韓 光， 趙春霞

（南京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，江蘇 南京 210094）

紋理分析在過去的幾十年里一直都是研究的熱點(diǎn)問題，因?yàn)槠湓诤芏囝I(lǐng)域都起著十分重要的作用，例如，遙感分類[1]、圖像檢索[2]以及智能機(jī)器人導(dǎo)航[3]等領(lǐng)域。其中，紋理分類問題，特別是對于旋轉(zhuǎn)了一定角度后的紋理圖像的分類，在紋理分析中是一個既有挑戰(zhàn)性又非常重要的問題。在文獻(xiàn)中已經(jīng)有很多關(guān)于旋轉(zhuǎn)不變性的紋理特征提取方法被提出[4-5]。

脊波(Ridgelet)變換是最近才發(fā)展起來的一種信號表示方法[6]，這種變換可以分為兩個階段：Radon變換階段和一維小波變換階段，脊波變換可以能夠解決線奇異問題，因此相對于只能解決點(diǎn)奇異的小波變換來說是更好的特征提取工具。Chen等[7]人首先提出了一種利用脊波變換來提取旋轉(zhuǎn)不變性特征的方法，并且在字符和形狀識別中表現(xiàn)良好。然而，該方法能產(chǎn)生高維特征，例如一幅64×64的字符圖像，能夠產(chǎn)生168維的特征，這使其在紋理分類中變得不可用，因?yàn)榧y理圖像的尺寸可能更大。Huang等[8]也提出了一種類似特征提取方法。Pan等[9]則提出了在脊波變換中使用頻率 B-樣條小波來提取旋轉(zhuǎn)不變性特征的方法。

以上基于脊波變換的旋轉(zhuǎn)不變性紋理特征是經(jīng)過一維小波變換后，在每個頻率子波段中獨(dú)立提取的，并沒有考慮到同一分解尺度下高、低頻子波段之間的相互關(guān)系。然而這種關(guān)系是的確存在的，即使使用正交化小波進(jìn)行分解，同一分解尺度下高、低頻子波段之間的相互關(guān)系也是存在的。Portilla 和 Simoncelli[10]已經(jīng)證明如果沒有這些子波段間相互關(guān)系的知識，紋理的準(zhǔn)確重構(gòu)是不可能的。Wang等[11]也將這種關(guān)系用于紋理分類，該方法是在小波包變換中利用線性回歸模型來評估子波段間關(guān)系，并將回歸模型的系數(shù)作為特征。Hiremath等[12]則在小波變換后的圖像中計(jì)算共生直方圖來提取不同頻率子波段之間的關(guān)系作為特征，并且在紋理分類和字符識別中表現(xiàn)良好。

基于以上分析，本文提出了一種新的基于脊波變換的旋轉(zhuǎn)不變性紋理特征提取方法。該方法是先將圖像經(jīng)過脊波變換得到脊波變換系數(shù)矩陣。然后，對于上述矩陣中的頻率系數(shù)，采用一種直方圖的形式來提取特征，用以評估高、低頻子波段之間系數(shù)的相互關(guān)系，對這些關(guān)系特征數(shù)據(jù)以及在每個子波段中提取的特征沿方向θ進(jìn)行一維傅里葉變換并取其幅值，從而得到本文所提出的旋轉(zhuǎn)不變性紋理特征。實(shí)驗(yàn)表明，本文方法可靠有效。

1 脊波變換

1.1 連續(xù)Ridgelet變換[13]

則對于參數(shù)集γ，定義2R →R函數(shù)

則稱γψ為由容許條件生成的Ridgelet函數(shù)。其中，a稱為Ridgelet的尺度參數(shù)，u表示方向，b為位置參數(shù)。

其中 ψ(x)為一維Wavelet函數(shù)，稱變換

1.2 脊波變換的數(shù)字實(shí)現(xiàn)

由脊波變換與Radon變換的關(guān)系可知，為了實(shí)現(xiàn)脊波變換，第一步首先要計(jì)算 Radon變換Rf(θ,t)，然后對投影切片 Rf(θ,?)進(jìn)行一維小波變換，最終得到Ridgelet變換系數(shù)矩陣。

由投影切片定理，如下式(7)所示

2 在脊波域中的旋轉(zhuǎn)不變性紋理提取方法

2.1 紋理圖像的脊波變換

假設(shè)給定一幅 N×N的紋理圖像，首先對該圖像進(jìn)行二維傅里葉變換，然后在變換后的圖像中央選擇一個圓盤區(qū)域，并在方向[0°，180°]內(nèi)等間隔角度進(jìn)行頻率抽樣，從而得到映射切片。根據(jù)文獻(xiàn)[5]，映射切片的總數(shù)在(π/2)N～πN時(shí)，可產(chǎn)生較好的分類結(jié)果，這里選擇映射切片的總數(shù)為2N，即頻率抽樣的間隔角度為180°/2N。經(jīng)過Radon變換后，在每個映射切片上應(yīng)用一維小波變換，可得到脊波變換系數(shù)矩陣。從脊波變換系數(shù)矩陣可以看出，給定圖像的旋轉(zhuǎn)將會導(dǎo)致在每個矩陣中列指數(shù)的循環(huán)平移。上述過程可由圖1所示。

