馮 平，王爾智

(1.沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院 沈陽 110178;2.解放軍后勤工程學(xué)院軍用電力保障教研室 重慶 400016)

0 引言

混沌是物理學(xué)史上繼相對論和量子力學(xué)之后的又一重大發(fā)現(xiàn)。由于它的普遍存在性和潛在的應(yīng)用價值，其研究一直受到人們的關(guān)注，其中解析預(yù)測混沌出現(xiàn)的條件是主要研究方向之一?；煦鐓?shù)區(qū)的預(yù)測方法可分為兩大類:一類是數(shù)值的方法，如通過計算 Lyapunov指數(shù)［1］、頻譜分析［9］等。一般是以Lyapunov指數(shù)為正作為系統(tǒng)混沌的標(biāo)志，并且利用Lyapunov指數(shù)為正判斷發(fā)生混沌的參數(shù)區(qū)域，該方法也可以作為檢驗其它方法的有力工具［2］;另一類則是解析方法，主要有Melnikov 方法［4］、諧波平衡法、直接推斷法［5，6］等。Melnikov方法主要適合于二階的Hamilton系統(tǒng)，通過求取穩(wěn)定與不穩(wěn)定流型的交集，獲得混沌發(fā)生的必要條件，但其求到的區(qū)域往往十分保守，有時甚至是失效的［2，16］;諧波平衡法、直接推斷法等方法主要通過獲得系統(tǒng)分岔的信息，依靠數(shù)值模擬尋找到混沌發(fā)生的區(qū)域，是一種半解析的方法。由于非線性動力系統(tǒng)的復(fù)雜性，目前已有的混沌解析方法仍然有很大局限性，因而提出和發(fā)展新的混沌解析方法是非常有價值的。

鐵磁諧振是電力系統(tǒng)中的一種復(fù)雜的非線性現(xiàn)象，常出現(xiàn)在切合線路開關(guān)或系統(tǒng)故障的瞬間，由鐵芯線圈的非線性電感與電網(wǎng)中的電容形成非線性諧振。當(dāng)電網(wǎng)中發(fā)生鐵磁諧振時，會造成過電壓，危害系統(tǒng)的正常運行。大量文獻(xiàn)［6－9］對鐵磁諧振中的動力學(xué)行為進行了的研究。其中對于混沌形式的鐵磁諧振也進行了大量的觀測和分析［10－16］，但目前的工作主要集中在數(shù)值模擬和實驗上。就理論分析而言，雖然已有文獻(xiàn)［15，16］用Melnikov方法對混沌鐵磁諧振進行了理論分析，但由于其得到的條件在實際的電力系統(tǒng)中不可能出現(xiàn)，因此目前還沒有見到成功預(yù)測混沌鐵磁諧振的理論解析解，因此對于混沌形式的鐵磁諧振進行更深入的理論分析是很有必要的。

本文提出了一種新的混沌分析方法:排除分析法。其基本思想是對于系統(tǒng)可能出現(xiàn)的四種解即常數(shù)解(平衡解)、周期解、概周期解和混沌解中，如果排除混沌以外的其他解的存在區(qū)域，就可以得到系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的解析條件。將這一方法應(yīng)用到電力系統(tǒng)鐵磁諧振的分析中，首次得到了判斷電力系統(tǒng)出現(xiàn)混沌形式鐵磁諧振的解析條件，并利用實例進行了驗證。通過與Melnikov方法比較發(fā)現(xiàn)，提出的排除分析法比經(jīng)典的Melnikov方法精確的多，適應(yīng)范圍更加廣泛。提出的排除法可以適用于任何維數(shù)的自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)，是一種新的混沌分析方法。

1 混沌的排除分析法

1.1 排除分析法基本思想

自然界中的任意系統(tǒng)有四種基本運動形式［17，18］，即平衡點(常數(shù)解) 、周期解、概周期、混沌解。這四種運動中，平衡點(常數(shù)解)和周期解是最基本的非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)。除此之外，系統(tǒng)還可能存在概周期解和混沌解。概周期解是一種有界非周期解，但可以用周期解的組合來逼近，因此概周期解也是一種非線性系統(tǒng)的長期規(guī)則運動。混沌解則表現(xiàn)出極其復(fù)雜的漸近性態(tài)，是一個拓?fù)浜軓?fù)雜的點的集合。

