張二青,余善恩,尚群立,黃存堅(jiān)

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,浙江杭州310018)

0 引 言

氣動(dòng)技術(shù)[1]由于具有無污染、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、價(jià)格低廉、操作方便和氣體來源充足等特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于工業(yè)自動(dòng)化領(lǐng)域。但由于氣體本身固有的可壓縮性、閥口流動(dòng)的非線性,氣缸摩擦力的影響和氣動(dòng)系統(tǒng)的低阻尼特性等原因,氣動(dòng)伺服系統(tǒng)本質(zhì)上屬于非線性系統(tǒng),這使得氣動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的精確位置控制難以完成。近年來,隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,數(shù)學(xué)模型已經(jīng)從分析研究的工具,發(fā)展成為直接應(yīng)用于實(shí)際、解決實(shí)際問題的手段。數(shù)學(xué)模型的建立,不僅可以更好地了解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,還可以更有效地進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。工業(yè)過程控制系統(tǒng)中,對(duì)象數(shù)學(xué)模型的確定具有重要意義。一般來說,建立過程數(shù)學(xué)模型有兩種方法,分別是機(jī)理分析法[2]和試驗(yàn)建模法[3]。機(jī)理分析法通常需要分析過程的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,運(yùn)用一些已知的定理、規(guī)律建立過程的數(shù)學(xué)模型;試驗(yàn)建模法利用系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)所提供的信息來建立過程的所需模型,也稱為辨識(shí)。對(duì)復(fù)雜的實(shí)際生產(chǎn)過程,機(jī)理分析法具有很大的局限性。工業(yè)過程控制系統(tǒng)中,對(duì)象數(shù)學(xué)模型一般利用階躍響應(yīng)[4]曲線做適當(dāng)數(shù)據(jù)處理后得到。本文研究氣動(dòng)定位系統(tǒng)的階躍響應(yīng)辨識(shí)[5],在分析幾種階躍響應(yīng)辨識(shí)方法的基礎(chǔ)上,提出了一種用部分?jǐn)?shù)據(jù)辨識(shí)系統(tǒng)模型的方法,實(shí)現(xiàn)了用氣動(dòng)定位系統(tǒng)階躍響應(yīng)部分?jǐn)?shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)整體模型的辨識(shí),并驗(yàn)證了模型的有效性,提高了模型的計(jì)算精度。本文首先介紹系統(tǒng)模型并對(duì)比了特征面積法、飛升曲線法和最小二乘法三種方法,在分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上提出了基于部分?jǐn)?shù)據(jù)最小二乘的辨識(shí)方法,最后給出了仿真結(jié)果。

1 系統(tǒng)組成及原理

氣動(dòng)執(zhí)行器[6]定位控制系統(tǒng)由電氣閥門定位器、氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)和閥位反饋機(jī)構(gòu)組成,如圖1所示。電氣閥門定位器包括控制器、力矩馬達(dá)、繼動(dòng)器和閥位反饋機(jī)構(gòu);氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)由膜頭和彈簧機(jī)構(gòu)組成。其工作過程是：它以壓縮空氣為動(dòng)力源,電-氣閥門定位器接收DCS系統(tǒng)提供的閥位給定,與閥位反饋機(jī)構(gòu)獲取的閥位比較,通過計(jì)算得偏差作為控制信號(hào),控制電壓驅(qū)動(dòng)力矩馬達(dá)產(chǎn)生背壓,由此驅(qū)動(dòng)繼動(dòng)器,使氣源在膜頭內(nèi)產(chǎn)生一定的氣壓,由氣體壓力壓縮彈簧推動(dòng)閥桿運(yùn)動(dòng),進(jìn)而推動(dòng)調(diào)節(jié)閥。閥位反饋機(jī)構(gòu)得到閥桿位置,閥桿位置信號(hào)與閥位給定比較得到控制信號(hào),最終使閥桿位置跟隨閥位給定。

本文研究的是電氣閥門定位器、氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)和閥位反饋機(jī)構(gòu)組成系統(tǒng)的開環(huán)建模,如圖1所示,其中實(shí)線框?yàn)榇?duì)象,虛線部分為整個(gè)控制系統(tǒng)閉環(huán)回路。

圖1 氣動(dòng)執(zhí)行器定位控制系統(tǒng)

