劉傳美

(北方工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院自動(dòng)化系，北京 100144)

電容層析成像(ECT)技術(shù)是基于電容敏感原理的過程層析成像技術(shù)，運(yùn)用傳感器陣列形成旋轉(zhuǎn)的空間敏感場(chǎng)，從不同的觀測(cè)角度獲得被測(cè)物場(chǎng)的介電常數(shù)分布信息，利用圖像重建算法，顯示被測(cè)物場(chǎng)的二維或三維介質(zhì)分布圖像。

典型的ECT系統(tǒng)結(jié)構(gòu)主要由3部分構(gòu)成：電容陣列傳感器、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和成像計(jì)算機(jī)。其基本原理是：位于管道內(nèi)具有不同介電常數(shù)的兩相流在流動(dòng)時(shí)，各相含量和分布不斷變化，引起電容傳感器不同極板間的電容值改變。通過均勻安裝在絕緣管道外壁的電容傳感器檢測(cè)出各電極間的電容值，送至數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)將這些電容值轉(zhuǎn)化為數(shù)字量并傳送給成像計(jì)算機(jī)，根據(jù)某種圖像重建算法重建出流體在截面的分布圖像。

1 ECT系統(tǒng)圖像重建算法

ECT系統(tǒng)圖像重建是一個(gè)逆問題，即通過有限個(gè)電容測(cè)量值將成像區(qū)域內(nèi)的介電常數(shù)空間分布圖重建出來。由于電容層析成像系統(tǒng)本身固有的“軟場(chǎng)”特性，且能得到的獨(dú)立電容測(cè)量值數(shù)量非常有限，逆問題不存在解析解，圖像重建的難度較大。

針對(duì)目前圖像重建算法在成像質(zhì)量和成像速率上存在的問題，本文提出一種基于QR分解的電容層析成像算法。該方法首先將ECT物理模型進(jìn)行規(guī)范化和Tikhonov正則化處理后，進(jìn)而將QR分解的思想引入ECT方程的求解中實(shí)現(xiàn)圖像重建。

1.1 ECT系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

ECT技術(shù)圖像重建可描述為兩大內(nèi)容：一是正問題的建模，二是逆問題的求解。ECT系統(tǒng)的正問題模型為[1-2]：

式中，i、j分別表示源電極和測(cè)量電極的編號(hào)，D表示管道橫截面積，ε(x，y)表示管道內(nèi)電介質(zhì)的分布函數(shù)，Si，j[x，y，ε(x，y)]為極板電容 Ci，j的分布函數(shù)，即 Ci，j對(duì)點(diǎn)(x，y)處的電介質(zhì)的敏感程度。

對(duì)式(1)進(jìn)行離散化和線性化處理，可得到矩陣表示的 ECT系統(tǒng)的正問題模型[1，3-4]：

C為歸一化的電容值；G為歸一化的介電常數(shù)分布，即像素的灰度值；S為歸一化的靈敏度矩陣。需要指出的是，式(2)是經(jīng)過降質(zhì)處理的簡(jiǎn)化模型，用它求解逆問題進(jìn)行圖像重建時(shí)必然會(huì)帶來誤差，需要對(duì)圖像進(jìn)行修正。

1.2 正則化求解系統(tǒng)逆問題

病態(tài)逆問題往往是由于缺乏足夠的信息而導(dǎo)致的。正則化方法的原理是找到一個(gè)由先驗(yàn)信息約束的解集，然后再?gòu)闹羞x擇1個(gè)解。一個(gè)ECT系統(tǒng)經(jīng)過降質(zhì)處理的正問題的線性化模型如式(2)，是一個(gè)病態(tài)逆問題求解，而Tikhonov正則化方法是一種應(yīng)用最普遍的解決病態(tài)逆問題的方法。

ECT系統(tǒng)的逆問題就是通過獲得的電容測(cè)量值去重建介質(zhì)在檢測(cè)區(qū)域內(nèi)的介電常數(shù)分布圖。由于像素個(gè)數(shù)(文中區(qū)域劃分為 1 780個(gè))多于觀測(cè)數(shù)據(jù)(文中是28個(gè)電容測(cè)量值)，對(duì)于式(2)而言是未知數(shù)大于方程個(gè)數(shù)，是個(gè)欠定方程，具有無窮多個(gè)解，但有最小二乘最小范數(shù)解，因此逆問題模型可以表述如下[5]：

