黃艷峰， 陳 濤

（商丘師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，河南 商丘 476000）

L-系統(tǒng)是丹麥植物學(xué)家A Lindenmayer提出的一種并行文法，它以形式化的語言描述植物的結(jié)構(gòu)和生長，由文法生成的句子代表植物，而文法生成句子的過程則與植物生長的過程相對(duì)應(yīng)。在最初的L-系統(tǒng)理論中，植物被看成一種封閉的控制系統(tǒng)，能夠在不和外界交互的情況下控制自己的生長，0L-系統(tǒng)（包括隨機(jī)0L-系統(tǒng)、參數(shù)0L-系統(tǒng)）就是如此。這種假設(shè)使得可以用數(shù)學(xué)方式（利用假設(shè)、定理、證明）來表達(dá)某些生長過程的特征。但是，脫離環(huán)境的研究大大降低了這種理論應(yīng)用的范圍和價(jià)值，因?yàn)樗鼉H對(duì)植物形態(tài)進(jìn)行模擬, 無法反映植物生長機(jī)理。

為了模擬植物受某些局部環(huán)境的影響，如剪枝作用后的生長情況，本文在傳統(tǒng)L-系統(tǒng)的基礎(chǔ)上引入了提問模塊和剪枝函數(shù)，這種L-系統(tǒng)能夠?qū)χ参锛糁髢?nèi)部資源的重新分配情況進(jìn)行建模。

1 L-系統(tǒng)表達(dá)機(jī)制

1.1 L-系統(tǒng)重寫機(jī)制

最簡(jiǎn)單的L-系統(tǒng)是D0L-系統(tǒng)，可以描述為令V表示一個(gè)字符集，V*表示V上所有單詞（由符號(hào)或字符組成的字符串）的集合，一個(gè)0L-系統(tǒng)可以用一個(gè)有序的三元組L=來表示，其中 ω 是(ω∈V*)一個(gè)非空單詞，稱為公理，P是產(chǎn)生式規(guī)則的有限集合，產(chǎn)生式記作c→s，字符c和單詞s分別叫做產(chǎn)生式的前驅(qū)和后繼。如果對(duì)每一個(gè)字母 c∈V，當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)非空單詞s，使得c→s，則0L-系統(tǒng)是確定的[1]，即不考慮前驅(qū)字符的上下文語義。

L-系統(tǒng)的核心思想便是重寫，即從公理ω開始，按照產(chǎn)生式規(guī)則，依次替換ω中的每個(gè)字符，得到新的字符串，對(duì)新的字符串再進(jìn)一步對(duì)每個(gè)字符進(jìn)行替換，按照上述規(guī)則一直替換下去，直到滿足終止條件。

1.2 龜形解釋

為了把通過 L-系統(tǒng)的重寫機(jī)制生成的字符串描述成具體的植物形態(tài)，需要使用龜形系統(tǒng)對(duì)生成的字符串進(jìn)行幾何解釋。具體地做法是對(duì)迭代生成的字符串從左至右連續(xù)掃描，并對(duì)每一個(gè)字符做出相應(yīng)的幾何解釋，這樣就由字符串得到相應(yīng)的植物形態(tài)。烏龜?shù)呐佬锌梢栽诙S或三維空間中進(jìn)行。其中，三維空間是對(duì)在二維空間的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展。龜形有它的狀態(tài)，包括笛卡爾坐標(biāo)系下的位置和方向，還有一些附加的屬性，如當(dāng)前的顏色和線寬。位置由矢量P定義，其中三維空間的方向由矢量H, L, U定義，分別表示烏龜?shù)念^方向和向左、向上的方向，如圖1所示。

這3個(gè)矢量都是單位長，且互相垂直，滿足H×L=U。因此，龜形的旋轉(zhuǎn)可以用下面的式子表示

這里的R是一個(gè)3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣。分別繞矢量U, L和H旋轉(zhuǎn)α的旋轉(zhuǎn)矩陣為