要實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)執(zhí)行器的定位控制,需對(duì)模型進(jìn)行在線辨識(shí),還需要知道被控對(duì)象的終值。在實(shí)際工業(yè)過程中,最容易實(shí)現(xiàn)和容易操作的就是在輸入端輸入一個(gè)0-100%的階躍信號(hào),通過分析系統(tǒng)的輸出-階躍信號(hào)曲線(對(duì)應(yīng)閥位),所以本實(shí)驗(yàn)選擇系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線來分析。

在工業(yè)過程控制系統(tǒng)中,求解對(duì)象模型常用的的試驗(yàn)建模方法主要有特征面積法[7]、飛升曲線法[8]等,此外還有最小二乘法[9]等計(jì)算機(jī)方法。如圖2所示曲線圖,分析特征面積法、飛升曲線法、最小二乘法的特點(diǎn)。特征面積法在求解模型參數(shù)時(shí)需用到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值y(∞),而在實(shí)際工業(yè)過程中,所得穩(wěn)定值受到機(jī)械限位組件的影響,它并非推桿達(dá)到滿量程時(shí)所得響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值,所以特征面積法在求解模型參數(shù)時(shí)存在較大誤差。從圖2可以看出所得時(shí)延較實(shí)際值偏大,時(shí)間常數(shù)偏小。同理,飛升曲線法的歸一化過程也存在上述問題,誤差也較大,所得時(shí)延較實(shí)際值偏小,時(shí)間常數(shù)偏大。基于全部數(shù)據(jù)的最小二乘法所得時(shí)延較實(shí)際值偏大,且兩條曲線幾乎不重合,誤差很大。這是由于閥桿在運(yùn)動(dòng)過程中受到機(jī)械限位[10]組件的影響,閥桿并不能達(dá)到它應(yīng)該的穩(wěn)態(tài)值而是被卡死在某一穩(wěn)定值保持不變。由于強(qiáng)制限位,閥位穩(wěn)定值在模型辨識(shí)中屬于無效數(shù)據(jù)。因此,尋求一種精度更高的辨識(shí)方法就具有很強(qiáng)的實(shí)際意義,通過分析模型數(shù)據(jù),本文提出了一種基于部分?jǐn)?shù)據(jù)的階躍響應(yīng)辨識(shí)方法。

由于特征面積法和飛升曲線法適用于階躍響應(yīng)曲線可以達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的情形,而本文所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線只能達(dá)到其穩(wěn)定值而非穩(wěn)態(tài)值,因此本文在最小二乘法的基礎(chǔ)上提出了一種基于部分?jǐn)?shù)據(jù)的階躍響應(yīng)辨識(shí)方法。

2 基于部分?jǐn)?shù)據(jù)的階躍響應(yīng)辨識(shí)方法

2.1 基于最小二乘法的模型辨識(shí)

最小二乘法(又稱最小平方法)是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù),并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合等問題的求解[11]。

圖2 特征面積法、飛升曲線法、全部數(shù)據(jù)最小二乘法所得模型的比較

考慮一個(gè)帶純滯后的一階環(huán)節(jié)模型,用微分方程來表示：

式中,u(t)和y(t)分別是過程的輸入、輸出值,δ是過程時(shí)延,e(t)認(rèn)為是零均值的白噪聲信號(hào)。過程辨識(shí)的目的是希望從已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中得到a0、b0和δ的值,考慮信號(hào)不同階次的積分：

i是積分階次。當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)且t≥δ時(shí)：

對(duì)式1進(jìn)行一次積分得：

用最小二乘法的形式,估計(jì)方程可以寫為：

對(duì)式4再進(jìn)行一次積分得：

式中 ,(t-δ)2=t2-2tδ+δ2,式 7 變形為：

參數(shù)a0、b0可通過最小二乘法直接辨識(shí)[12,13]得到,δ可通過計(jì)算得到。

2.2 系統(tǒng)階躍響應(yīng)部分?jǐn)?shù)據(jù)的獲取

由于強(qiáng)制限位,閥位穩(wěn)定值在模型辨識(shí)中屬于無效數(shù)據(jù),因此提出一種基于部分?jǐn)?shù)據(jù)的階躍響應(yīng)辨識(shí)方法。在獲取部分?jǐn)?shù)據(jù)時(shí),首先截掉實(shí)際階躍響應(yīng)曲線穩(wěn)定值的數(shù)據(jù)。在確定系統(tǒng)階躍響應(yīng)需保留的部分?jǐn)?shù)據(jù)時(shí),需要通過計(jì)算得到一個(gè)數(shù)值區(qū)間,進(jìn)而逐步縮小區(qū)間以盡可能精確部分?jǐn)?shù)據(jù)的選取。