式中，S+為觀測(cè)矩陣 S的廣義逆；G+為 G的最小二乘解，即重建的圖像灰度值的估計(jì)值。用廣義逆求解逆問題具有不適定解，測(cè)量數(shù)據(jù)的微小波動(dòng)將引起解的較大變化，導(dǎo)致解不穩(wěn)定。消除這種解不穩(wěn)定的有效方法之一是采用正則化法。Tikhonov在研究第一類Fred Holm方程時(shí)提出了一種正則化算法，這種算法對(duì)于每一個(gè)正則化參數(shù)使下面的泛函達(dá)最小[6-7]：

式中，μ為正則化參數(shù)，D為降質(zhì)算子，f為被測(cè)信號(hào)，g為觀測(cè)信號(hào)。

對(duì)應(yīng)于ECT系統(tǒng)，式(4)使泛函變?yōu)椋?/p>

達(dá)最小，即令：

則對(duì)于 μ＞0，有正則化解：

SR=(STS+μI)-1ST為Tikhonov正則化廣義逆，是一個(gè)(1 780×28)維矩陣；I為單位矩陣。正則化參數(shù)μ控制著正則化先驗(yàn)知識(shí)與測(cè)量數(shù)據(jù)的權(quán)重，其取值非常關(guān)鍵，理論上確定μ的大小很困難，通常要根據(jù)試驗(yàn)設(shè)定。

1.3 基于QR分解的圖像重建算法

正則化雖然能使方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)大大降低，但這只是在一定程度上改善了系數(shù)矩陣的病態(tài)性，方程解的熟練依舊需要較高的迭代次數(shù)，因此不能滿足過程成像的實(shí)時(shí)性要求。為此，在此基礎(chǔ)上提出了基于QR分解[8]的圖像重建算法。

當(dāng)矩陣條件數(shù)較大時(shí)，求逆矩陣計(jì)算精度不高。為避免對(duì)(STS+μI)直接求其逆矩陣可采用先對(duì)其求QR分解然后再進(jìn)行求解。

基于QR分解的圖像重建算法是利用經(jīng)過正則化后對(duì)(STS+μI)進(jìn)行 QR分解，求出初始圖像灰度值的估計(jì)值，再根據(jù)正問題計(jì)算出初始圖像的電容值，將計(jì)算電容值和實(shí)際測(cè)量值相比較得出1個(gè)電容偏差值，再利用QR分解的方法求出相應(yīng)于電容偏差值的偏差圖像，然后進(jìn)行修正。

具體實(shí)現(xiàn)過程如下：如前所述，經(jīng)Tikhonov正則化后可得到：

因?yàn)?STS+μI)是一個(gè)(1 780×1 780)方陣，所以可以進(jìn)行QR分解，即把它分解為1個(gè)正交矩陣Q和1個(gè)上三角矩陣R的乘積，即：(STS+μI)=QR。通過求解可以得到G的解為：

根據(jù)QR分解算法對(duì)初始圖像進(jìn)行修正，可以得到修正后的圖像模型為：

式中，GQR為基于 QR分解的初始圖像，即式(9)，β為優(yōu)化修正因子，△G為偏差圖像：

C為由ECT正問題模型式(2)得的初始電容值。

求解優(yōu)化修正因子 β[9]：

根據(jù)ECT正問題模型式(2)得修正后電容值為：

與初始測(cè)量電容值比較得電容值誤差向量▽C1：

式中，C1為修正后圖像測(cè)量值，即為根據(jù)正問題計(jì)算出的初始圖像的電容值。

構(gòu)造函數(shù)f為：

由式(14)可知，f是 β的函數(shù)，求 β的最優(yōu)解，就變成使f最小的問題，即求修正因子β，使得電容值誤差向量的模最小。為此，對(duì)f求導(dǎo)并令其等于零，即：