圖1 脊波變換流程圖

2.2 脊波變換后高、低頻子波段間關(guān)系特征的提取

Hiremath等人[12]在二維圖像中進(jìn)行小波變換后，用共生直方圖來提取不同頻率子波段之間的關(guān)系，但這種方法不能夠直接用于脊波變換后的頻率系數(shù)中，本文對Hiremath的方法進(jìn)行了簡化和改進(jìn)，使其能夠用于提取脊波變換后各頻率子波段之間的關(guān)系。對于一幅紋理圖像，通過上述脊波變換得到脊波變換系數(shù)矩陣，該矩陣的列坐標(biāo)是采樣方向θ，行坐標(biāo)是頻率系數(shù)長度。其中，在對投影切片進(jìn)行一維小波變換時(shí)，每分解一層，便可產(chǎn)生一個近似(A)和一個細(xì)節(jié)(V)系數(shù)矢量（不同于二維小波變換，會形成3個方向的細(xì)節(jié)系數(shù)矩陣）。近似(A)和細(xì)節(jié)(V)系數(shù)矢量分別對應(yīng)的是低、高頻子波段。脊波變換后高、低頻子波段間關(guān)系特征的提取算法如下：

（1）對脊波變換系數(shù)矩陣按列平分成 M組，每組包含n列，這樣就得到M組長度為m（對投影切片進(jìn)行一維小波變換后的頻率系數(shù)長度），寬度為n的近似系數(shù)矩陣Aq和細(xì)節(jié)系數(shù)矩陣Vq，其中，1≤q≤M。

（2）直方圖構(gòu)建。在 Aq中的小波系數(shù) xij對應(yīng)在 Vq中的系數(shù) yij，1≤i≤m，1≤j≤n，其上下最近鄰ak和hk展示如圖2所示，k=1、2分別代表上、下方向。

圖2 在Aq和Vq中xij和yij的上下最近鄰

直方圖構(gòu)建的偽代碼如下（見表1）：

表1 直方圖構(gòu)建算法

對于每一對(Aq, Vq)，通過上述算法將產(chǎn)生4個直方圖H，每個方向兩個。

（3）規(guī)范化累積直方圖

將H設(shè)為256等級值，即

這里，ni是每個等級值的占有數(shù)目。然后對于這256個等級值的累計(jì)占有數(shù)目進(jìn)行計(jì)算并使其規(guī)范化，從而得到規(guī)范化的累積直方圖。

所有在步驟(2)中得到的直方圖都要再經(jīng)過上述處理。

（4）特征提取

對于規(guī)范化的累積直方圖NCH，可得到序列對 ( y0, x0), ( y1, x1),…,( y255, x255)，其中，yi在 0到1之間，xi在0到255之間。將這些序列對利用最小均值的方法進(jìn)行直線擬合，并計(jì)算其斜率k和偏移量h

對于每一對 (Aq, Vq)，可得到4個直方圖，而每個直方圖可以給出了2個特征，也就是說對于每一對(Aq, Vq)共可得到2（特征）×4（直方圖）=8個特征。

2.3 旋轉(zhuǎn)不變性的紋理特征提取

對每個投影切片進(jìn)行3尺度的小波分解后得到脊波變換系數(shù)矩陣，并在該矩陣中進(jìn)行旋轉(zhuǎn)不變性紋理特征提取，具體過程如下：

（1）首先對脊波變換系數(shù)進(jìn)行分組，將該矩陣中列平分成16組。例如，組1包含了給定矩陣的1-16列，組2包含了給定矩陣的17-32列等。

（2）在每組系數(shù)中，分別計(jì)算近似和細(xì)節(jié)系數(shù)的均值和方差如下所示

這里的Mi是在第i組中系數(shù)的個數(shù)，c是第i組中的系數(shù)。

（3）按2.2節(jié)中的方法計(jì)算每個分解尺度子波段間的關(guān)系特征k、h。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其分析

