1 前言

螺旋錐齒輪應(yīng)用范圍極廣,它包含于從縫紉機(jī)到飛機(jī)和直升飛機(jī)等許多機(jī)構(gòu)中。特殊的滾銑機(jī)床用于加工齒輪輪齒,在許多著作中(例如[1-3])都論述了高質(zhì)量傳動(dòng)的滾切問(wèn)題。Sheveleva和本文作者一起開發(fā)了螺旋錐齒輪綜合和分析的復(fù)雜程序“Expert”[4-10]。該方法和Litven[1]問(wèn)題相近,但其解的過(guò)程依據(jù)的數(shù)學(xué)不同。觀察可用的文獻(xiàn)表明沒有足夠注意大錐距齒輪,而它是小軸間角傳動(dòng)的特例。在這種情況,綜合的傳統(tǒng)算法求出的機(jī)床一刀具調(diào)整超出了刀具直徑徑向距離,或有效柔性安裝距離的最外面的限制。

通常由減小徑向距離不改變支架角度[11]提供加工大錐距齒輪的可能性。不考慮限制獲得所有其他機(jī)床刀具調(diào)整之后,按照刀具新位置重新計(jì)算。但所提到的技術(shù)對(duì)刀具直徑和刀具壓力角施加了嚴(yán)格的限制。應(yīng)用小直徑刀具結(jié)果不能滿足圓錐輪齒厚度和圓錐頂刃厚度。

已經(jīng)開發(fā)了滾切帶有小軸間角傳動(dòng)裝置個(gè)體螺旋錐齒輪的機(jī)床刀具調(diào)整計(jì)算的計(jì)算機(jī)編程技術(shù)。該技術(shù)提供了獲得局部接觸的可能性。如果大齒輪和小齒輪的輪齒用單邊方法滾切,那么應(yīng)用任意壓力角和直徑的刀具可以切得預(yù)期的螺旋角和壓力角以及滿意的錐度。所采用的刀具直徑比齒輪錐距小,對(duì)齒輪的加工可以用一小直徑的機(jī)床。

現(xiàn)有技術(shù)的輸入數(shù)據(jù)資料有：

——齒輪副幾何尺寸的描述;

——為滾切大齒輪和小齒輪齒面推薦的刀具參數(shù);

——齒輪輪齒滾切徑向距離的期望值;

——要求的齒輪螺旋角和壓力角和;

——綜合條件(名義接觸點(diǎn)位置,接觸跡方向,接觸橢圓長(zhǎng)度,范成修正);

機(jī)床刀具調(diào)整研究有以下步驟：

(a)齒輪機(jī)床刀具調(diào)整的初步計(jì)算。

(b)修正齒輪機(jī)床刀具調(diào)整初步計(jì)算,求得預(yù)期的齒輪齒面的螺旋角和壓力角。

(c)根據(jù)規(guī)定的綜合條件確定小齒輪機(jī)床刀具調(diào)整。

(d)大齒輪和小齒輪輪齒滾切和嚙合過(guò)程的數(shù)值仿真,如果得到的結(jié)果不能滿足,必需修正綜合條件。

2 齒輪機(jī)床刀具調(diào)整的初步計(jì)算

螺旋錐齒輪齒面滾切的機(jī)床刀具調(diào)整如圖1所示,齒輪節(jié)錐頂點(diǎn)通常位于機(jī)床中心,所以ΔA=ΔE=0,式中ΔA是機(jī)床中心到錐頂距而ΔE是偏距,機(jī)床根角Γ等于齒輪根角Sf,可調(diào)整基點(diǎn)ΔB是機(jī)床中心到切刀面頂點(diǎn)的距離,由要求輪齒齒根高h(yuǎn)fe在外錐距Le求得的條件確定的,關(guān)系式為

式中θf(wàn)為齒根角,由名義螺旋角接近指定值βn條件求得的擺角q和徑間距離U：

刀具轉(zhuǎn)軸座標(biāo)X和Y可表示于名義錐距Lm和刀具平均半徑 R0內(nèi),如下：

在齒輪為右螺旋情況Y＞0,反之Y＜0。

圖1 螺旋錐齒輪齒面滾切過(guò)程機(jī)床刀具調(diào)整Fig.1 Machine-tool Settings in the Process of Spiral bevel gear tooth Surface generation

如果軸間角∑小(∑≤30°),那末節(jié)錐角δ也小,而名義錐距Lm=r/sin δ超過(guò)齒總尺寸(名義節(jié)徑r或齒寬b)。例如,如果δ=3°,那末名義錐距和柔性安裝距離A,以及徑向距離U,接近大于齒輪節(jié)徑20倍。加工一個(gè)小的毛坯必需一個(gè)重型機(jī)床。如果采用修正徑向距離U值,安裝距離A,調(diào)整基點(diǎn)ΔB和偏心距ΔE,那末可考慮采用較小機(jī)床。采用選擇調(diào)整值U不超過(guò)機(jī)床移動(dòng)極限Umax求得新的機(jī)床刀具調(diào)整值,并指出提供修正調(diào)整值如下：

不超過(guò)機(jī)床極限,速比i(擺動(dòng)角速度大于毛坯角速度)為

用關(guān)系式(1)-(4)規(guī)定調(diào)整不能提供齒輪齒面名義點(diǎn)螺旋角所要求值βn。更重要的是,用不同螺旋角的螺紋刀片或單邊調(diào)整方法滾切齒槽側(cè)面,不同螺旋角將造成不恰當(dāng)?shù)凝X厚錐度和齒寬錐度,該主要參量輪齒錐度與刀具平均半徑R0有關(guān)。在螺紋刀片或輪齒單邊調(diào)整方法加工刀具半徑R0應(yīng)在以下范圍內(nèi)選擇