數(shù)據(jù)篩選步驟：

(1)由圖2得,全部實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的時(shí)間范圍是(0,35)s。當(dāng)15s≤t≤20s時(shí),實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)上升速度逐漸減小且達(dá)到一定的穩(wěn)定值保持不變,而t>20s后數(shù)據(jù)無效,可首先取有效數(shù)據(jù)截止時(shí)刻tc的取值范圍是(15,20)s;

(2)計(jì)算15s≤t≤20s時(shí),系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線的斜率。

設(shè)N為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度,Y為全部實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),其中Y=[y(t1),y(t2),y(t3)…y(ti)…y(tN)]T,y(ti)表示時(shí)刻ti處取得的數(shù)據(jù),K為斜率,其中K=[k(t1),k(t2),k(t3)…k(ti)…k(tN)]T,k(ti),表示時(shí)刻ti處計(jì)算得到的斜率,15s≤ti

計(jì)算斜率的方法如下：

(1)初始化K=0;

(2)while 15s≤ti≤20s do;

(3)td=ti+1-ti;

(4)k(ti)=[y(ti+1)-y(ti)]/td;

(5)i=i+1;

(6)end while。

由上述方法得系統(tǒng)階躍響應(yīng)的斜率曲線,如圖3、4所示。

圖3 系統(tǒng)階躍響應(yīng)的斜率曲線(15s-20s)

圖4 系統(tǒng)階躍響應(yīng)的斜率曲線(18s-18.7s)

由圖3得,系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線斜率在18s后減小到0且出現(xiàn)振蕩,有效數(shù)據(jù)截止時(shí)刻的取值范圍是(18,19)s。圖4為系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線在(18,8.7)s的斜率值,可看到斜率在此區(qū)間內(nèi)取值為(0,0.0075)。之所以選擇(18,8.7)s,一方面由于斜率在這一時(shí)間段迅速減小,另一方面由于斜率在此區(qū)間取到了斜率為0的點(diǎn)。由于18.7s后斜率出現(xiàn)振蕩且達(dá)到0,故其余斜率為0的點(diǎn)不予考慮。由圖4分析得,取[18.3,18.65]s為部分?jǐn)?shù)據(jù)截止時(shí)刻的閾值范圍。

(3)在上述閾值范圍內(nèi),逐個(gè)運(yùn)用最小二乘法對(duì)模型進(jìn)行辨識(shí),模型仿真曲線如圖5、6所示(設(shè)所取部分?jǐn)?shù)據(jù)的截止時(shí)刻為tc)。

圖5 部分?jǐn)?shù)據(jù)辨識(shí)所得模型曲線(15.5s鄰域)

圖6 部分?jǐn)?shù)據(jù)辨識(shí)所得模型(延時(shí)部分)

由圖5、圖6得,在截止時(shí)刻tc∈[18.3,18.65]s的范圍內(nèi)取定辨識(shí)數(shù)據(jù)時(shí),隨著截止時(shí)刻的推遲,所得模型延時(shí)誤差增大,但是在上升部分(如圖5),曲線更加接近實(shí)際曲線,由此分析出模型的完全精確辨識(shí)是永遠(yuǎn)達(dá)不到的。在截止時(shí)刻tc=18.3s時(shí),所得模型延時(shí)誤差最小,但是曲線與實(shí)際曲線的偏差最大;而當(dāng)截止時(shí)刻tc=18.65s時(shí),所得模型曲線與實(shí)際曲線的偏差最小,但延時(shí)誤差最大。綜合上述分析,最優(yōu)模型應(yīng)該折中考慮延時(shí)以及模型曲線與實(shí)際曲線的偏差。由圖5和圖6知,在當(dāng)截止時(shí)刻tc=18.46s時(shí),模型曲線出現(xiàn)突變,此時(shí)模型曲線大幅接近實(shí)驗(yàn)曲線且延時(shí)較小;同時(shí)在截止時(shí)刻tc=18.64s時(shí),模型曲線出現(xiàn)另一個(gè)突變,此時(shí)隨著的增大,模型曲線變?yōu)榫徛拷鼘?shí)驗(yàn)曲線但延時(shí)突然變大。綜上分析,用系統(tǒng)階躍響應(yīng)部分?jǐn)?shù)據(jù)辨識(shí)時(shí),所取部分?jǐn)?shù)據(jù)截止時(shí)刻tc∈[18.46,18.62]s。