即：

經(jīng)過求解可得到的表達(dá)式為：

2 成像結(jié)果分析

對(duì)線性反投影(LBP)法[1]、迭代法[4]、Tikhonov 正則化法、正則化修正算法(ROR)[9]和基于QR分解的重建算法5種圖像重建算法的重建圖像速率和圖像質(zhì)量進(jìn)行了比較。成像傳感器采用8極板結(jié)構(gòu)，校驗(yàn)用管壁的介電常數(shù)為2(滿管為2.5)，用尼龍測(cè)試棒進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試。

重建圖像速率用迭代次數(shù)die_num表示，die_num越大則重建時(shí)間越長(zhǎng)，說明速率越低。由于LBP法、正則化法對(duì)數(shù)據(jù)的處理過程是一樣的，都屬于單步處理，所以die_num=0；而ROR法和基于QR分解的重建算法的整個(gè)數(shù)據(jù)處理過程是在單步數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)上增加了1步修正過程，相當(dāng)于迭代1次，即die_num=1。

重建圖像質(zhì)量采用目前常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)占空比[1-2，4，10]表示。占空比表示圖像面積占整個(gè)成像區(qū)域面積的百分比，表示為：

Area1為高介電常數(shù)部分圖像面積，Area為成像區(qū)域面積。成像效果圖如圖1所示。表1給出了不同圖像重建算法所重建圖像占空比和重建時(shí)間的對(duì)比結(jié)果。

表1 不同圖像重建算法所重建圖像占空比和重建時(shí)間

從表1可以看出：

(1)LBP法和正則化法是單步算法，重建圖像時(shí)間最短即速率最快但是偏離實(shí)際原型太大。

(2)迭代算法迭代10次之后的結(jié)果與LBP法和正則化法相比，比較接近實(shí)際原型，但是重建時(shí)間太長(zhǎng)。

(3)從重建圖像時(shí)間看，ROR法和QR分解圖像重建算法僅為迭代法的1/15，而QR分解圖像重建算法所重建圖像的占空比，比ROR法更接近成像原型。

由圖1可以看出：基于QR分解的電容層析成像算法圖像重建結(jié)果最為接近真實(shí)物體，圖像質(zhì)量得到改善。綜上成像實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：基于QR分解的圖像重建算法圖像重建結(jié)果與實(shí)際原型較接近，優(yōu)于其他幾種算法。

本文在正則化的基礎(chǔ)上提出的基于QR分解的圖像重建算法，通過與當(dāng)前常用的線性反投影(LBP)法、迭代法、Tikhonov正則化法和ROR法的成像實(shí)驗(yàn)對(duì)比，從占空比和圖像重建時(shí)間兩方面可以表明，用該算法得到的圖像具有比較好的圖像重建質(zhì)量和較高的成像速率。

[1]XIE C G，HUANG S M.Electrical capacitance tomography for flow imaging-system model for development of image reconstruction algorithms and design of primary sensors[J].IEEE Proc.G.1992，139(1):89-98.

[2]XIE C G，BECK M S.8-electrode capacitance system for two-component flow identification， Part1；tomographic flow imaging [J]. IEEE Proc. A，1989，136(4):173-183.

[3]ISAKSEN O.A review of reconstruction techniques for capacitance tomography[J].Meas.Sci.Technol.1996(7):325-337.

[4]YANGWQ， SPINKDM，YORK T A，et al.An imagereconstruction algorithm based on land weber’s Iteration method for electrical-capacitance tomography[J].Meas.Sci.Technol.1999(10):106-1069.

[5]KUHNERT F.廣義逆矩陣與正則化方法[M].陳杰，譯.北京:高等教育出版社，1984.

[6]TIKHONOV A N，ARSENIN V Y.Solution of Ill-posed problems[C].New York:John Wiley，1977.

[7]王延平.信號(hào)復(fù)原與重建[M].南京:東南大學(xué)出版社，1992.

[8]劉會(huì)燈，朱飛.MATLAB編程基礎(chǔ)與典型應(yīng)用[M].北京:人民郵電出版社，2008.

[9]趙進(jìn)創(chuàng).正則化優(yōu)化修正的電容層析成像圖像重建算法[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2004，25(1):1-4.

[10]TAPP H S，KEMSLEY E K.Image improvement in softfield tomography through the useofchemo metrics[J].Meas.Sci.Technol.，1998(9):592-598.