但是在考慮情況內(nèi),對(duì)通用機(jī)床,最適宜的刀具半徑常常太大。

為獲得預(yù)期齒輪輪齒壓力角αn,刀具壓力角為

是必需的,輪齒壓力角與小齒輪齒根角θf(wàn)1和大齒輪齒根角θf(wàn)2有關(guān)。

3 修正初步齒輪機(jī)床刀具調(diào)整獲得預(yù)期齒輪齒面螺旋角和壓力角

如果刀具要求壓力角和平均半徑無(wú)效,用單邊切制方法可以獲得要求的壓力角和螺旋角。對(duì)于齒槽不同邊滾切可以采用不同的徑向距離U和速比i。由表達(dá)式(5)確定不同的小角度刀具壓力角是許可的。

齒輪輪齒滾切過(guò)程的參量U和i,對(duì)于齒槽各邊用以下數(shù)值解求得,它由兩未知方程組成。

名義齒輪壓力角和名義螺旋角考慮為U和i的函數(shù),如方法(6)左邊部分。

3.1 在任意齒輪齒面螺旋角和壓力角的計(jì)算

為了確定齒輪齒面任意點(diǎn)螺旋角和壓力角,我們考慮兩直角笛卡爾座標(biāo)系?；A(chǔ)系統(tǒng)Puvt(圖2(a))由單位矢量u,v,t組成?；A(chǔ)系統(tǒng)Pxgygzg由單位矢量Xg,Yg,Zg組成。矢量g指向沿齒面法向,矢量U指向沿輪齒齒頂?shù)酱蠖溯嘄X面切線。矢量Xg指向沿從節(jié)錐頂點(diǎn)開始和指向點(diǎn)P的射線,矢量Zg在齒輪軸線法面內(nèi),矢量 Yg與矢量Xg和Zg互成直角。

圖2 應(yīng)用座標(biāo)系確定(a)壓力角和螺旋角和(b)任意面點(diǎn)PFig.2 Coordinate Systems applied for(a)determination of pressure and spiral angles and(b)determination of an arbitray surface point P

壓力角αn是包含在單位矢量v和Yg之間的銳角。如果矢量v和Yg定義于已知的一個(gè)和相同座標(biāo)系內(nèi),那么壓力角計(jì)算如下：

式中(V,Yg)是矢量V和Yg生成的。

螺旋角βn是矢量t在 XgYg平面和Zg軸線平面上投影,由以下關(guān)系式

確定螺旋角βn。

3.2 基于已知機(jī)床刀具調(diào)整構(gòu)成齒輪齒面和單位矢量u,v,t和Xg,Yg,Zg

用滾銑加工齒輪齒面,讓規(guī)定的滾切表面在笛卡爾直角座標(biāo)系OXYZ(圖1)中可動(dòng),則

座標(biāo)系的原點(diǎn)在齒輪節(jié)錐頂點(diǎn),Z軸指向沿齒輪轉(zhuǎn)軸,不考慮X和Y軸的方向。該座標(biāo)系和齒輪剛性連接,V和θ是表面參量,ψ是運(yùn)動(dòng)規(guī)定的參量。顯然矢量r與ν,θ,ψ無(wú)關(guān),同時(shí)只與刀具幾何尺寸以及機(jī)床刀具調(diào)整有關(guān)。

我們規(guī)定P(圖2(b))點(diǎn)為滾切表面包絡(luò)并位于距齒輪節(jié)錐頂點(diǎn)O為 Lp。δp為Z軸負(fù)方向和O點(diǎn)在點(diǎn)P方向繪成的射線間夾角。

生成表面的點(diǎn)規(guī)定的ν和θ參量和由參量ψ規(guī)定齒輪齒面上的點(diǎn)一致為以下系統(tǒng)的根：

方程式(9a)和(9b)規(guī)定P點(diǎn)位于包絡(luò)面(齒面),方程式(9c)是包絡(luò)面存在的必要條件。

如果 νp,θp,ψp是式(9a)的根,那么

是P點(diǎn)的座標(biāo),規(guī)定在座標(biāo)系OXYZ內(nèi)。

求得單位矢量Xg,Yg,Zg和t為

為解式(6)采用牛頓技術(shù),應(yīng)用有限差分關(guān)系式確定有關(guān)變數(shù) U和i的函數(shù)α*n(U,i)和β*n(U,i)的求導(dǎo)?？紤]采用關(guān)系式(1)-(4)作為初步近似求得U 和i值 。

采用已知矢量Xg,Yg,Zg的和與矢量乘構(gòu)成單位矢量u,v

關(guān)系式(11)中“+”為右螺旋,“-”為左螺旋。

4 基于固定綜合條件確定小齒輪機(jī)床刀具調(diào)整

小齒輪齒側(cè)面綜合的下一個(gè)問(wèn)題是采用以上構(gòu)成齒面為局部接觸,用一單邊方法生成小齒輪齒面。以下刀具參量,點(diǎn)半徑Rc和壓力角α是已知的,綜合將減小以下綜合參數(shù)的相互影響：

——一研究點(diǎn)P(2)的位移 Δr和Δv與沿齒線和沿節(jié)錐法線的齒輪齒面名義點(diǎn)M(2)(圖3(a))有關(guān)。該名義點(diǎn)位于節(jié)錐母線名義錐距Lm內(nèi)。我們應(yīng)構(gòu)成一小齒輪齒面在點(diǎn)P(2)中心提供一接觸圖,研究點(diǎn)的球形座標(biāo)距離Lp和高度δ(2)p是位移 Δr和 Δv的單值函數(shù);