龜行位置初始化為笛卡爾坐標(biāo)系的原點(diǎn)，頭矢量H指向y軸的正方向，左矢量L指向x軸的負(fù)方向，向上的矢量U指向Z軸的正方向。常用的龜行符號(hào)有：

引起龜行旋轉(zhuǎn)的符號(hào)：

–：繞U向左旋轉(zhuǎn)一定的角度；

+：繞U向右旋轉(zhuǎn)一定的角度；

&：繞L向下旋轉(zhuǎn)固定的角度；

^：繞L向上旋轉(zhuǎn)固定的角度；

：繞H向下旋轉(zhuǎn)固定的角度；

/：繞H向上旋轉(zhuǎn)固定的角度。

表示樹枝分叉的符號(hào)：

[ ：把當(dāng)前狀態(tài)壓入堆棧，（包括當(dāng)前位置、方向、顏色、線寬（或半徑）等）；

]：當(dāng)前狀態(tài)出棧，作為龜形的當(dāng)前狀態(tài)。

引起烏龜前進(jìn)的符號(hào)有：

F：烏龜向前爬行一定距離并畫線（或圓柱）；

f：烏龜向前爬行一定距離，不畫線（或圓柱）。

圖1 三維龜行解釋矢量圖

2 對(duì)局部環(huán)境敏感的L-系統(tǒng)

與確定0L系統(tǒng)[1]不同，在對(duì)環(huán)境敏感的L-系統(tǒng)中，每一步產(chǎn)生的字符串都要進(jìn)行幾何解釋，解釋過程中得到的龜形屬性作為參數(shù)返回，保存到字符串的提問模塊中。在字符串迭代過程中，除了提問模塊中的參數(shù)未定義以外，其它的和參數(shù)L-系統(tǒng)[2]一樣。在對(duì)字符串進(jìn)行幾何解釋過程中，根據(jù)龜形的位置和頭方向給提問模塊賦值。提問模塊的形式記做? X(x, y, z)，這里的X=P,H, U或L。根據(jù)X的實(shí)際值，x, y, z的值代表位置和方向矢量。

下面給出一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)環(huán)境敏感的 L-系統(tǒng)的例子：

前三步迭代產(chǎn)生的字符串為：

p0′，p1′，p2′，p3′分別表示公理和幾何解釋前應(yīng)用產(chǎn)生式得到的字符串。*表示提問模塊中未定義的參數(shù)值。p1，p2，p3表示幾何解釋后的相應(yīng)字符串。假設(shè)烏龜從原點(diǎn)開始出發(fā)，矢量H指定為y軸，矢量L指向x軸的負(fù)方向，“－” 代表旋轉(zhuǎn)的角度為 90°。提問模塊的烏龜位置如圖2所示。

圖2 提問模塊表示的烏龜位置

3 引入提問模塊和剪枝函數(shù)的L-系統(tǒng)生成植物的程序流程圖

從上述引入了提問模塊的 L-系統(tǒng)的重寫過程和龜形解釋中可以看出，對(duì)每次重寫得到的字符串都要進(jìn)行龜形解釋，生成植物的程序流程圖如圖3 所示。

對(duì)于其它 L-系統(tǒng)，只需系統(tǒng)重寫結(jié)束后，對(duì)得到的結(jié)果字符串進(jìn)行一次龜形解釋即可，程序流程圖如參考文獻(xiàn)[2]所示。

圖3 引入提問模塊和剪枝函數(shù)的L-系統(tǒng)生成植物的流程圖

4 局部環(huán)境敏感的L-系統(tǒng)建模

環(huán)境是影響植物生長的一個(gè)重要因素，植物在整個(gè)生長過程中都離不開周圍環(huán)境的作用或干擾，在建立植物生長模型時(shí)除了要分析植物器官的幾何形態(tài)及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化外，還要考慮影響植物生長的外部環(huán)境因子[3]。根據(jù)Prusin2kiewicz在文獻(xiàn)[4]中提出的概念模型，當(dāng)植物受到來自外界環(huán)境因素如陽光、水分、氣候等的影響時(shí)，它的內(nèi)部生長系統(tǒng)會(huì)受到一定的影響，從而導(dǎo)致植物的外部形態(tài)發(fā)生變化。植物的生長過程就是它與其所在的環(huán)境之間進(jìn)行信息交互的過程。