該實(shí)驗(yàn)使用了以下兩個數(shù)據(jù)庫來評估本文算法的性能，第一個數(shù)據(jù)庫是來自麻省理工學(xué)院的視覺紋理數(shù)據(jù)庫(VisTex)，另一個是Brodatz數(shù)據(jù)庫。 其中，VisTex是關(guān)于真實(shí)世界場景的紋理庫，而Brodatz則是標(biāo)準(zhǔn)的紋理庫，并且這兩個數(shù)據(jù)庫都是可以公開獲得的。同時(shí)將本文提出的算法與Pan的方法[9]和Pietik?inen的LBP特征提取法[15]進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比，上述兩種對比方法分別稱為方法一和方法二。該實(shí)驗(yàn)使用了 K近鄰(K Nearest-Neighbour, K-NN)分類器用于紋理分類，K值被分別設(shè)置為 1、3、5、7和 9。這里的 K值是指將一個測試數(shù)據(jù)分類為與它最接近的 K個近鄰訓(xùn)練數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的那個類別，為了不產(chǎn)生分類模糊，K一般為奇數(shù)。在實(shí)驗(yàn)中作者發(fā)現(xiàn)當(dāng) K值超過 10以后，分類正確率(Correct Classification Percentages，CCP)下降明顯，所以這里只給出10以內(nèi)K值的分類結(jié)果。

數(shù)據(jù)集1是從VisTex數(shù)據(jù)庫中隨機(jī)挑選的20幅紋理圖像，其大小為512×512，如圖3所示。每幅圖像都被分割成 16個無重疊的大小為128×128的子圖像，這樣共可得到320(20×16)幅子圖像用做訓(xùn)練集。將每幅圖像按一定角度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度從 10°到 160°，間隔 10°，然后在每個旋轉(zhuǎn)圖像的中心區(qū)域分割出 4幅無重疊的128×128的子圖像。這樣可獲得 1280(20×16×4)幅子圖像用作測試集。

圖3 VisTex數(shù)據(jù)庫中的20幅紋理圖像

數(shù)據(jù)集2是從Brodatz數(shù)據(jù)庫中隨機(jī)挑選的30幅紋理圖像，其大小為640×640，如圖4所示。每幅圖像被分割成25個128×128大小的子圖像，因此共有750(30×25)幅子圖像用作訓(xùn)練集。測試集的創(chuàng)建方法同數(shù)據(jù)集 1中方法一樣，有1920(30×16×4)幅子圖像用做測試集。

圖4 Brodatz數(shù)據(jù)庫中的30幅紋理圖像

表2為使用不同類型小波基時(shí)的本文方法與現(xiàn)有方法在數(shù)據(jù)集 1上的分類正確率(Correct Classification Percentages，CCP)對比。由表可見，對使用同一類小波基， CCP隨K的增加沒有明顯的變化；對于同一K值，使用不同類型的小波基時(shí)，CCP也無明顯變化，只是使用Rbio3.7小波基時(shí)的 CCP要稍高于其它幾種小波基。從表中也可看出，本文方法使用表中各類型小波基時(shí)的CCP(除及個別外)，要高于文獻(xiàn)方法一，遠(yuǎn)高于文獻(xiàn)方法二，這同時(shí)也驗(yàn)證了本文所提出的旋轉(zhuǎn)不變性紋理特征的有效性。

表2 使用不同小波基時(shí)的本文方法與現(xiàn)有方法在數(shù)據(jù)集1上的CCP對比(%)

表3為使用不同類型小波基時(shí)的本文方法與現(xiàn)有方法在數(shù)據(jù)集2上的CCP對比。由表可知，對于同一類小波基，CCP隨K的增加略微呈上升趨勢；對于同一K值，使用不同類型的小波基時(shí)，CCP變動幅度較大，使用 Rbio3.7小波基時(shí)的CCP要高于使用其它幾種小波基的結(jié)果，尤其要高于使用 bior3.5小波基時(shí)的結(jié)果。這說明該數(shù)據(jù)集對使用何種類型的小波基較敏感，但從結(jié)果來看，使用rbio3.7小波基時(shí)的CCP仍然是較高的。但與表2 相比，CCP普遍有所下降，原因除了數(shù)據(jù)集2中的圖像增多外，在于該數(shù)據(jù)集中的圖像紋理相似性程度要高于數(shù)據(jù)集 1。使用bior3.5、db4、db6、sym2及dmey6的CCP比使用方法一的CCP要低，除Bior3.5外均高于方法二。但是當(dāng)本文方法使用rbio3.7小波基時(shí)的CCP要高于上述兩種文獻(xiàn)方法。

4 結(jié) 論

本文提出了一種新的基于脊波變換的旋轉(zhuǎn)不變性紋理特征提取方法。該方法的特點(diǎn)是在脊波變換后所形成的每個頻率子波段中獨(dú)立提取特征的基礎(chǔ)上，融合了同一分解尺度下高、低頻子波段之間的關(guān)系特征。將本文所提出方法與兩種最近才發(fā)展起來的用于旋轉(zhuǎn)不變性紋理分類的方法進(jìn)行了對比實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明本文的方法能夠取得更好的分類結(jié)果。如何利用脊波變換提取的旋轉(zhuǎn)不變性特征在真實(shí)的場景圖像中進(jìn)行地形分類，是本文下一步的研究方向。

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