張軍利，陳建春，周井玲

(南通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南通 226007)

滾動(dòng)接觸疲勞壽命具有離散性，需用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法處理數(shù)據(jù)，才能對(duì)疲勞性能有比較清楚的了解。在多種分布理論中，由于Weibull分布更接近壽命試驗(yàn)結(jié)果，數(shù)學(xué)處理也較方便，所以在討論滾動(dòng)軸承壽命時(shí)，絕大多數(shù)都采用Weibull分布進(jìn)行分析[1]。

Weibull分布常用的有圖解法和估算法。圖解法，即利用Weibull概率紙，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)。由于使用概率紙比較簡單直觀，故圖解法成為獲取Weibull分布參數(shù)估計(jì)的常用方法。然而，由于受描點(diǎn)、連線、測量的肉眼誤差，甚至筆尖粗細(xì)等因素的影響，導(dǎo)致這種傳統(tǒng)的手工圖解法的計(jì)算精度不太理想。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，目前已出現(xiàn)了Weibull分布分析的專用軟件，如美國的Relex Weibull，Weibull ++等，能較好地解決此類問題。但是，使用此類專用軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)量不大或者頻率不高的Weibull分析時(shí)，成本相對(duì)太高。因此，下文提出了一種基于常用數(shù)據(jù)分析軟件Origin平臺(tái)進(jìn)行Weibull分析的簡便方法。

1 Weibull分布與Weibull概率紙

1.1 Weibull分布概述

自從Palmgen A將Weibull分布用于滾動(dòng)軸承分析以來，一直沿用至今[1]。Weibull分布函數(shù)為：

(1)

式中:F(L)為軸承壽命不大于L時(shí)的破壞概率；L為壽命，作為隨機(jī)變量處理；L0為分布中最小的壽命值，一般設(shè)其為0；β為斜率參數(shù)，表示一批軸承壽命的離散性，β值越大，表明離散性越?。沪菫樘卣鲏勖鼌?shù)，又稱作尺度參數(shù)，表示破壞概率為0.632時(shí)所對(duì)應(yīng)的軸承壽命。文獻(xiàn)[2]從疲勞統(tǒng)計(jì)理論觀點(diǎn)證實(shí)了(1)式的合理性。

1.2 Weibull分布概率紙

為便于直觀檢查Weibull分布與試驗(yàn)結(jié)果的符合程度并近似估計(jì)Weibull分布的參數(shù)，常利用Weibull分布的概率紙[2]。

將(1)式改寫成：

(2)

然后,對(duì)(2)式兩邊取兩次對(duì)數(shù)，整理后可得：

lglg[1-F(L)]-1=βlgL+(-lgηβk)

(3)

式中：k=2.303。

設(shè):lglg[1-F(L)]-1=y，β=α，lgL=x，(-lgηβk)=b，則上式可表示為：

y=ax+b

(4)

(4)式為一個(gè)線性方程，x，y的關(guān)系可用直線在等間隔刻度的直角坐標(biāo)系中表示。以lglg[1-F(L)]-1為縱坐標(biāo)刻度，以lgL為橫坐標(biāo)刻度，這樣滿足(3)式的分布即Weibull分布，在圖中為直線，這種格式的紙稱為Weibull概率紙[1]。

1.3 Weibull概率紙中壽命數(shù)據(jù)的標(biāo)圖

將1組壽命試驗(yàn)所得的n個(gè)轉(zhuǎn)數(shù)數(shù)據(jù)按數(shù)值大小進(jìn)行排列，可得：L1≤L2≤…≤Li≤Ln，Li稱為次序統(tǒng)計(jì)量。顯然，Li是隨機(jī)變量，與之所對(duì)應(yīng)的破壞概率為F(Li)，F(xiàn)(Li)的數(shù)學(xué)期望為：

(5)

表1 ZrO2陶瓷球疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)

2 陶瓷球疲勞壽命的Weibull分布分析

2.1 傳統(tǒng)壽命總體估計(jì)方法

傳統(tǒng)壽命總體估計(jì)方法是以手工繪制試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn),即在Weibull概率紙上先直接描繪點(diǎn)，然后目測一條直線，讀出特征壽命η，當(dāng)F(L)=90時(shí)，則lglg[1-F(L)]-1=0，由(3)式得到的β=lgk/(lgL-lgη)可確定Weibull分布參數(shù)，估計(jì)壽命。此法雖然簡單，但是描點(diǎn)、連線、測量過程中容易產(chǎn)生較大人為誤差，使得其計(jì)算精度不太理想。當(dāng)坐標(biāo)點(diǎn)離散性較大時(shí)，還需要應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行直線回歸，即用(6)～(10)式將其變換成等刻度的坐標(biāo)值x,y后，再進(jìn)行線性回歸[1]。

x=logL

(6)

y=ax+b

(7)