當(dāng)它察覺到外部環(huán)境某些刺激物時(shí)，一些信息會(huì)被傳遞到其內(nèi)部，并做出相應(yīng)的反應(yīng)；而此反應(yīng)又會(huì)反作用于環(huán)境，使環(huán)境發(fā)生改變。例如，土壤里的根系會(huì)根據(jù)其周圍的水分濃度，進(jìn)行吸收水分或者釋放水分。參考文獻(xiàn)[3]利用 Open-L系統(tǒng)，構(gòu)建了在環(huán)境作用下的虛擬植物模型，參考文獻(xiàn)[6]根據(jù)系統(tǒng)輸入的環(huán)境參數(shù)建立植物的生長模型。本文討論了利用對(duì)局部環(huán)境敏感的L-系統(tǒng)進(jìn)行植物剪枝的建模。在部分枝被剪掉后，植物內(nèi)部信息流的方向會(huì)發(fā)生改變，根據(jù)現(xiàn)有的頂點(diǎn)重新分配營養(yǎng)物質(zhì)，把營養(yǎng)供給余下的部分來彌補(bǔ)失去的損失。根據(jù)這種思想，可以模擬出剪枝前后植物的生長結(jié)構(gòu)，對(duì)植物生長規(guī)律的研究有一定啟發(fā)。

4.1 二維空間下的植物剪枝模型

L-系統(tǒng)(1)僅僅說明了對(duì)環(huán)境敏感的L-系統(tǒng)的迭代過程，而提問模塊返回的值并沒有進(jìn)一步應(yīng)用。圖2給出了一個(gè)二維空間中受環(huán)境影響的植物生長過程。

p3:?P(x,y):(2x2+(y-6)2>62)→[+(2y)F][-(2y)F]%其中 p1表示由模塊A生成樹枝，并在此樹枝上生成兩個(gè)相對(duì)的分枝，p2表示樹枝伸長，并在兩次生長之間劃清界限（如圖2每個(gè)分枝上的小黑點(diǎn)所示），在p3中根據(jù)當(dāng)前的位置，判斷p1，p2中產(chǎn)生的提問模塊?P(x, y)是否超出橢圓2x2+( y-6)2=62，如果滿足條件2x2+( y-6)2>62，則利用產(chǎn)生式 p3產(chǎn)生兩個(gè)“觸角”，并插入剪切符號(hào)%，移除當(dāng)前的頂點(diǎn)，從而停止當(dāng)前分枝的生長。對(duì)L-系統(tǒng)(3)進(jìn)行二維龜形解釋的結(jié)果如圖4所示。

圖4 二維植物剪枝模型

4.2 三維空間下的植物剪枝模型

一般情況下，在樹的發(fā)展過程中，很多芽不產(chǎn)生新的分枝而是處于休眠狀態(tài)。這種休眠芽后來又由于分枝系統(tǒng)中某些頂芽的移除而被激活，這樣就產(chǎn)生了由外界環(huán)境調(diào)節(jié)的植物結(jié)構(gòu)和形態(tài)。L-系統(tǒng)(4)[6]表示了只有被剪枝以后休眠芽才能被激活的極端情況。

用戶自定義函數(shù) prune(x,y)=(x<-L/2)||(x>L/2)||(y<0)||(y>L)

