羅 慧 王友仁 崔 江

（南京航空航天大學自動化學院 南京 210016）

1 序言

模擬電路中由于元器件容差和非線性等問題，電路的早期故障診斷是難點。如何提取故障的有效特征是模擬電路故障診斷的關(guān)鍵技術(shù)[1-2]，目前信號特征提取的方法有兩大類：一類對信號直接降維提取主要成分如PCA等；另一類做時頻變換，得到原始信息的新表達如Fourier、小波變換等。

Hilbert變換(Hilbert Transform，HT)通過構(gòu)造原信號的解析信號，提取信號的細部特征，在信號處理中得到了廣泛應(yīng)用[3]，常用在故障診斷中，但在模擬電路故障診斷中精度不高。1996年Lohmann[4]提出HT的推廣形式——分數(shù)階 Hilbert變換（Fractional HT，F(xiàn)HT），將信號從傳統(tǒng)的傅里葉平面變換到分數(shù)階傅里葉平面。1998年P(guān)ei等人利用特征分解方法[5]提出一種離散的分數(shù)階Hilbert變換算法[6]，應(yīng)用在數(shù)字圖像邊緣檢測中，近幾年FHT成功地應(yīng)用在圖像處理、安全通信系統(tǒng)等領(lǐng)域[7-9]，F(xiàn)HT的研究仍然不多，有些理論還需要進一步的探究。

模擬電路中正常樣本與早期故障樣本即單軟故障之間采樣特征往往很難區(qū)分，造成故障的高漏診率，如果先能診斷出正常樣本，則會降低漏診率，提高診斷效果。對于這類難以區(qū)分的故障樣本，采用同一種信號處理方法，信號在特征空間的特征仍然難以區(qū)分，本文利用不同分數(shù)階p值能靈活改變故障特征以及解析信號能提取信號的細部特征，提出一種基于分數(shù)階 Hilbert變換的模擬電路分層故障提取新方法。利用Fisher準則和遺傳算法分別找出正常樣本與其他故障樣本區(qū)分性最大的最優(yōu)分數(shù)階 p1值以及故障樣本之間區(qū)分性最大的最優(yōu)分數(shù)階 p2值，分兩層用分數(shù)階 Hilbert變換提取特征，先用二類分類診斷出正常樣本，然后用多類分類定位每類故障樣本。實驗表明該方法有效地降低了漏診率和誤診率，提高了診斷性能。

2 分數(shù)階Hilbert變換

2.1 Hilbert變換原理及離散實現(xiàn)

設(shè)信號ci(t)的Hilbert變換定義

利用轉(zhuǎn)移函數(shù)和離散傅里葉變換計算離散Hilbert變換。離散Hilbert變換的轉(zhuǎn)移函數(shù)

離散Hilbert變換實現(xiàn)步驟如下，其中?()x k是信號x(k)的離散Hilbert變換：

（1）計算信號 x(k)的離散傅里葉變換，X(n)=DFT[x(k)]。

（2）X(n)乘上M1，M1的定義如下：如果N是偶數(shù)，其中j和-j的個數(shù)為(N/2)-1個：M1=[0, j, …,j, 0, -j, …, -j]；如果N是奇數(shù)，其中j和-j的個數(shù)為(N-1)/2 個：M1=[0, j, …, j, -j, …, -j]。

（3）計算離散傅里葉變換的反變換得到x?( k)，x?( k )= IDFT[X( n)M1(n)]。

2.2 分數(shù)階Hilbert變換原理及離散實現(xiàn)

分數(shù)階傅里葉變換（Fractional Fourier Transform，F(xiàn)RFT）是信號在時頻平面內(nèi)坐標軸繞原點逆時針的任意角度后的旋轉(zhuǎn)，其變換核函數(shù)是

式中，α=pπ

/2，p為分數(shù)階次，p階的分數(shù)階傅里葉域是在（t, ω）平面上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α 的角度產(chǎn)生的坐標空間。p值的取值一般取 0～1，當 p=0時，F(xiàn)RFT是原信號；當 p=1時等于經(jīng)典傅里葉變換。隨著p從0變到1，分數(shù)階變換平滑地從原函數(shù)變化到普通傅里葉變換。

