曹永強,劉 琳,姜 莉,張偉娜

(1.遼寧師范大學城市與環(huán)境學院,遼寧大連 116029;2.農(nóng)業(yè)部農(nóng)業(yè)環(huán)境與氣候變化重點開放實驗室,北京 100081;3.中國科學院水利部水土保持研究所黃土高原土壤侵蝕與旱地農(nóng)業(yè)國家重點實驗室,陜西楊凌 712100)

關(guān)于作物的水肥與產(chǎn)量關(guān)系研究由來已久,但真正的量化關(guān)系研究特別是水肥協(xié)調(diào)關(guān)系方面的量化研究則是進入19世紀以后[1]。化肥的大量施用,不僅帶來農(nóng)業(yè)生產(chǎn)成本的增加,還對土壤及地下水造成污染。因此,如何提高作物對水肥的利用效率、減少化肥污染、提高農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效益,是目前及今后長時間內(nèi)有效地進行農(nóng)業(yè)水肥管理的一個重要方面。解決這一問題的基礎(chǔ)是對水-肥-作物產(chǎn)量關(guān)系(作物水肥生產(chǎn)函數(shù))進行研究[2]。人們從不同的角度入手探討水分與作物產(chǎn)量的關(guān)系,建立了多種作物水分生產(chǎn)函數(shù)模型。歸納起來,這些模型可分為2大類:一類是以作物耗水(作物蒸騰量或騰發(fā)量)為變量,尋找不同生育階段不同程度的水分虧缺與產(chǎn)量的關(guān)系;一類是建立作物生產(chǎn)過程不同農(nóng)田水分狀況與干物質(zhì)累計量之間的關(guān)系[3]。Ozsabuncuoglu[4]通過試驗建立了冬小麥的全生育期產(chǎn)量模型,該模型為多元線性模型,它考慮了生長期和成熟期的降雨、溫度和施肥;徐學選等[5]在黃土丘陵區(qū)(固原)研究了春麥產(chǎn)量與降水和土壤供水的關(guān)系,定量描述了底墑和生育期降水與產(chǎn)量的關(guān)系。筆者在分析北京市水利科學研究所永樂店試驗數(shù)據(jù)的過程中,選擇最小二乘回歸建立了具有較高精度和預(yù)測能力的冬小麥水肥生產(chǎn)函數(shù)模型,并對水肥耦合效應(yīng)進行了分析。

1 試驗和數(shù)據(jù)

1999～2000年在北京市水利科學研究所永樂店試驗站的24個田間小區(qū)進行了冬小麥水肥二因子非充分灌溉試驗。試驗站位于北京市通縣永樂店鎮(zhèn)(地理位置116.8°E,39.7°N),試驗區(qū)土質(zhì)為砂壤土,土壤密度為1.4 t/m3,田間持水量為36.5%?；实氖┯弥饕堑?為了進行對照,試驗分為不施肥、少施肥、中施肥和高施肥4種情況。各小區(qū)的水肥投入量和產(chǎn)量見表1。用ET表示由田間水量平衡分析求得的作物在整個生育期間的騰發(fā)量(騰發(fā)量=降雨量+灌溉量-土壤根系層含水的增加量),有了騰發(fā)量(或灌溉量)和施肥量,就可以建立作物全生育期的騰發(fā)量、施肥量與最終產(chǎn)量的函數(shù)模型。這種模型適用于缺少大量試驗數(shù)據(jù)區(qū)域的作物產(chǎn)量與水肥關(guān)系的模擬,尤其是在干旱地區(qū)應(yīng)用起來很方便。

表1 1999～2000年水肥試驗數(shù)據(jù)

2 最小二乘回歸的基本原理

普通最小二乘法(ordinary least square,簡稱OLS),是應(yīng)用最多的參數(shù)估計方法。最小二乘估計是一種方差最小的估計,有很強的優(yōu)良性。它通過最小化誤差的平方和找到一組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配,求得一些未知的真值。

在實際問題中,與某隨機變量y有關(guān)系的變量往往有多個,而且它們之間的關(guān)系是非線性的。研究隨機變量y與一般變量x1,x2,…,xt之間的相關(guān)關(guān)系問題便是多元非線性回歸問題。為了尋找y與一般變量x1,x2,…,xt之間的相關(guān)關(guān)系,首先必須收集n組獨立觀測值[6]xi1,xi2,…,xit,yi(i=1,2,…,n)。

對n個有限樣本的多元回歸模型:

其中

參數(shù)的最小二乘估計:令

則各 βi的最小二乘估計應(yīng)該滿足

由于 Q(β0,β1,…,βt(t+3)/2)是 β0,β1,…,βt(t+3)/2的非負二次式,且關(guān)于 β0,β1,…,βt(t+3)/2均可微,因而根據(jù)微積分原理,,,…,是下列方程組的解:

通過整理可將其用矩陣表示為

當(X′X)-1存在時,其最小估計為

3 最小二乘回歸建模

關(guān)于冬小麥產(chǎn)量與農(nóng)田耗水量的關(guān)系眾說不一,有直線、拋物線及對數(shù)型等關(guān)系,多數(shù)研究者采用拋物線(二次多項式)來描述兩者的關(guān)系:當耗水量超過需水量時,產(chǎn)量不但不增加,而且有可能降低。然而由于影響產(chǎn)量的因子不止是水分,肥料也是影響作物產(chǎn)量的重要因子,不妨將冬小麥產(chǎn)量與水肥2個因子的關(guān)系用二元二次多項式進行擬合。

設(shè)ET為 x1,化肥投入量為 x2,產(chǎn)量為y,通過多元回歸,可以建立包含交叉項的水肥生產(chǎn)函數(shù)模型:

利用最小二乘回歸原理,借助SPSS軟件可以求得1999～2000年的水肥生產(chǎn)函數(shù)模型各項系數(shù)如下:β0=-78.159,β1=1.388,β2=2.831,β3=0.000737,β4=-0.023 5,β5=0.000 28。復相關(guān)檢驗:R2=0.866 3,R=0.931;顯著性檢驗:F=23.65＞F0.95(5,14)=3.66,可認為上述回歸方程(式(7))是顯著的。

產(chǎn)量模型計算值與實測值的擬合結(jié)果如圖1所示。另假設(shè)化肥量為 150 kg/hm2,200 mm＜ET＜320mm的水肥組合系列,采用1999～2000年的水肥生產(chǎn)函數(shù)模型系數(shù)計算相應(yīng)的產(chǎn)量。從表2可知計算結(jié)果較接近實際值,說明最小二乘回歸可求得正確的水肥生產(chǎn)函數(shù)模型。

表2 最小二乘回歸模型模擬得到的冬小麥產(chǎn)量

圖1 最小二乘回歸產(chǎn)量擬合

多元回歸模型的使用有一個前提,就是自變量之間不能存在嚴重的多重相關(guān)性。當X中的變量高度相關(guān)時,行列式幾乎接近于零(條件數(shù)趨于無窮大),求X′X的逆陣會含有嚴重的舍入誤差,因此回歸系數(shù)容易受較大舍入誤差的影響,從而增加估計值的抽樣變異性。可以用簡單相關(guān)系數(shù)粗略地分析自變量之間的多重相關(guān)性。表3列出了1999～2000年水肥生產(chǎn)函數(shù)回歸模型自變量之間的簡單相關(guān)系數(shù)。從表3中可知,回歸變量之間的相關(guān)系數(shù)比較小,所以認為回歸變量之間不存在多重相關(guān)性。

表3 回歸變量之間的簡單相關(guān)系數(shù)

最小二乘回歸的具體計算通過SPSS軟件實現(xiàn),具體參見文獻[7]。

4 對最小二乘回歸模型的分析和討論

由最小二乘法求得的水肥生產(chǎn)函數(shù)可以擬合1999～2000年冬小麥實測產(chǎn)量與計算產(chǎn)量。從圖1來看,擬合結(jié)果具有較高的精度。但由于試驗數(shù)據(jù)是小樣本容量,還不足以據(jù)此判斷所建立回歸模型的正確性、穩(wěn)健性及預(yù)測能力。為了進行判斷,可以假設(shè)代表各個試驗處理水平的數(shù)據(jù),利用模型模擬,根據(jù)產(chǎn)量的模擬值來驗證模型是否合理[8]。圖2反映了化肥投入量不同時的ET和產(chǎn)量關(guān)系。從圖2中可以斷定最小二乘回歸得到的水肥生產(chǎn)函數(shù)模型是穩(wěn)定可靠的,可以據(jù)此分析水肥耦合效應(yīng)[9]。

圖2 最小二乘回歸模型模擬的1999～2000年冬小麥產(chǎn)量

由式(7)和表2對1999～2000年的水肥生產(chǎn)函數(shù)求一階偏導數(shù):根據(jù)式(8)、式(9)可以進行如下分析。

a.水肥的單因子效應(yīng)。水肥生產(chǎn)函數(shù)一階偏導數(shù)的常數(shù)項都大于零,且一次項系數(shù)遠小于常數(shù)項,所以水肥投入量處于一定區(qū)域時兩者都有明顯的增產(chǎn)效應(yīng)[10]。由式(8)和式(9)可知,當 ET不變時,隨著化肥投入量的增加,邊際效應(yīng)遞減,甚至成為負效應(yīng)。例如,若ET固定為250mm,當化肥投入量由45kg/hm2增加到375kg/hm2時,化肥投入量的邊際效應(yīng)由2.66下降到1.73。值的大小表示了ET的邊際效應(yīng)。在化肥投入量一定的情況下,隨著ET的增加而增加。但由于一次項系數(shù)很小,所以可以認為基本保持不變。也就是說,在化肥投入量一定的情況下,產(chǎn)量與 ET的關(guān)系可以近似為直線關(guān)系。

b.水肥耦合效應(yīng)。水肥生產(chǎn)函數(shù)的交叉項化肥的系數(shù)為正表明,水肥耦合效應(yīng)表現(xiàn)為對產(chǎn)量的協(xié)同作用,該作用能促進產(chǎn)量的提高。增加化肥投入量有利于提高作物水分利用效率,反之亦然。

5 結(jié) 語

用多元非線性回歸方法分析水分、肥料對冬小麥產(chǎn)量的耦合影響,結(jié)果表明,只有當水分和肥料合理搭配時才能充分發(fā)揮它們的作用。多元回歸分析時,最小二乘回歸可正確地估計模型參數(shù)。利用該方法建立了北京市水利科學研究所永樂店灌溉試驗站1999～2000年的水肥生產(chǎn)函數(shù)回歸模型。

模型的模擬結(jié)果表明該模型參數(shù)估計合理。對模型的分析表明,ET和化肥2個因素都具有明顯的增產(chǎn)效應(yīng)。在化肥投入量不變的情況下,作物的水分利用效率隨著耗水量的增加而有所增加;在作物耗水量保持不變的情況下,作物肥料利用效率隨著肥料投入量的增加而下降。在一定范圍內(nèi),增加化肥投入量能夠提高作物產(chǎn)量,但在一定范圍之外增加化肥投入會引起作物減產(chǎn)。

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