——系統(tǒng)Puvt的軸V和接觸跡在 P(2)點(diǎn)切線之間銳角λ(圖3(b));

圖3 綜合參數(shù)：(a)考慮點(diǎn)的位置(b)接觸跡和接觸橢圓長(zhǎng)軸的偏差Fig.3 Parameters of Synthesis：(a)considering point location and inclination of contact path and major axis of contact ellipse

——主接觸橢圓預(yù)期相對(duì)長(zhǎng)度σp=a/b(圖 3(b))和鍍層深度εp以及刀具中半徑 Rc;

——修正滾動(dòng)系數(shù)Km。

我們推薦毛坯旋轉(zhuǎn)角φ和支架旋轉(zhuǎn)角ψ在滾切過(guò)程中的關(guān)系式為

式中i0是支架角速度與毛坯角速度之比,在支架位置內(nèi)ψ=ψp。

Litvin[1]表明齒輪和小齒輪輪齒可能局部接觸,在該情況傳動(dòng)誤差函數(shù)

是負(fù)或接近拋物線函數(shù)

計(jì)算大齒輪和小齒輪離開位置角φ(1)和φ(2),再選擇一對(duì)輪齒彼此在齒輪設(shè)想點(diǎn)P(2)相互接觸,小齒輪齒面的P(1)點(diǎn)和P(2)點(diǎn)在設(shè)置位置一致,我們稱之謂小齒輪設(shè)想點(diǎn)。角注“(1)”表示為小齒輪而角注“(2)”表示大齒輪。

應(yīng)用滾動(dòng)修正情況下,小齒輪齒面滾切如果采用小直徑刀具,可能要求規(guī)定傳動(dòng)誤差(14)。

我們建議小齒輪齒面應(yīng)滿足以下條件[1]：

——大齒輪齒面和小齒輪齒面在齒輪某位置設(shè)想點(diǎn)P(2)有一根公法線;

——在設(shè)想點(diǎn) P(2)接觸瞬時(shí),該瞬時(shí)速比等于名義值Z(1)/Z(2);

——預(yù)期傾斜接觸跡(圖3(b))。

——預(yù)期接觸橢圓長(zhǎng)軸中心在設(shè)想點(diǎn)內(nèi)(圖3(b))。

在節(jié)4.1—4.2描述算法的目的是檢驗(yàn)以上要求。

4.1 算法確定設(shè)想位置和小齒輪齒面設(shè)想點(diǎn)P(1)

大齒輪齒面設(shè)想點(diǎn)P(2)的選擇如圖3(a)所示,在任意嚙合相位我們建立小齒輪齒面僅有一點(diǎn)和大齒輪齒面接觸。找尋齒輪齒面設(shè)想點(diǎn)位置,要求在該瞬時(shí),當(dāng)該齒面在設(shè)想齒輪齒面點(diǎn)接觸時(shí),瞬時(shí)速比m21等于其名義值為

等于小齒輪齒數(shù)與大齒輪齒數(shù)比,我們建議P(2)位于固定空間由極座標(biāo)確定的P點(diǎn)(圖4)。

圖4 小齒輪和大齒輪的相對(duì)位置Fig.4 Relative location of pinion and gear

我們將考慮在任意位置和定向的固定空間組合系統(tǒng)OaXaYaZa的嚙合過(guò)程(圖4),使大齒輪和小齒輪節(jié)錐頂點(diǎn)位于原點(diǎn)Oa,那么我們將把大齒輪的Za軸和小齒輪系OXYZ的Z軸重合。而后再將小齒輪Z軸繞Oa點(diǎn)在平面XaZa轉(zhuǎn)過(guò)∑角,并將大齒輪繞大齒輪軸轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)過(guò)角,與大齒輪不同,小齒輪輪齒不滾切,傳動(dòng)組件以上描述過(guò)程的最后,我們將考慮所有引用的座標(biāo)系都作為固定的。

小齒輪和大齒輪繞它們的軸線回轉(zhuǎn)的角速度ω(1),ω(2)不是任意的,點(diǎn)P(1)絕對(duì)速度的投影和 P(2)點(diǎn)絕對(duì)速度的投影在齒面切點(diǎn)公法線t上,它們等于

式中 ω(1)=ω(1)e(1),ω(2)=ω(2)e(2),rp是由點(diǎn) Oa繪至P點(diǎn)的矢量,而e(1),e(2)是沿大齒輪轉(zhuǎn)軸方向的單位矢量(圖4)。

在關(guān)系(16)中,大齒輪齒面法線t是認(rèn)為作為公法線。如果機(jī)床刀具安裝位置已知,可以確定該法線和矢量rp之一可以作為φ(2)0的函數(shù),可用關(guān)系式(10)解式(9),并由大齒輪系OXYZ這些矢量組成轉(zhuǎn)化到系OaXaYaZa,大齒輪和小齒輪齒面不考慮在P點(diǎn)相切狀況。

與m21=ω(2)/ω(1)有關(guān)的關(guān)系式(16)和在已知組件座標(biāo)系OaXaYaZa內(nèi)P點(diǎn)矢量rp有可能由式(15)左邊算出,式(15)與小齒輪齒面無(wú)關(guān),該公式可用數(shù)值技術(shù)求解。

點(diǎn)P球面座標(biāo)(橫向δ(1)p和縱向φ(1)0(圖 4))確定為

4.2 大齒輪齒面相切的條件

小齒輪和大齒輪齒面在P點(diǎn)相切的條件為

用關(guān)系式(8)-(11)構(gòu)成的小齒輪和大齒輪座標(biāo)系的單位矢量u(1),v(1),t(1)和u(2),v(2),t(2)是相同的,只有一點(diǎn)不同,即大齒輪的矢量基數(shù)可在已知的機(jī)床刀具安裝基準(zhǔn)上計(jì)算,但小齒輪的矢量基數(shù)僅表示為未知的安裝的函數(shù)。這就是在上述關(guān)系式中省略上指數(shù)的原因。為了計(jì)算在式(18)中無(wú)矢量乘積的目的,用矢量t(1)分量由縱行原始確定在小齒輪座標(biāo)系OXYZ內(nèi),藉助于關(guān)系式轉(zhuǎn)換到大齒輪座標(biāo)系OXYZ,即