(8)

(9)

F(x)=1-1/1010y

(10)

通過計(jì)算 (8)和(9) 式可求得回歸直線的斜率和截距，從而得到 (7) 式的表達(dá)式，然后用 (10) 式估計(jì)總體壽命的分布。從上面的公式和計(jì)算步驟可看出，當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)組較多時(shí)，利用上面的公式進(jìn)行計(jì)算就比較繁瑣。

2.2 基于Origin軟件平臺(tái)Weibull分析的方法

下面提出的方法，是在Origin平臺(tái)上，將試驗(yàn)數(shù)據(jù)利用最小二乘法原理直接進(jìn)行直線回歸，求得直線的截距和斜率；并且在繪制Weibull概率紙的同時(shí)描繪試驗(yàn)點(diǎn)和回歸直線。此法方便、易行，且提高了計(jì)算精度和工作效率。該方法具體步驟如下：

第1步。將表1第2，3列所示的2組ZrO2陶瓷球疲勞壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)輸入圖2的A(x1),C(x2)列，先選中A(x1)列，單擊鼠標(biāo)右鍵，選中set column values，即出現(xiàn)‘set values’界面，如圖1所示，點(diǎn)擊選項(xiàng)F(x)，選擇log()，在窗口中輸入式子log(Col(A))。C(x2)與A(x1)操作命令相同，最后按OK自動(dòng)求得對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果，如圖2中A(x1)和C(x2)所示；圖2中B(y1),D(y2)輸入表1第5列的數(shù)據(jù)。

圖1 set values窗口中直線的輸入

圖2 直線擬合所需要的數(shù)據(jù)

第2步。選中圖2的4列數(shù)據(jù)，使用Origin中菜單欄Analysis>>Fit liner對(duì)2組試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可分別得到2組回歸直線的截距和斜率及相關(guān)的其他數(shù)據(jù)。由圖3可知，第1組回歸直線的斜率a1=0.841，截距b1=-5.292；第2組線的斜率a2=0.497，截距b2=-3.150。代入(4)式可得回歸直線分別為：y1=0.841x-5.292，y2=0.497x-3.150。在Origin中方程的輸入與圖1相似，第1組輸入：0.841log(Col(A))-5.292。第2組輸入：0.497log(Col(A))-3.150。

圖3 試驗(yàn)點(diǎn)擬合結(jié)果

第3步。將用于繪制Weibull概率紙、2組試驗(yàn)點(diǎn)和2組回歸直線的數(shù)據(jù)列在Origin的sheet工作表中，如圖4所示。選中sheet工作表中所有數(shù)據(jù)，點(diǎn)擊菜單欄Graph>>Add Plot to Layer>>Line來繪制Weibull概率紙、2組試驗(yàn)點(diǎn)及2組試驗(yàn)點(diǎn)的回歸直線。完成直線的繪制后，在Origin的Graph界面中，對(duì)橫坐標(biāo)取常用對(duì)數(shù)，修改線的顏色、線型以及線寬等屬性，調(diào)整圖形后可得到如圖5所示的Weibull概率紙、試驗(yàn)點(diǎn)及其回歸直線。

圖4 繪制Weibull概率紙和擬合直線所需的數(shù)據(jù)

圖5 Weibull概率紙上數(shù)據(jù)的標(biāo)圖

第4步。分析Weibull概率紙上的分布特性。用鼠標(biāo)選中Origin工具欄中的screen reader或者draw data工具，可在圖中讀出任意失效概率下的陶瓷球的壽命。如圖6所示，第1組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的額定壽命L10=5.016×104，中值壽命L50=4.766×105，特征壽命L63.2=7.363×105；第2組試驗(yàn)數(shù)據(jù)L10=4.399×103，L50=1.969×105，L63.2=4.079×105。

圖6 讀取任意概率下的壽命值

Weibull概率紙中的每一條回歸直線代表1組ZrO2陶瓷球疲勞壽命的概率分布。回歸直線在圖中的位置反映了該組試驗(yàn)球壽命的長短，直線斜率越小則表示試驗(yàn)球在同樣的失效概率下壽命越長。

3 結(jié)束語

綜上所述，采用基于Origin平臺(tái)的Weibull分析的方法來繪制Weibull概率紙、試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)以及進(jìn)行直線回歸和分析是非常方便的。這種方法減小了傳統(tǒng)圖解法的誤差，彌補(bǔ)了專用分析軟件成本昂貴的不足，簡化了繁瑣的數(shù)據(jù)計(jì)算，為各種試驗(yàn)數(shù)據(jù)的Weibull分布分析提供了極大的便利。