分數(shù)階Hilbert變換表達式如下：

式中，Q是分數(shù)階次，Q=pπ/2，當Q=1時，分數(shù)階Hilbert變換變?yōu)榻?jīng)典Hilbert變換。

下面介紹分數(shù)階Hilbert變換的離散算法，如下所示 ?()x k是信號 x(k)的離散分數(shù)階 Hilbert變換（Discrete FHT，DFHT）：

（1）計算信號 x(k)的 Q階離散分數(shù)階傅里葉變換，XQ(n)=DFRFTQ[x(k)]。

（2）XQ乘以 MP，其中 MP的定義如下；如果N 是偶數(shù)，其中 ejα和 e-jα的個數(shù)是(N/2)-1：=[cosα,ejα,...,ejα, c osα, e-jα,...,e-jα]；如果N是奇數(shù)，其 中 ejα和 e-jα的 個 數(shù) 是 (N-1)/2： MP=[cosα,ejα,...,ejα,e-jα,...,e-ja]。其中α=pπ/2。

（3）計算 Q 階的 DFRFT的反變換，x?( k)=DFRFT-Q[ XQ( n)MP(n)]

2.3 分數(shù)階Hilbert的解析信號分析

對實信號做分數(shù)階Hilbert變換，然后以此為虛部加到原信號上，構(gòu)成原信號的解析信號。信號ci(t)經(jīng)過分數(shù)階Hilbert變換的解析信號為

幅值函數(shù)

相位函數(shù)

瞬時頻率

3 特征提取和診斷過程

本文計算分數(shù)階 Hilbert變換后解析信號的幅值、相位和瞬時頻率的shannon熵值作為故障特征，得到一個三維的特征向量，特征提取過程如圖1所示。

圖1 特征提取過程Fig.1 The feature extraction process

如圖2所示，基于分數(shù)階Hilbert變換的模擬電路雙層故障特征提取的診斷過程如下：

（1）根據(jù)Fisher準則采用遺傳算法，適應(yīng)度函數(shù)為max（Sb/Sw），Sb為類間距離，Sw為類內(nèi)距離，得到正常類與其他故障之間區(qū)分性最大的最優(yōu)分數(shù)階 p1值，做 FHT提取特征，特征提取過程如圖 1所示。

（2）用二類SVM分類診斷出正常樣本。

（3）對故障樣本和遺留的正常樣本采用相同的方法得到不同故障樣本之間區(qū)分性最大的最優(yōu)分數(shù)階p2值，做FHT提取特征。

（4）用多類 SVM 分類診斷出不同的故障樣本，進行故障定位。

圖2 故障診斷過程Fig.2 The fault diagnose process

4 應(yīng)用實例及實驗結(jié)果分析

4.1 模擬電路及故障模型

采用文獻[10]中的四運放高通濾波器電路作為診斷電路，如圖3所示。電路中電容容差為10%，電阻容差為5%，元器件正常參數(shù)見表1，輸入節(jié)點ui的激勵信號是幅值5V、寬度10μs的窄脈沖。Pspice仿真采樣輸出測點 uo的電壓值，50次蒙特卡洛分析，故障設(shè)置見表2。

圖3 四運放高通濾波器Fig.3 A four op-amp biquad high-pass filter

表1 電路各元件的正常值Tab.1 The normal values of circuit components

表2 電路的故障模型設(shè)置Tab.2 The design of circuit fault models

4.2 實驗結(jié)果分析

4.2.1 實驗過程設(shè)計

本文的方法 FHT與小波包變換（Wave Packet Transform，WPT）、Hilbert變換（HT）作對比。實驗設(shè)計過程如下：

（1）采用 SVM 作為分類工具，選擇徑向基(RBF)為核函數(shù)，錯分樣本懲罰參數(shù)gam=20，徑向基核函數(shù)參數(shù)sig=10，SVM多類分類采用“一對多”分類算法。

（2）WPT采用4層db4小波包分解，計算各個小波包的信息熵值作為特征值，特征維數(shù)是16。

（3）HT和FHT方法提取故障特征，特征向量表示為[幅值_信息熵相位_信息熵瞬時頻率_信息熵]，特征維數(shù)是3。

（4）采用遺傳算法選擇最優(yōu)的分數(shù)階p值，設(shè)置初始種群個數(shù) 10，染色體長度 20，初始代溝值0.9，最大遺傳代數(shù) 20，適應(yīng)度判據(jù)用最大 Fisher準則，適應(yīng)度函數(shù)為max（Sb/Sw）。