在式(19)內(nèi)各矩陣函數(shù)確定由于繞單軸轉(zhuǎn)動(dòng)座標(biāo)轉(zhuǎn)換,由一較低指數(shù)通過(guò)角度指出,它是一矩陣變量。包含在小齒輪OXYZ座標(biāo)系X軸間角ζ1和單位矢量

其指向由小齒輪轉(zhuǎn)角到點(diǎn)P(1),該所述矢量與小齒輪轉(zhuǎn)軸垂直。角ζ2與角ζ1相同,但對(duì)于大齒輪,ζ1和ζ2計(jì)算相同

自然在大齒輪情況方面,大齒輪設(shè)想點(diǎn)應(yīng)采用座標(biāo)Xp和Yp,在小齒輪方面,座標(biāo)確定小齒輪設(shè)想點(diǎn)。

我們考慮關(guān)系式(18)為未知機(jī)床刀具調(diào)整兩方程式。

4.3 加于接觸跡方向條件

我們提出小齒輪齒面(n=1)和大齒輪齒面(n=2)在固定座標(biāo)系p(n)u(n)v(n)t(n)(n=1,2)內(nèi)運(yùn)動(dòng)方程式t(n)=t(n)(u(n),v(n),φ(1))(n=1,2),聯(lián)系到設(shè)定位置,以泰勒級(jí)數(shù)形式取第二功率項(xiàng),讓函數(shù)t*(1)(u(2),v(2),φ(1))在固定座標(biāo)系 p(2)u(2)v(2)t(2)內(nèi)確定運(yùn)動(dòng)的小齒輪齒面。沿座標(biāo)系p(2)u(2)v(2)t(2)內(nèi)t(2)軸嚙合齒面間距離δ t=t(2)(u(2),v(2),φ(1)-t*(1)(u(2),v(2),φ(1))為

在式(20)內(nèi)省略角注 2。 系數(shù) δ tuu,δ tuδ,δ tvv,δ tφ,δ tφu,δ tφv,δ tφφ與機(jī)床刀具調(diào)整有關(guān) 。 缺乏與 u和v有關(guān)的常數(shù)項(xiàng)和1階項(xiàng),因P(2)是兩相接觸齒面的公共點(diǎn),由式(18)提供齒面相切,我們表示展開式(20)系數(shù)為對(duì)于函數(shù)τ(2)(u(2),v(2),φ(1))和τ*(1)(u(2),v(2),φ(1))延伸模擬系數(shù)之差,

在大齒輪系內(nèi)用角注“*”標(biāo)定確定小齒輪齒面系數(shù)。

如果動(dòng)大齒輪和小齒輪輪齒側(cè)面方程式確定于它們各自座標(biāo)系 u(1),v(2),τ(2)和 u(1),v(1),τ(1),其展開式形式與(20)相似。對(duì)于大齒輪齒面在運(yùn)動(dòng)中方程式的系數(shù)和用分析技術(shù)[4]確定動(dòng)小齒輪齒面展開式系數(shù)而后轉(zhuǎn)換小齒輪系數(shù)為大齒輪齒面座標(biāo)系如下：

矩陣[Π]可以作為三矩陣乘積求得

矩陣[G]是由大齒輪座標(biāo)系OXYZ轉(zhuǎn)置到大齒輪座標(biāo)系u(2)v(2)t(2)的矩陣,由關(guān)系式(19)確定矩陣[Π*]。矩陣[G1]是由小齒輪u(1)v(1)t(1)系轉(zhuǎn)置到小齒輪OXYZ座標(biāo)系的矩陣。

用以下關(guān)系式在u(2)v(2)t(2)中計(jì)算系數(shù)

式中

我們將發(fā)現(xiàn)靠近小齒輪轉(zhuǎn)角φ(1)最大齒面一點(diǎn)的座標(biāo)uK,vK超出范圍之外。如果齒面存在切點(diǎn),那么該點(diǎn)與最大齒面點(diǎn)接近。假定齒面為無(wú)限大,我們寫出函數(shù)δ t最小條件為

由方程式(21)得出接觸點(diǎn)未知座標(biāo)u和v二線性方程組：

我們表明方程組(22)的解形式如下：

式中

如果D≠0,關(guān)系式(23)和(24)是有效的。它意謂著齒面產(chǎn)生一接觸點(diǎn),減少D近似達(dá)到一任意線性接觸率,但在構(gòu)成嚙合時(shí),找到一線性接觸點(diǎn)非理想情況[4]。這就是對(duì)于沿線接觸齒面結(jié)構(gòu)不能預(yù)先指定算法的原因。

參量ukφ和vkφ是接觸點(diǎn)(非實(shí)質(zhì)點(diǎn))絕對(duì)速度在與齒輪可動(dòng)系相連座標(biāo)軸u和v上投影,考慮點(diǎn)位置在設(shè)想位置內(nèi)。該速度與時(shí)間無(wú)關(guān),但與小齒輪轉(zhuǎn)角有關(guān)。

大齒輪輪齒側(cè)面上接觸點(diǎn)相對(duì)速度在軸u和v上投影,當(dāng)齒面在設(shè)想點(diǎn)P接觸時(shí)(φ(1)=0),為