用戶自定義函數(shù)用來指定一個(gè)剪枝的長方形來界定植物的生長。公理ω初始化為一段樹枝F，它帶有一個(gè)未發(fā)育的頂芽 A和一個(gè)提問模塊?P(x, y)。p1、p2為頂芽A在不同條件下的生長，其中p1表示當(dāng)頂芽A在不滿足剪枝條件時(shí)的生長情況，p2為滿足剪枝條件時(shí)的生長情況，即產(chǎn)生剪枝符號(hào)（用T表示），p3表示剪除伸出剪切區(qū)的最末一段節(jié)間，并產(chǎn)生激活休眠芽的符號(hào)S，在得到激活休眠芽的信號(hào)之后，產(chǎn)生式p4，p5向下傳遞這種信息直到到達(dá)一個(gè)休眠芽，產(chǎn)生式 p6表示休眠芽被激活，生成一個(gè)側(cè)枝。這個(gè)側(cè)枝再重復(fù)以上過程，直到所有的休眠芽被激活。

圖5分別列出了L-系統(tǒng)（4）從第六步迭代開始直到所有的休眠芽被激活各步驟得到的植物形態(tài)。在第六步，主軸的頂點(diǎn)超出了剪切區(qū)域。第七步，這個(gè)頂點(diǎn)和最后一個(gè)節(jié)間被移除，產(chǎn)生激活休眠芽的符號(hào)S（圖中如小黑圈所示）。結(jié)果在第八步中，休眠芽產(chǎn)生了側(cè)枝。同樣超出了剪切區(qū)域，在第九步被移除。重新產(chǎn)生激活休眠芽的符號(hào)S，并在第十步到達(dá)休眠芽，依此類推，直到所有的休眠芽被激活，產(chǎn)生側(cè)枝。

圖5 基于剪枝模型的三維植物形態(tài)

根據(jù)以上植物剪枝模型，利用不同的剪枝函數(shù)，即用戶給定的自定義函數(shù)不同，可以創(chuàng)建不同形態(tài)的植物模型。

另外，當(dāng)提問模塊為? H(x, y, z)或? U(x, y, z)時(shí)，即在植物的生長過程中得到植物生長方向的提示信息時(shí)，可以模擬攀援植物和纏繞植物的生長。

5 結(jié) 論

由于植物生長過程不是孤立的，植物的生長形態(tài)受外界環(huán)境的影響很大。本文通過在 L-系統(tǒng)中引入提問模塊和剪枝函數(shù)來對(duì)植物的剪枝過程進(jìn)行建模，并通過仿真試驗(yàn)，模擬了植物剪枝前后的生長過程，實(shí)驗(yàn)表明，這種建模方式能很好地模擬植物在新的環(huán)境中的生長過程。

由于植物與環(huán)境的交互，剪枝后植物內(nèi)部的信息流發(fā)生改變，從而對(duì)同一棵植物，給定不同的剪枝函數(shù)就可以得到不同的植物形態(tài)。同時(shí)，當(dāng)提問模塊表示植物的生長方向時(shí)，還可以對(duì)攀援類植物進(jìn)行模擬。植物受外界環(huán)境的影響因素很多，如水分、溫度、陽光、風(fēng)力、土壤等。與植物的實(shí)際生長過程相比，還需大量的工作要做。

[1]齊東旭. 分形及其計(jì)算機(jī)生成[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1994. 31-32.

[2]黃艷峰, 薛占熬, 陳 濤. 基于 L-系統(tǒng)的植物模擬研究[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2005, 41(19): 53-55.

[3]唐衛(wèi)東, 李萍萍, 陸章平. 基于 Open-L系統(tǒng)的植物結(jié)構(gòu)功能模型研究[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究, 2007, 24(3):94-96.

[4]Radomír Měch, Przemyslaw Prusinkiewicz. Visual models of plants interacting with their environment proceedings [C]//SIGGRAPH 96, 1996: 397-410.

[5]施干衛(wèi), 范 菁, 董天陽. 基于環(huán)境敏感的植物動(dòng)態(tài)生長模型研究[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究, 2007, 24(3):223-225.

[6]Przwmyslaw Prusinkiewicz, Mark Hammel, Jim Hanan,et al. Visual models of plant development [C]//Handbook of formal languages, 1997: 535-597.