壽命。文獻[2]從疲勞統(tǒng)計理論觀點證實了(1)式的合理性。

        1.2 Weibull分布概率紙

        為便于直觀檢查Weibull分布與試驗結(jié)果的符合程度并近似估計Weibull分布的參數(shù),常利用Weibull分布的概率紙[2]。

        將(1)式改寫成:

        (2)

        然后,對(2)式兩邊取兩次對數(shù),整理后可得:

        lglg[1-F(L)]-1=βlgL+(-lgηβk)

        (3)

        式中:k=2.303。

        設(shè):lglg[1-F(L)]-1=y,β=α,lgL=x,(-lgηβk)=b,則上式可表示為:

        y=ax+b

        (4)

        (4)式為一個線性方程,x,y的關(guān)系可用直線在等間隔刻度的直角坐標(biāo)系中表示。以lglg[1-F(L)]-1為縱坐標(biāo)刻度,以lgL為橫坐標(biāo)刻度,這樣滿足(3)式的分布即Weibull分布,在圖中為直線,這種格式的紙稱為Weibull概率紙[1]。

        1.3 Weibull概率紙中壽命數(shù)據(jù)的標(biāo)圖

        將1組壽命試驗所得的n個轉(zhuǎn)數(shù)數(shù)據(jù)按數(shù)值大小進行排列,可得:L1≤L2≤…≤Li≤Ln,Li稱為次序統(tǒng)計量。顯然,Li是隨機變量,與之所對應(yīng)的破壞概率為F(Li),F(xiàn)(Li)的數(shù)學(xué)期望為:

        (5)

        表1 ZrO2陶瓷球疲勞試驗數(shù)據(jù)

        2 陶瓷球疲勞壽命的Weibull分布分析

        2.1 傳統(tǒng)壽命總體估計方法

        傳統(tǒng)壽命總體估計方法是以手工繪制試驗數(shù)據(jù)點,即在Weibull概率紙上先直接描繪點,然后目測一條直線,讀出特征壽命η,當(dāng)F(L)=90時,則lglg[1-F(L)]-1=0,由(3)式得到的β=lgk/(lgL-lgη)可確定Weibull分布參數(shù),估計壽命。此法雖然簡單,但是描點、連線、測量過程中容易產(chǎn)生較大人為誤差,使得其計算精度不太理想。當(dāng)坐標(biāo)點離散性較大時,還需要應(yīng)用最小二乘法進行直線回歸,即用(6)~(10)式將其變換成等刻度的坐標(biāo)值x,y后,再進行線性回歸[1]。

        x=logL

        (6)

        y=ax+b

        (7)

        (8)

        (9)

        F(x)=1-1/1010y

        (10)

        通過計算 (8)和(9) 式可求得回歸直線的斜率和截距,從而得到 (7) 式的表達式,然后用 (10) 式估計總體壽命的分布。從上面的公式和計算步驟可看出,當(dāng)試驗數(shù)據(jù)組較多時,利用上面的公式進行計算就比較繁瑣。

        2.2 基于Origin軟件平臺Weibull分析的方法

        下面提出的方法,是在Origin平臺上,將試驗數(shù)據(jù)利用最小二乘法原理直接進行直線回歸,求得直線的截距和斜率;并且在繪制Weibull概率紙的同時描繪試驗點和回歸直線。此法方便、易行,且提高了計算精度和工作效率。該方法具體步驟如下:

        第1步。將表1第2,3列所示的2組ZrO2陶瓷球疲勞壽命試驗數(shù)據(jù)輸入圖2的A(x1),C(x2)列,先選中A(x1)列,單擊鼠標(biāo)右鍵,選中set column values,即出現(xiàn)‘set values’界面,如圖1所示,點擊選項F(x),選擇log(),在窗口中輸入式子log(Col(A))。C(x2)與A(x1)操作命令相同,最后按OK自動求得對應(yīng)的計算結(jié)果,如圖2中A(x1)和C(x2)所示;圖2中B(y1),D(y2)輸入表1第5列的數(shù)據(jù)。

        圖1 set values窗口中直線的輸入

        圖2 直線擬合所需要的數(shù)據(jù)

        第2步。選中圖2的4列數(shù)據(jù),使用Origin中菜單欄Analysis>>Fit liner對2組試驗數(shù)據(jù)進行擬合,可分別得到2組回歸直線的截距和斜率及相關(guān)的其他數(shù)據(jù)。由圖3可知,第1組回歸直線的斜率a1=0.841,截距b1=-5.292;第2組線的斜率a2=0.497,截距b2=-3.150。代入(4)式可得回歸直線分別為:y1=0.841x-5.292,y2=0.497x-3.150。在Origin中方程的輸入與圖1相似,第1組輸入:0.841log(Col(A))-5.292。第2組輸入:0.497log(Col(A))-3.150。

        圖3 試驗點擬合結(jié)果

        第3步。將用于繪制Weibull概率紙、2組試驗點和2組回歸直線的數(shù)據(jù)列在Origin的sheet工作表中,如圖4所示。選中sheet工作表中所有數(shù)據(jù),點擊菜單欄Graph>>Add Plot to Layer>>Line來繪制Weibull概率紙、2組試驗點及2組試驗點的回歸直線。完成直線的繪制后,在Origin的Graph界面中,對橫坐標(biāo)取常用對數(shù),修改線的顏色、線型以及線寬等屬性,調(diào)整圖形后可得到如圖5所示的Weibull概率紙、試驗點及其回歸直線。

        圖4 繪制Weibull概率紙和擬合直線所需的數(shù)據(jù)

        圖5 Weibull概率紙上數(shù)據(jù)的標(biāo)圖

        第4步。分析Weibull概率紙上的分布特性。用鼠標(biāo)選中Origin工具欄中的screen reader或者draw data工具,可在圖中讀出任意失效概率下的陶瓷球的壽命。如圖6所示,第1組試驗數(shù)據(jù)的額定壽命L10=5.016×104,中值壽命L50=4.766×105,特征壽命L63.2=7.363×105;第2組試驗數(shù)據(jù)L10=4.399×103,L50=1.969×105,L63.2=4.079×105。

        圖6 讀取任意概率下的壽命值

        Weibull概率紙中的每一條回歸直線代表1組ZrO2陶瓷球疲勞壽命的概率分布。回歸直線在圖中的位置反映了該組試驗球壽命的長短,直線斜率越小則表示試驗球在同樣的失效概率下壽命越長。

        3 結(jié)束語

        綜上所述,采用基于Origin平臺的Weibull分析的方法來繪制Weibull概率紙、試驗數(shù)據(jù)點以及進行直線回歸和分析是非常方便的。這種方法減小了傳統(tǒng)圖解法的誤差,彌補了專用分析軟件成本昂貴的不足,簡化了繁瑣的數(shù)據(jù)計算,為各種試驗數(shù)據(jù)的Weibull分布分析提供了極大的便利。

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