如果可以排除系統(tǒng)出現(xiàn)平衡解，周期解和概周期解的存在區(qū)域，唯一的可能就是系統(tǒng)在余下的區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)混沌。

根據(jù)以上的思想，我們提出混沌的排除分析法。

1.2 排除分析法的基本定理

考慮系統(tǒng)

假定系統(tǒng)(1)的解具有唯一性并滿足對初始條件的連續(xù)依賴性。

如果令t=X(n+1)，則式1可以化為自治系統(tǒng)(2)。

X’∈Rn+1=X’為狀態(tài)空間，

首先引入如下的引理

于是我們有如下的基本定理

定理1(排除分析法基本定理1)

如果非自治系統(tǒng)(1)的解存在的空間為SS，在空間S內(nèi)有混沌解。

如果:

①在空間S1系統(tǒng)所有的解都是有界的;

②在空間S2不存在平凡周期解或平凡周期解都是不穩(wěn)定的;

③在空間S3不存在非平凡周期解;

④在空間S4不存在概周期解;

定理2 (排除分析法基本定理2)

對于自治系統(tǒng)(2)，如果解空間為SS，在空間S內(nèi)有混沌解。

如果:

①在空間S1中系統(tǒng)所有解有界;

②在空間S2中不存在平衡點或平衡點都是不穩(wěn)定的;

③在空間S3中不存在非平凡周期解;

④在空間S4中不存在概周期解;

注:①定理1適合于非自治系統(tǒng)，定理2適合于自治系統(tǒng)。

②由于概周期解可以用周期解的組合來無限逼近［19］，因在近似的條件下只要考慮周期解的不存在條件即可。當(dāng)然，對于擬周期解的情況，結(jié)論同樣成立。

③在很多工程背景下，系統(tǒng)的某些解是可以通過觀察排除的。例如在交流電力系統(tǒng)中，除了某些特殊設(shè)計的整流電路外，一般沒有常數(shù)解。

④顯然該方法可以適合于任何維數(shù)的系統(tǒng)，并且可以得到混沌出現(xiàn)的解析條件，比Melnikov方法、諧波平衡法、直接推斷法等更優(yōu)越。

下面以電力系統(tǒng)中的鐵磁諧振說明排除分析法的應(yīng)用。

2 電力系統(tǒng)混沌鐵磁諧振分析

鐵磁諧振過電壓是電力系統(tǒng)中的一種非線性諧振過電壓。發(fā)生這種過電壓時，系統(tǒng)將產(chǎn)生高于額定電壓值的持續(xù)升高電壓，對電網(wǎng)安全運行造成嚴(yán)重危害。因此對這種過電壓進行深入研究是十分必要的。

2.1 電路與數(shù)學(xué)模型

考慮中性點接地系統(tǒng)。其鐵磁諧振等效電路如圖 1 所示［16，20］。

圖1 鐵磁諧振等效電路

取a=3.42，b=10，i與Φ的單位均為1.0 p.u，電路中其余的量均用標(biāo)幺值表示［20］。

歸一化后電路的微分方程可表示如下:

2.2 混沌參數(shù)的求取

采用綜合近似法［21，22］對(4) 進行分析

將式(4)改寫為:

按逐次逼近的方法，將其解設(shè)為如下的形式:

其中A和θ是待定常數(shù)，我們現(xiàn)把該解作為小參量近似解中的零次近似，把解寫為:

把非線性項近似按x0展開為:

根據(jù)諧波平衡原理［21］，有:

由式10、11兩式可得幅頻特性方程為:

式14就是系統(tǒng)的幅頻方程。這是一個關(guān)于ω2的二次方程，通過對式14的討論，可以得到系統(tǒng)發(fā)生混沌的條件。

下面檢驗排除分析法定理1的條件。已經(jīng)知道式5的解是有界的［23］。又由于對于電力系統(tǒng)鐵磁諧振電路，不可能出現(xiàn)常數(shù)解，同時概周期解又可以用周期解組合來逼近，因此按照排除分析法定理1，只需判斷式5周期解不存在的條件，即是電路發(fā)生混沌的必要條件。

對于式14，如果方程的兩根同時為負(fù)，或出現(xiàn)虛根，則ω2沒有物理意義上的周期解.也就是該方程兩根實部同時為負(fù)，或者出現(xiàn)虛根的條件，就是系統(tǒng)發(fā)生混沌的必要條件。

當(dāng)兩根同時為負(fù)時，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可以得到:

將電路參數(shù)代入式15、16，并且注意到如果CS很大時，

有:

在推導(dǎo)中按保守的情況取正負(fù)值。于是，可以得到如下的定理3。

定理3

對于圖1所示的鐵磁諧振電路，其發(fā)生混沌的必要條件是:

注1:由定理3的條件可以看到，電阻R越大，阻尼作用越小，系統(tǒng)越容易出現(xiàn)混沌.這與實驗觀測是吻合的［9］。

注2:CS、Cg越大，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的可能性越大，這與實驗分析吻合［20］。

當(dāng)兩根出現(xiàn)虛根時，有:

將電路參數(shù)代入，可以得到如下的定理4。

定理4

對于圖1所示的鐵磁諧振電路，其發(fā)生混沌的必要條件是:

定理3和定理4是彼此獨立的條件，只要任定理的條件得到滿足，電路都可能出現(xiàn)混沌諧振。

2.3 數(shù)值模擬

下面對系統(tǒng)進行數(shù)值模擬。主要討論CS的變化對出現(xiàn)混沌的影響，方程中的所有量均為標(biāo)幺值［20］。

取:

a=3.42，b=10，Cg=7.92，E=1，ω =1，R=7.54，代入定理3的條件，得到發(fā)生混沌諧振的必要條件是:

將CS＞14.5的不同數(shù)值代入式5進行數(shù)值模擬，可以得到在不同的CS下系統(tǒng)的相圖，同時求取其最大Lyapunov指數(shù)，以驗證是否發(fā)生混沌。為了檢驗結(jié)論的正確性，CS計算范圍取為15～5000，系統(tǒng)均發(fā)生混沌諧振。部分計算結(jié)果分別為圖2、圖3所示。分別對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)為0.0271，0.0243，均大于零，說明系統(tǒng)確實發(fā)生混沌。

定理4在給定的參數(shù)下，沒有正數(shù)解，不再進行數(shù)值模擬。

圖2 CS=15，鐵磁混沌諧振相圖

圖3 CS=55，鐵磁混沌諧振相圖

3 與Melnikov方法的比較

Melnikov方法是少有的經(jīng)典混沌解析方法之一，獲得了廣泛的應(yīng)用［9，15，16］。

對于圖1所示的鐵磁諧振電路，用Melnikov方法得到的混沌諧振條件為［15，16］:

顯然，結(jié)論式19、20中所有的量均為實數(shù)在工程上才有意義，也就是m、n必有一個小于零。由式21組成m、n各參數(shù)的工程意義知道，這在實際的電力系統(tǒng)中是不可能出現(xiàn)的。因此，用Melnikov方法得到的結(jié)論是不可行的。本文的結(jié)論優(yōu)于Melnikov方法的結(jié)果。

4 結(jié)論

本文提出了一種新的混沌分析方法:排除分析法。并且將這一方法成功應(yīng)用到電力系統(tǒng)鐵磁諧振的分析中，得到了判斷電力系統(tǒng)出現(xiàn)混沌形式鐵磁諧振的解析條件，并利用實例進行驗證，表明結(jié)果完全正確。通過與Melnikov方法比較發(fā)現(xiàn)，本文提出的排除分析法比經(jīng)典的Melnikov方法更精確，適應(yīng)范圍更加廣泛。

［1］Wolf A，Swinney B，Vastano J Determining Lyapunov exponents from times series［J］.Physica D，1985，16(3):285－317.