4.2.2 故障特征提取分析

Hilbert變換通過構(gòu)造原信號的解析信號，提取信號的細部特征，適用于故障特征提取，模擬電路中由于容差的存在，有些早期故障與正常樣本之間采樣的故障信息區(qū)分性很小，是診斷的難點，圖 4所示是正常樣本與單軟故障 R2↓的 uo測點電壓的50次蒙特卡羅采樣的電壓值，兩者的采樣波形差別很小，很難區(qū)分。

圖4 正常和R2↓采樣電壓波形Fig.4 The normal and R2↓sample’s voltage wave

圖5是一個正常樣本的 Hilbert變換和分數(shù)階Hilbert變換，實線代表實部，虛線代表虛部。由圖可知p1=0.7和p2＝0.2的分數(shù)階Hilbert變換后的信號幅頻特性明顯不同，傳統(tǒng)的Hilbert變換后得到的信號幅頻特性固定。由傳統(tǒng)的Hilbert變換后的幅頻特性得到的故障特征不一定有利于區(qū)分故障，而分數(shù)階Hilbert變換根據(jù)分數(shù)階p值的靈活性，選擇合適的p值，可以提取出有利于區(qū)分的故障特征，提高診斷率。另外由圖4可知，由于模擬電路中容差的存在，有些采樣的故障信息很相似，如果診斷過程中僅采用一種特征提取方法，提取后的特征仍然難以區(qū)分，分數(shù)階Hilbert變換根據(jù)p值的靈活性，可以實現(xiàn)故障特征的分層提取。

圖5 正常樣本的HT和FHT變換Fig.5 The HT and FHT of the normal data

4.2.3 故障診斷結(jié)果分析

表3是WPT和HT方法的故障診斷結(jié)果，其中類似“155/13”的數(shù)據(jù)表示單軟故障中有 155例診斷正確，13例診斷成錯誤的單軟故障。由表3可知，HT方法的診斷結(jié)果不如WPT方法，主要原因是單軟故障與正常類之間漏診率太高，HT方法有25個單軟故障漏診為正常類，WPT方法只有7個。

表3 WPT和HT的故障診斷結(jié)果Tab.3 The fault diagnose results of WPT and HT

由以表3可知，如果能有效地解決正常故障與單軟故障之間的漏診率，診斷的總體性能就會提高，因此，本文提出基于分數(shù)階Hilbert變換的模擬電路雙層故障特征提取方法用于故障診斷。利用分數(shù)階p值的靈活性，提取不同的最優(yōu)故障特征，先診斷出正常樣本，然后再用多類分類對不同故障進行定位。診斷結(jié)果見表4。

表4中，計算得到正常樣本與其他故障樣本之間區(qū)分性最大的最優(yōu)分數(shù)階p1=0.85，不同故障樣本之間區(qū)分性最大的最優(yōu)分數(shù)階p2=0.7476，雖然二類誤診的9例正常樣本影響診斷結(jié)果，但是診斷出部分正常樣本后的多類分類中故障樣本的漏診率降低為 0，明顯提高了整體的診斷精度。另外，通過最優(yōu)分數(shù)階空間的映射，加大了特征數(shù)據(jù)之間的可區(qū)分性，有利于提高不同故障之間的定位。

表4 新方法的診斷準確率Tab.4 The diagnosis accuracy results of the new method

由表5可知，對比WPT、HT方法，通過先診斷出正常樣本，新方法有效降低了漏診率，通過求最優(yōu)分數(shù)階p值，獲得故障類之間區(qū)分性最優(yōu)的特征數(shù)據(jù)，新方法有效降低了誤診率。因此，本文提出的新方法有效提高了診斷性能。

表5 新方法的診斷結(jié)果Tab.5 The diagnosis results of the new method

5 結(jié)論

針對模擬電路早期故障診斷的不足，本文提出基于分數(shù)階 Hilbert變換的模擬電路雙層故障提取新方法。該方法通過分層的故障特征提取，每次提取出有利于分類的最優(yōu)故障特征，提高診斷的準確率，另外通過先診斷出正常樣本，該方法有效降低了漏診率，并提高了電路早期故障定位的準確率。

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