大齒輪齒面點(diǎn)P(2)的絕對(duì)速度的矢量的投影求得如下：

上述條件是加于影響接觸跡方向,我們表明一接觸點(diǎn)的接觸點(diǎn)速度項(xiàng)為

4.4 機(jī)床刀具調(diào)整的研究提高需要的小齒輪齒面幾何學(xué)

我們目標(biāo)找出四機(jī)床刀具調(diào)整滿足三個(gè)條件(18)和(26),并盡可靠近由關(guān)系式(1)-(4)描述的機(jī)床調(diào)整。由以下函數(shù)最小可能解這問(wèn)題

式中

c1,c2和c3是主要條件確定的系數(shù),齒面相切條件建議比強(qiáng)加于接觸跡方向更重要條件。

對(duì)于函數(shù)最小(27)算法由兩步組成,第一步函數(shù)φ1+φ2最小,關(guān)系式(1)-(4)指定起始點(diǎn)。然后最小函數(shù)φ(U,i,ΔA,ΔE)由關(guān)系式(26)和(27)在約束下確定實(shí)現(xiàn)

如果運(yùn)動(dòng)在切于齒面(28)的平面內(nèi)最小流程完成,可以縮小四維問(wèn)題為二維問(wèn)題違背條件(28),如果運(yùn)動(dòng)的級(jí)數(shù)不大,在第一階段的開始是小的滿足,可變量 U,i,ΔA 和 ΔE 的增量 δ U,δ i,δ ΔA 和 δ ΔE之間關(guān)系如下：

式中 δ φ1和 δ φ2是自變量增量 δ U,δ i,δ ΔA 和 δ ΔE形成的函數(shù)φ1和φ2增量,我們考慮U,i是獨(dú)立變量,所有其他可變?cè)隽坎捎?29)作為增量δ U,δ i確定。

4.5 加于接觸橢圓主軸長(zhǎng)度條件的簡(jiǎn)述

或主接觸橢圓(圖3(b))有效長(zhǎng)度σp=a/b和切層深度εp,或刀具切點(diǎn)的半徑Rc可認(rèn)為是綜合的條件。在σp和εp為確定值的情況下,要求用解有關(guān)Rc方程式σ(εp,Rc)=σp自動(dòng)探索齒輪刀具切削點(diǎn)半徑Rc。

采用節(jié)4.1和4.1的算式,按一給定的Rc估算σ(εp,Rc)。如果ζ,η為垂直象限軸(20),距離 δ t是由關(guān)系式 δ t=δ tminξ2+δ tmaxη2確定,接觸橢圓主軸表示為

如獲得Rc的刀具應(yīng)用不是預(yù)期的,有可能應(yīng)用不同點(diǎn)半徑的有效刀具,在這種情況Rc是一個(gè)編程的輸入數(shù)據(jù)。

5 齒輪綜合計(jì)算機(jī)程序的應(yīng)用

小軸間角傳動(dòng)綜合計(jì)算機(jī)程序開發(fā)輸入數(shù)據(jù)是描述傳動(dòng)裝置幾何學(xué),它包括有效的名義壓力角和螺旋角,用于滾切輪齒刀具參量和綜合參量。

由機(jī)床有效最外邊極限確定徑向距離的起動(dòng)值。因?yàn)榈玫降木嚯x可能超過(guò)起動(dòng)值,故必須提供某些儲(chǔ)備。然而推薦的算式常常提供大齒輪和小齒輪徑向距離十分接近起動(dòng)值。此外應(yīng)保證在傳動(dòng)的制造過(guò)程內(nèi)機(jī)床刀具調(diào)整的可能性。

選擇相互影響其他參量的優(yōu)化值,綜合后求得計(jì)算機(jī)分析結(jié)果進(jìn)行匹配[8-11],在不滿足分析結(jié)果的情況下,修正綜合參數(shù)。隨著修正再作第二次綜合嘗試和分析。

參量Δr和Δv是為了在輪齒側(cè)面有效位置接觸圖中心定位,橫向位移Δv補(bǔ)償輪齒修正接觸圖垂直移動(dòng);接觸圖縱向位移Δr到齒頂可補(bǔ)償軸承接觸移動(dòng),在小負(fù)載作用下到輪齒大端與接觸圖象有關(guān)。推薦參量值如下：

式中mn是名義法面模數(shù),Xn是修正系數(shù),它是齒頂減短對(duì)mn的比(Xn≥0)。

參量λ零值相當(dāng)于接觸跡沿方向齒廓,在該情況,通常發(fā)生齒頂接觸。該參量的適當(dāng)選擇,可使在齒橫向產(chǎn)生局部接觸,但接觸跡縱向輪齒齒頂或齒根接觸可能性增加。參量λ的可能范圍為0＜λ＜90°。參量的最佳值,提高局部接觸和對(duì)不對(duì)中敏感,對(duì)于凸凹面是不同的。輪齒高對(duì)齒寬比的減少造成參量最佳值增大,推薦最佳斜角選擇λ=70°開始。

建議首先綜合嘗試為Km=0,如果求得傳動(dòng)嚙合誤差(13)變?yōu)檎蜇?fù)傳動(dòng)誤差絕對(duì)值太小,保證傳動(dòng)對(duì)不對(duì)中靈敏度小,應(yīng)逐漸增大Km絕對(duì)值,直到獲得有效值。應(yīng)保持|Km|一個(gè)超大增加值造成噪音水平增大。

對(duì)于右螺旋齒輪情況下,如滾切凸齒側(cè)面,Km為正;如果滾切凹齒側(cè)面,Km為負(fù),在左螺旋齒輪情況下,系數(shù)Km符號(hào)相反。