［2］朱志文，王時，是湘壘.基于Hopf分岔的周期激勵Van der Pol.Dufing振蕩器出現(xiàn)混沌的解析預(yù)測［J］.電路與系統(tǒng)學(xué)報，1998，3(1):1－7.

［3］裴留慶，謝劍，L.O.Chua.Investiga－tion on subharmonics and chaos in a nonlinear RL Circuit［J］.電子學(xué)報，1990，18(6):9－19.

［4］李驪.強非線性動力系統(tǒng)定性理論與定量方法［M］.北京:科學(xué)出版社，1996.

［5］Wiggins S.Chaos in the quasi－period－ically forced duffing oscillator［J］.Phys Lett A，1998，124(3):138－142.

［6］ZahawiB.Chaos in ferroresonance winding voltage transformers［J］.IEE Proc－Sci Tech，1998，145(1):l56－l58.

［7］Soudack A.Ferromsonance in power system and chaos behavior［J］.IEE Pro.Sci Tech，1993，140(3):62－64.

［8］徐勇.復(fù)雜配電網(wǎng)絡(luò)鐵磁諧振的物理仿真及數(shù)值分析［J］. 電力情報，1999，10(2):87－90.

［9］聶春燕，張麗英.基于鐵磁共振的混沌現(xiàn)象探討［J］.長春大學(xué)學(xué)報，2000，10(2):43－46.

［10］CRANE.D.R.Large mill power voltages cause by potential transformer ferroresonance［J］.IEEE Trans，1998，52(4):630－642.

［11］B.A.T.Zahawi，Chaos in ferroresonance wound voltages transformer:effect of core losses and universal，circuit behavior［J］.IEE Proc－ Sci，1998，145(1):456－462.

［12］ARAUJ0.AE，A.S0UDACK，A.C and MARTI－ J.R Ferroresonance in power system:chaos behavior［J］.IEE Proc，1993，140(3):235－240.

［13］MOzAFFAR.S.HENSCHEL.S.and SOUDACK.A.C.Chaotic ferroresonance in power transformers［J］.IEE Proc.Gener.Trans.Distrib.，1995，142(3):245－250.

［14］EMIN，Z AL ZAHAW1.B.A.T.and TONGY.K.Ferroresonance in electromagnetic voltage transformers－a study based on nonlinear dynamics［J］.IEE Proc.Gener.Trans.Distrib.1997，144(4):380－390.

［15］邢棉，陳志業(yè).電力系統(tǒng)鐵磁諧振過電壓的渾沌振蕩研究［J］.華北電力學(xué)院學(xué)報，1993，(11):37－43.

［16］劉凡，孫才新，司馬文霞，等.鐵磁諧振過電壓混沌振蕩的理論研究［J］.電工技術(shù)學(xué)報，2006，21(17):103－107.

［17］高金峰.非線性電路與混沌［M］.北京:科學(xué)出版社，2005.

［18］楊長俊.周期系統(tǒng)中的概周期的數(shù)值計算［J］.上海力學(xué)，1992，13(13):32－38.

［19］裴留慶.擬周期運動的逼近理論及其在電子學(xué)系統(tǒng)中的實現(xiàn)［J］.電子學(xué)報，1991，19(2):95－103.

［20］劉東暉.高壓斷路器均壓電容對電力系統(tǒng)動力學(xué)行為影響的研究［J］.陜西電力，2006，34(1):30－33.

［21］陳樹輝.強非線性震動的定量分析方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.

［22］孔原子.非線性鐵磁諧振電路分析［J］.邵陽高等?？茖W(xué)校學(xué)報，1999，12(1):35－38.

［23］胡春林，李坤，胡勝剛.一類非線性振動系統(tǒng)混沌運動的數(shù)值分析［J］.國外建材科技，1999，26(1):35－57.