2.3 模型仿真分析

對(duì)氣動(dòng)定位系統(tǒng)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)用最小二乘法進(jìn)行直接辨識(shí),得全部實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和部分?jǐn)?shù)據(jù)的最小二乘法辨識(shí)模型比較,如圖7所示：

圖7 部分?jǐn)?shù)據(jù)辨識(shí)法所得模型的階躍響應(yīng)仿真曲線

由圖7可以看出,當(dāng)用最小二乘法辨識(shí)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的全部數(shù)據(jù)時(shí),由于受到機(jī)械限位組件的影響,穩(wěn)定值并非實(shí)際模型過程的穩(wěn)態(tài)值,所得時(shí)延較實(shí)際值偏大,且兩條曲線幾乎不重合,誤差很大。用部分?jǐn)?shù)據(jù)辨識(shí)實(shí)際工業(yè)過程中氣動(dòng)定位系統(tǒng)模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在[0,17]s高度吻合。與面積法、飛升曲線法、基于全部數(shù)據(jù)的最小二乘法等方法相比,模型精度得到很大提高,對(duì)工業(yè)過程中由于儀器本身機(jī)械限位等影響的過程模型辨識(shí)有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文在分析氣動(dòng)定位系統(tǒng)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,提出了一種基于部分?jǐn)?shù)據(jù)的階躍響應(yīng)辨識(shí)方法。該法通過分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、求解斜率曲線以及比較辨識(shí)模型曲線,在逐步縮小部分?jǐn)?shù)據(jù)截止時(shí)刻閾值范圍的基礎(chǔ)上,最終篩選出部分?jǐn)?shù)據(jù)。這種方法實(shí)現(xiàn)了氣動(dòng)定位系統(tǒng)整體模型的辨識(shí),提高了辨識(shí)的精度,具有較強(qiáng)的實(shí)用性。該研究為提高模型辨識(shí)精度提供了新的方法和途徑。

[1] 王鵬,彭光正,武清河.比例閥控氣動(dòng)位置伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立及研究[J].潤(rùn)滑與密封,2003,(4)：4-8.

[2] 俞金壽,蔣愛平,劉愛倫.過程控制系統(tǒng)和應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,1997：23-26.

[3] 孫新民,張秋玲,丁洪生.現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法實(shí)用教程[M].北京：清華大學(xué)出版社,2009：181-182.

[4] Wang Q G,Guo X,Zhang Y.Direct identification of continuous time delay systems from step responses[J].Journal of Process Control,2001,11(5)：531-542.

[5] 胡德文.非線性與多變量系統(tǒng)辨識(shí)[M].長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社,2000：140-157.

[6] 尚群立,蔣鵬.智能電氣閥門定位器的研制[J].儀器儀表學(xué)報(bào),2007,28(4)：718-721.

[7] 董紅生,李戰(zhàn)明.基于階躍辨識(shí)的自整定PID控制器[J].蘭州工業(yè)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),2003,10(2)：12-16.

[8] 施人,劉文江.自動(dòng)化儀表與過程控制[M].北京：電子工業(yè)出版社,1999：184-191.

[9] 劉欽圣.最小二乘問題計(jì)算方法[M].北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社,1989：28-30.

[10] 黃翔.紡織空調(diào)除塵技術(shù)手冊(cè)[M].北京：中國(guó)紡織出版社,2003：740-741.

[11] Ahmed S,Huang B,Shah S L.Identification from step responses with transientinitial conditions[J].Journal of Process Control,2008,18(2)：121-130.

[12] Ahmed S,Huang B,Shah S L.Parameter and delay estimation of continuous-time models using a linear filter[J].Journal of Process Control,2006 16(4)：323-331.

[13] Wang Q G,Guo X,Zhang Y.Robust identification of continuous systemswith dead-time from step responses[J].Automatica,2001,37(3)：377-390.