6 數(shù)值實(shí)例

作為我們研究的傳動(dòng)實(shí)例參數(shù)如下：軸間角∑=18°,小齒輪齒數(shù)Z(1)=17,大齒輪齒數(shù)Z(2)=21,名義法面模數(shù)mn=8 mm,齒寬 b=60 mm,壓力角αn=24°,螺旋角 βn=25°。輪齒等高,齒根角 θ(1)f=θ(2)f=0。小齒輪為左螺旋,外錐距Le=566.12 mm,名義法間節(jié)寬：小齒輪S(1)mn=13.03 mm,大齒輪S(2)mn=12.10 mm。

求出許可的齒輪輪齒瞬間錐形寬度,應(yīng)采用平均刀具直徑d0≈500 mm,在該情況,由關(guān)系式(1)和(2)求得U0=486.5 mm。

我們建議機(jī)床具有最大徑向位移Umax=340 mm,最大機(jī)床中心和芯軸間最大距離600 mm,刀具平均直徑d0=304.8 mm,有效齒頂寬為3 mm。

如果齒輪滾切用單邊調(diào)整方法,刀具壓力角為24°。此外小直徑刀具應(yīng)用造成不能滿足大齒輪錐形頂寬(圖5(a))。輪齒頂緣繪成實(shí)線,而虛線為輪齒節(jié)錐截面。圖5(b)示輪齒齒頂緣和節(jié)錐截面用平均直徑d0=457.2 mm刀具滾切。在該情況,齒錐形是許可的,輪齒參數(shù)用表1表明的第一(d0=304.8 mm)和第二(d0=457.2 mm)刀具滾切。該輪齒名義法向節(jié)距寬是唯一并相同(S(2)mn=12.10 mm)。

應(yīng)用單邊方法情況,可采用任意壓力角刀具,我們建議該角度等于20°。編程預(yù)先規(guī)定齒輪輪齒壓力角和齒形角,它由必要的徑向距離U和速比i來(lái)選擇,對(duì)于不同齒側(cè)面U和i不同。在單邊一單邊滾切方法(d0=304.8 mm)情況,輪齒頂緣和輪齒節(jié)錐截面如圖5(c)(小齒輪輪齒)和圖5(d)(大齒輪輪齒)所示。表2列大齒輪和小齒輪輪齒錐度特征值。錐度在公差范圍內(nèi),對(duì)輪齒錐度的分析可應(yīng)用[8]所述方法。

用傳動(dòng)在滾子試驗(yàn)機(jī)上小負(fù)荷下試驗(yàn),計(jì)算機(jī)仿真獲得機(jī)床刀具調(diào)整和結(jié)果(傳動(dòng)誤差曲線和接觸線圖如圖6所示。明線用箭頭表示接觸跡檢驗(yàn)小齒輪凹面和大齒輪凸面的嚙合狀況,齒面上鍍層深度建議為0.006 mm。

圖5 節(jié)錐環(huán)槽和選擇：(a)大齒輪,單邊調(diào)整方法d0=304.8 mm;(b)大齒輪,單邊調(diào)整方法,d0=457.2 mm;(c)小齒輪,單邊一單邊方法,d0=304.8 mm和大齒輪單邊一單邊方法,d0=304.8 mmFig.5 Toplands and sections by a pitch cones：(a)gear,single setting method,d0=304.8 mm;(b)gear,single setting method,d0=457.2 mm;(c)pinion,single-side-single-side method,d0=304.8 mm;and(d)gear,single-side-single-side method,d0=304.8 mm

表1 用單邊調(diào)整法滾切大齒輪和小齒輪輪齒參數(shù)Table 1 Parameters of gear and pinion teeth that are generated by single setting method

表2 用單邊一單邊法滾切齒輪參數(shù)Table 2 Parameters of teeth that are generated by single-side-single-side method

圖6示計(jì)算程序輸出,它建立于綜合程序內(nèi)并闡述于文獻(xiàn)[9]。在最佳綜合參數(shù)研究過(guò)程中,編程為表示嚙合分析,考慮兩輪齒面嚙合(一對(duì)齒接觸),在小齒輪齒面接觸點(diǎn)K(1)的座標(biāo)u(1),v(1),大齒輪齒面接觸點(diǎn)K(2)的座標(biāo)為u(2),v(2),由解5方程組求得在嚙合周期內(nèi)對(duì)于嚙合階段φ(1)的大齒輪轉(zhuǎn)角φ(2)。這些方程要求主要點(diǎn)K(1)在空間與點(diǎn)K(3)為相同的點(diǎn)(三方程式),而齒面有公法線(二方程式)。

在不同嚙合相位小齒輪和大齒輪涂層橫斷總面積構(gòu)成接觸圖線,建議該涂層等深度

獲得的機(jī)床刀具調(diào)整不超過(guò)機(jī)床設(shè)計(jì)極限,調(diào)整計(jì)算基于以下綜合參數(shù)值：Δr=2 mm,Δv=0.5 mm,λ=74°,σp=0.3 和Km=0.08。

圖6 小負(fù)荷下傳動(dòng)試驗(yàn)計(jì)算機(jī)仿真Fig.6 Computer simulation of testing of the transmission under a slight load

圖7示相同齒面的擠壓接觸。圖8示當(dāng)嚙合(至左)和力由一對(duì)輪齒傳遞(至右)時(shí),最大壓力變化。因接觸比大于1,同時(shí)發(fā)生兩對(duì)齒嚙合。采用計(jì)算機(jī)編程[10]基于接觸問(wèn)題赫茨解求得結(jié)果,連續(xù)接觸受二階表面的限制,這些表面近似齒輪齒面在接觸橢圓中心附近。輪齒的彎曲和齒緣的彎曲不予考慮。

