夏 蘭

(安徽宿州學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué),安徽宿州 234000)

在筆者的教學(xué)中遇到這樣一題:

如圖1所示,電源電動(dòng)勢(shì) E=10 V,內(nèi)阻 r=20 Ω,固定電阻R1=20 Ω,R2=90 Ω,R0是可變電阻,R0的最大值為 400 Ω.在R0由零增加到 400 Ω的過(guò)程中,求:

(1)可變電阻R0上消耗熱功率最大的條件和最大熱功率.

(2)電源內(nèi)電阻 r和固定電阻R1、R2消耗最小熱功率之和.

(3)當(dāng)R0取多大時(shí),R2消耗功率最大?最大值是多少?

這是一道普通的電學(xué)競(jìng)賽題,需用等效電壓源定理求解,一般方法當(dāng)然也可以,但過(guò)于繁瑣.先看一般方法:先求出電路的外電阻為

圖1

干路電流為

R0上消耗的熱功率為

當(dāng) A=BR0時(shí),即 rR2+rR1+R1R2=R0(r+R1),PR0最大.

其計(jì)算難度由此可見(jiàn),故需借助等效電壓源定理進(jìn)行等效簡(jiǎn)化處理.但是即使知道使用等效電壓源定理,也可能對(duì)等效電壓源定理理解不深,使解題過(guò)程也未必是那么一帆風(fēng)順.不信請(qǐng)看原題給出的解答:

(1)討論 R0上消耗功率最大的條件時(shí),可將 R1和 R2同時(shí)放入電源內(nèi)部去,等效內(nèi)阻為所以當(dāng) R0=r0=100 Ω時(shí),消耗功率最大,且.

(2)r、R1、R2消耗熱功率之和最小,則應(yīng)使干路電流最小,即應(yīng)使 R0最大,R0max=400 Ω,由

于是 r,R1,R2消耗熱功率之和 P熱最小

(3)R2為固定電阻,要使其功率最大,則應(yīng)使 R2兩端電壓最大或流過(guò) R2的電流最大,顯然應(yīng)是 R0=0時(shí),R2的功率才能最大.

思考之1:

原題所給解答中的錯(cuò)誤是顯而易見(jiàn)的,大家一眼就能夠看出來(lái),根據(jù)等效電壓源定理,等效內(nèi)阻的處理是正確的,而原解想當(dāng)然把原電動(dòng)勢(shì)作為等效電壓源的電動(dòng)勢(shì)的做法是錯(cuò)的.

等效電壓源定理又叫戴維寧定理,內(nèi)容是:兩端有源網(wǎng)絡(luò)可等效于一個(gè)電壓源,其電動(dòng)勢(shì)等于網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路電壓,內(nèi)阻等于從網(wǎng)絡(luò)兩端看除電源以外網(wǎng)絡(luò)的電阻.

圖2

如圖2(a)所示為兩端有源網(wǎng)絡(luò)A與電阻R的串聯(lián),網(wǎng)絡(luò) A可視為一電壓源,等效電源電動(dòng)勢(shì)E0等于a,b兩點(diǎn)開(kāi)路時(shí)端電壓,等效電阻 r0等于網(wǎng)絡(luò)中除去電動(dòng)勢(shì)的內(nèi)阻,如圖2(b)所示.故而(1)問(wèn)中內(nèi)阻的求解是正確的(如圖3),然而等效電動(dòng)勢(shì)應(yīng)為

圖3

筆者的很多同事認(rèn)為,既然等效電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的問(wèn)題已經(jīng)解決,下面的計(jì)算也就水到渠成了,就有了下面貌擬合情合理的計(jì)算:

(1)問(wèn)中,當(dāng) R0=r0時(shí),有.

而對(duì)(2)、(3)問(wèn)中,

(2)問(wèn)中應(yīng)使干路電流最小,即使 R0最大,r、R1、R2消耗熱功率之和最小,則有

算到此處,好多同事就認(rèn)為大功告成,沒(méi)能對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)一步思考.

思考之2:

改過(guò)后的求解,看似合情合理,其實(shí)(2)問(wèn)的解答還是經(jīng)不起推敲的.不信請(qǐng)?jiān)倩氐皆娐分袡z驗(yàn)一下便知,無(wú)論R0如何變化,電路外電阻必小于20 Ω,由于內(nèi)阻 r=20 Ω,內(nèi)電壓必大于5 V,這樣便使得僅內(nèi)電阻功率就大于了1.25 W,而 r、R1、R2消耗總熱功率之和卻只有 0.01 W呢?顯然違背了能量守恒定律.看來(lái),這樣求解肯定是錯(cuò)誤的了.因?yàn)榈刃щ妷涸炊ɡ碇唤o出了等效電壓源內(nèi)阻與電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算,并未涉及等效內(nèi)阻消耗功率問(wèn)題.

下面我們就對(duì)這個(gè)問(wèn)題作進(jìn)一步探討:為何等效內(nèi)阻消耗功率不能一次等效整體求出,又究竟如何求之?我們不妨先回到等效電壓源內(nèi)部電路探個(gè)究竟.相信細(xì)心的讀者你也發(fā)現(xiàn)了,其實(shí)等效電壓源內(nèi)部在外電路斷開(kāi)時(shí)已然是一個(gè)閉合回路,已有能量消耗,根據(jù)能量守恒,這部分功率消耗自然是應(yīng)該考慮的.為了證實(shí)這個(gè)想法,可將 r、R1、R2消耗最小熱功率之和放在原電路中去求.由“串反并同”可知,當(dāng) R0=400 Ω時(shí),r、R2上有最小功率,而 R1上卻有最大功率,r、R1、R2消耗熱功率之和是否最小,無(wú)法判斷.因此還需找出 r、R1、R2消耗熱功率之和的一般表達(dá)式.

由上式可知,當(dāng) R0=400 Ω時(shí),P熱有最小值P熱min=2.51 W.

上式的推導(dǎo)過(guò)程具有一般性,認(rèn)真分析我們不難發(fā)現(xiàn),上式中第1項(xiàng)為等效電壓源在等效外電路開(kāi)路時(shí)已消耗的功率,第2項(xiàng)為等效電壓源視為普遍電源在外電路通路時(shí)等效內(nèi)阻消耗的功率.

至此,我們可以得出如下一般性結(jié)論:用等效電壓源方法求解等效內(nèi)阻功率時(shí),須附加等效電壓源在等效外電路開(kāi)路時(shí)已消耗的功率.我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中,必須要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和刨根問(wèn)底的精神,遇到問(wèn)題一定要思考思考再思考,來(lái)不得一絲一毫的“想當(dāng)然”.