楊 軍

（西南交通大學(xué)電氣學(xué)院，成都 610031）

1 引言

三相交流異步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)高階、非線性、強(qiáng)耦合的多變量系統(tǒng)，不能像直流電動(dòng)機(jī)那樣對(duì)轉(zhuǎn)速和磁鏈進(jìn)行高性能控制。通過對(duì)電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型的坐標(biāo)變換可以實(shí)現(xiàn)其解耦。本文利用Matlab/Simulink中的 S-Function函數(shù)對(duì)任意坐標(biāo)系下的異步交流電動(dòng)機(jī)進(jìn)行建模，并給出仿真結(jié)果。

2 異步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型[1]

在建立交流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，為便于分析，常常假設(shè)電動(dòng)機(jī)為“理想電動(dòng)機(jī)”。理想電動(dòng)機(jī)的基本假設(shè)如下[2]：

（1）忽略空間諧波。

（2）忽略定、轉(zhuǎn)子鐵心的磁飽和。

（3）忽略鐵損。

（4）忽略頻率和溫度對(duì)于電阻的影響。

規(guī)定各繞組電壓、電流、磁鏈的正方向符合電動(dòng)機(jī)慣例和右手螺旋定則，則有：

（1）電壓方程

（2）磁鏈方程

（3）電磁轉(zhuǎn)矩

（4）運(yùn)動(dòng)方程

式中，下標(biāo)d、q分別表示d軸和q軸分量；下標(biāo)s、r表示定轉(zhuǎn)子；ω是轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)電角速度；ω1是參考坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)速度；Te、TL分別為電磁轉(zhuǎn)矩、負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Ls、Lr、Lm分別為定子電感、轉(zhuǎn)子電感和定轉(zhuǎn)子互感；P為電動(dòng)機(jī)極對(duì)數(shù)；J為電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

當(dāng)ω1=0時(shí)，此為αβ靜止坐標(biāo)系；當(dāng)ω1=ω時(shí)，此為轉(zhuǎn)子速 dq坐標(biāo)系；ω1=2πf1時(shí)，此為同步速坐標(biāo)系。由此可見，此模型與單獨(dú)的 αβ坐標(biāo)系、dq坐標(biāo)系、同步坐標(biāo)系電動(dòng)機(jī)模型相比有很大的優(yōu)勢，既可以避免重復(fù)建模，還可以觀察不同參考坐標(biāo)系下各個(gè)物理量的不同形式。

3 電動(dòng)機(jī)建模

電動(dòng)機(jī)模型求解一般有三種方法：①基于數(shù)值計(jì)算方法求解微分方程。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，狀態(tài)方程計(jì)算以及某些環(huán)節(jié)中的求導(dǎo)運(yùn)算都會(huì)引來誤差，甚至數(shù)值不穩(wěn)定；②基于Matlab/Simulink基本元件搭建電動(dòng)機(jī)仿真模型。此方法方便和快捷性，但繁雜，易出錯(cuò)；③基于Simulink中的s函數(shù)（System Function）建模，可以使問題求解更方便快捷，仿真精度也高。我們以籠型異步電動(dòng)機(jī)為例，介紹 s函數(shù)在電動(dòng)機(jī)仿真中的應(yīng)用。

（1）電動(dòng)機(jī)的狀態(tài)方程[2]

取狀態(tài)變量：isd、isq、ird、irq、ω、θ；輸入變量：usa、usb、usc、ω1；則電動(dòng)機(jī)的狀態(tài)方程可寫為

（2）電動(dòng)機(jī)模型的s函數(shù)描述[3]

根據(jù)上面的狀態(tài)方程，我們就可以編寫電動(dòng)機(jī)的s函數(shù)ac_motor.m。用s函數(shù)建模關(guān)鍵要清楚選擇的狀態(tài)變量和輸入量，要理清它們之間的關(guān)系；s函數(shù)的電動(dòng)機(jī)模型簡單明了，不易出錯(cuò)。在此僅給出連續(xù)狀態(tài)計(jì)算階段的代碼：

（3）電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)模型

電動(dòng)機(jī)仿真系統(tǒng)的模型如圖1所示。雙擊其中的S-Function模塊，在對(duì)話框中的S-function name欄目內(nèi)填寫 ac_motor，就可以建立起該模塊和ac_motor.m文件之間的聯(lián)系。

圖1 電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)模型

4 仿真實(shí)驗(yàn)

使用上述模型，對(duì)籠型異步電動(dòng)機(jī)進(jìn)行仿真。電動(dòng)機(jī)參數(shù)：Pn=37kW，Un=380V，fn=50Hz，nn=1480r/min，Tn=238.7N/m，Rs=0.08233Ω，Rr=0.0503Ω，Ls=0.041389H，Lr=0.041389H，Lm=0.040665H，J=0.37N/m2，P=2。

設(shè)定仿真時(shí)長為3s。仿真算法為ode(45)變步長算法，最大步長1e-4。0s-1s時(shí)ω1=0，1s-2s時(shí)ω1=ω，2s-3s時(shí)ω1=2πf1。由此來觀察參考坐標(biāo)系變化了之后電動(dòng)機(jī)電氣量和機(jī)械量的改變。電動(dòng)機(jī)帶額定負(fù)載起動(dòng)。

由圖 1、圖 2可以看出，電動(dòng)機(jī)的起動(dòng)時(shí)間大約是0.6s左右，電動(dòng)機(jī)起動(dòng)完成后就保持穩(wěn)定運(yùn)行，和參考坐標(biāo)系的變化沒有關(guān)系。其中實(shí)際轉(zhuǎn)速1486r/min比額定轉(zhuǎn)速1480r/min稍高是因?yàn)槟Ｐ秃雎粤髓F損和機(jī)械損耗等因素的影響。

圖2 電磁轉(zhuǎn)矩波形

圖3 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速波形

圖4 定子d軸電壓波形

圖5 定子d軸電流波形

圖6 轉(zhuǎn)子d軸電流波形

由圖3、圖4和圖5可以看出：

（1）ω1=0，在靜止坐標(biāo)系下電壓和電流變量仍是交變的。由于電感矩陣的時(shí)變因素得以消除，故仿真速度較快。

（2）ω1=ω，參照系的旋轉(zhuǎn)速度是通過實(shí)時(shí)檢測電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速 ω獲得的。在dq坐標(biāo)系下，電壓和電流變量雖任然是交變的，但波動(dòng)的頻率比靜止坐標(biāo)系小。

（3）ω1=2πf1，在同步坐標(biāo)系下，電壓和電流變量完全變成了直流分量。

這表明不同坐標(biāo)系下對(duì)電動(dòng)機(jī)特性進(jìn)行分析時(shí)，只對(duì)分析過程的繁簡和電量的表達(dá)形式有影響，不影響電動(dòng)機(jī)的機(jī)械分量。

5 結(jié)論

本文從異步電動(dòng)機(jī)任意坐標(biāo)系模型出發(fā)，用Matlab/Simulink 環(huán)境下s函數(shù)構(gòu)造了異步電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，以實(shí)際電動(dòng)機(jī)為例，對(duì)其進(jìn)行了仿真研究，驗(yàn)證了該仿真模型的正確性。該模型結(jié)構(gòu)簡單，易仿真，精度高，對(duì)于理解不同參考系下的電動(dòng)機(jī)電量變化有積極的參考價(jià)值，可以在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中應(yīng)用。

[1]賀昱曜.運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)[M].西安:西安電子科技大學(xué),2009.

[2]湯蘊(yùn)璆.交流電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)分析[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2005.

[3]薛定宇,陳陽泉.基于 Matlab/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2002.