大齒輪和小齒輪材料楊氏模量為2×105N/mm2,齒輪軸轉(zhuǎn)矩為1 000 Nm,最大接觸壓力為1 121 N/mm2,擠壓接觸是局部的。

圖9示瞬時(shí)接觸區(qū)(至齒頂)和沿齒輪輪齒的最大主拉伸應(yīng)力分布表示相當(dāng)于最危險(xiǎn)的嚙合階段(至齒根),我們注意該應(yīng)力局部作用于齒根圓角表面。

圖10示輪齒負(fù)荷側(cè)齒根圓角表面附近輪齒橫截面應(yīng)力分布,該分析方法[6,10,12]以有限元方法為基礎(chǔ)?；趦蓹E圓彈性接觸問(wèn)題的赫茨解,確定接觸應(yīng)力和輪齒彈性方法,考慮兩對(duì)輪齒同時(shí)接觸。僅考慮到接觸變形求得各對(duì)齒接觸過(guò)程中的接觸壓力分布。彎曲應(yīng)力分析有限元模型由輪齒和一不連續(xù)梁組成。

7 結(jié)論

已經(jīng)開發(fā)了小軸間角螺旋錐齒輪傳動(dòng)綜合的數(shù)值方法。傳統(tǒng)的綜合方法提供機(jī)床刀具調(diào)整通常大多數(shù)受齒輪滾切機(jī)床設(shè)計(jì)的限制,本文推薦方法用于滾切大齒輪和小齒輪輪齒可減小機(jī)床尺寸。

本文方法主要優(yōu)點(diǎn)如下：

(1)用綜合參數(shù)相互影響的研究,求得組合中輪齒的局部擠壓接觸,這些參數(shù)在嚙合特性方面的影響是足夠清楚的。

(2)與齒輪錐距相比可以采用小直徑和徑向距離的刀具,一齒輪柔性安裝的距離可小于安裝距離二倍,柔性安裝距離的減小相對(duì)于其常規(guī)值不降低嚙合質(zhì)量。減小刀具直徑,半徑和柔性安裝距離的大小,提供了采用相對(duì)小齒輪磨床或齒銑床滾切齒輪的可能性。

(3)幾乎采用任意壓力角和直徑的刀具,可獲預(yù)期大量幾何尺寸(壓力角,螺旋角,有利的輪齒錐度)。這種可能性可同樣適用于小軸間角或大軸間角傳動(dòng)。

圖7 輪齒表面擠壓接觸Fig.7 Bearing contact of tooth surfaces

圖8 當(dāng)嚙合(至左)和一對(duì)齒傳遞力變化(至右)時(shí)最大接觸壓力改變Fig.8 Change of maximum contact pressure during meshing(to the left)and change of force that is transmitted by a pair of teeth(to the right)

(4)基于所述方法開發(fā)了綜合的計(jì)算機(jī)程序,說(shuō)明了推薦合適綜合參數(shù)的選擇方法,研究了傳動(dòng)綜合和分析的實(shí)例。

(劉青譯自Journal of Mechanical Design Vol.129,SEPTEMBER 2007)

圖9 瞬時(shí)接觸區(qū)(至齒頂)和最大主拉伸應(yīng)力沿輪齒分布Fig.9 Instantaneous contact area(to the top)and the distribution of maximal major principal tensile stressalong the gear tooth

圖10 瞬時(shí)接觸區(qū)(至齒頂)和最大拉伸應(yīng)力沿輪齒分布Fig.10 Stress distribution over tooth cross-section in the vicinity of fillet surface

術(shù)語(yǔ)

Nomenclature

A=修正柔性安裝距離Corrected soft mounting distance

A0=一節(jié)錐頂位于機(jī)床中心的柔性安裝距離soft mounting distance in case a pitch cone apex is located in machine center

Le,Lm=外錐距和名義錐距external cone distance and mean cone distance

Lp=節(jié)錐頂至P點(diǎn)距離distance from pitch cone apex to a point P(Fig.3)

[Mk(ζ)]=相當(dāng)于繞軸k=X,Y,Z繞角ζ轉(zhuǎn)動(dòng)座標(biāo)轉(zhuǎn)置矩陣matrices of coordinate transformation,corresponding to rotation about axis k=x,y,z about angle ζ

P=齒面點(diǎn)(圖2)a point of tooth surface(Fig.2)

P(n)(n=1,2)=小齒輪或大齒輪齒面設(shè)想點(diǎn)(圖3)considering point of pinion(n=1)or gear(n=2)tooth surface(Fig.3)

R=名義節(jié)徑mean pitch radius

R0,Rc=平均刀具半徑和刀具點(diǎn)半徑average tool radius and tool point radius

U=徑向距離radial distance

b=齒寬face width(Fig.3)

e(n)=沿小齒輪(n=1)或大齒輪(n=2)轉(zhuǎn)軸單元矢量(圖4)unit vector directed along pinion(n=1)or gear(n=2)axis of rotation(Fig.4)

i=速比(支架角速度比毛坯角速度)velocity ratio(a cradle angular velocity over a blank angular velocity)

km=滾子修正系數(shù)coefficient of modified roll

m21(φ(1))=嚙合階段φ(1)速比gear ratio in phase of engagement φ(1)

mn=名義法面模數(shù)mean normal module

q=刀具裝配角(圖1)installment angle for tool(Fig.1)

r=與毛坯固聯(lián)座標(biāo)系位置矢量position vector in a coordinate system rigidly connected with a blank

u,v,t=座標(biāo)系puvt(圖2)的單元矢量unit vectors of coordinate system Puvt(Fig.2)

uk,vk=最大齒面接近點(diǎn)座標(biāo) coordinates of a point of maximal surface approach

xg,yg,zg=座標(biāo)系Pxgygzg(圖2)單位矢量unit vectors of coordinate system Pxgygzg(Fig.2)

z(n)=小齒輪(n=1)或大齒輪(n=2)齒數(shù)number of teeth of pinion(n=1)or gear(n=2)

Γ=機(jī)床根角(圖1)machine root angle(Fig.1)

Δ A=機(jī)床中心至背部距離(圖1)machine center to back(Fig.1)

ΔB=滑動(dòng)距離(圖1)sliding base(Fig.1)

ΔE=毛坯偏距(圖1)blank offset(Fig.1)

Δv,Δr=相對(duì)于大齒輪齒面名義點(diǎn)M(2)(圖3)沿輪齒線和沿節(jié)錐法線一設(shè)想點(diǎn)P(2)的位移displacements of the a considering point P(2)with respect to gear tooth surface mean point M(2)(Fig.3)along a tooth line and along a pitch cone normal

Φ=描述一預(yù)期小齒輪輪齒差值機(jī)床調(diào)整的函數(shù)the function of machine-tool settings that describes a difference of current pinion tooth surface from desired one

Φ1,Φ2=限定大齒輪和小齒輪輪齒設(shè)定點(diǎn)法線一致機(jī)床刀具調(diào)整函數(shù) the functions of machine-tool settings that define lack of coincidence of normals to gear and pinion tooth surfaces at considering point

Φ3=機(jī)床刀具調(diào)整現(xiàn)有和預(yù)期接觸跡方向特征差分函數(shù) the function of machine-tool settings that characterize difference of current and desired contact path directions

[Π]=由小齒輪u(1)v(1)t(1)座標(biāo)系至大齒輪u(2)v(2)t(2)系轉(zhuǎn)置矩陣matrix of transformation from pinion u(1)v(1)t(1)system to to gear u(2)v(2)t(2)system

[Π*]=由小齒輪OXYZ座標(biāo)系至大齒輪OXYZ座標(biāo)系轉(zhuǎn)置矩陣matrix of transformation from pinion Oxyz-system to gear Oxyz-system

∑=軸間角(圖4)shaft angle(Fig.4)

α=刀具壓力角tool pressure angle

αn,βn=預(yù)期大齒輪壓力角和螺旋角(圖2)desired gear pressure angle and spiral angle(Fig.2)

δ,δf=節(jié)錐角和根角(圖3)pitch angle and root angle(Fig.3)

δp=限定P點(diǎn)的極角(圖2)polar angle that define the point P(Fig.2)

δ t=配對(duì)齒面沿τ(2)軸距離 distance between mating tooth surfaces along t(2)axis

εp=試驗(yàn)過(guò)程中覆膜層深depth of painter coating in the process of testing

θ,v=滾切齒面點(diǎn)的極角和錐距polar angle and cone distance of a point of generating surface

λ=接觸跡斜角(圖3)angle of contact path inclination(Fig.3)

φ(n)=小齒輪(n=1)或大齒輪(n=2)(相對(duì)于有效位置)在嚙合過(guò)程轉(zhuǎn)角angle of rotation of the pinion(n=1)or the gear(n=2)(with respect to considering position)in the process of meshing

ψ=滾切過(guò)程中現(xiàn)有支架角current cradle angle in the process of generation

ψp=滾切面切于包絡(luò)點(diǎn)P時(shí)支架角cradle angle in the moment when a generating surface is tangent to it's envelope at the point P

[1]Litvin,F.L.,and Fuentes,A.,2004,Gear Geometry and Applied Theory,Cambridge University Press,Cambridge,UK,800.

[2]Argyris,J.,Fuentes,A.,and Litvin,F.L.,2002,“Computerized Integrated Approach forDesign and Stress Analysis of Spiral Bevel Gears,”Comput.Methods Appl.Mech.Eng.,191,pp.1057-1095.

[3]Fuentes,A.,Litvin,F.L.,Mullings,B.R.,Woods,R.,and Handshuh,R.F.,2002,“Design and Stress Analysis of Low-Noise Adjusted Bearing Contact Spiral Bevel Gears,”ASM E J.Mech.Des.,124,pp.524-532.

[4]Sheveleva,G.I.,1999,Theory ofGeneration and Contact of Moving Bodies(in Russian),Stankin,Moscow.

[5]Sheveleva,G.,Medvedev,V.,andVolkov,A.,1995,“Mathematical Simulation of Spiral Bevel Gears Production and Processes With Contact and Bending Stressess,”Proc.IX World CongressIFToMM,Vol.1,Milano,Italy,pp.509-513.

[6]Sheveleva,G.I.,Volkov,A.E.,and Medvedev,V.I.,2003,“Calculating the Contact Pressures in Bevel Gear Drives With Different Tooth Models,”J.M ach.Manuf.Reliabi.,2,pp.58-61.

[7]Medvedev,V.I.,1999,“Synthesis of Generated Nonorthogonal Bevel and Hypoid Gear Sets,”J.M ach.Manuf.Reliabi.,5,pp.1-8.

[8]Medvedev,V.I.,2001,“ProgramsforAnalyzing Quality of Conical and Hypoid Gear Pairs,”J.M ach.Manuf.Reliabi.,3,pp.77-84.

[9]Medvedev,V.I.,2001,“Technique for Rapid Evaluation of the Quality of the Settings of the Gear Shaping Machines for Hypoid Pair Manufacturing,”J.M ach.Manuf.Reliabi.,1,pp.91-98.

[10]Medevdev,V.I.,2003,“Calculating theBending Stresses in the Circular Teeth of Bevel Gears,” J.Mach.Manuf.Reliabi.,4,pp.26-33.