吳朝陽

ARMA(autoregressive integrated moving average)模型作為使用最廣泛的時間序列模型，一直以來被許多學(xué)者用于股票價格序列的研究中［1-4］.其本質(zhì)是利用平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計相關(guān)性來進(jìn)行未來價格的預(yù)測.灰色GM(1，1)模型是基于灰色理論的時間序列預(yù)測方法，近年來也被廣泛地用于股票價格的時間序列預(yù)測中［5］.GM(1，1)模型的核心思想是用指數(shù)方程來捕捉隱藏在時間序列中的能量聚集，而這種聚集可以通過累加操作顯現(xiàn)出來，從而可以用指數(shù)方程來進(jìn)行擬合.可以看出這2種辦法對于股價的預(yù)測都有各自的側(cè)重.由于股價序列的復(fù)雜和多樣性，以上2個模型中的任意一個都不能完全地描述股價運(yùn)動，因此一個常規(guī)的想法就是結(jié)合這2種預(yù)測模型建立組合模型.其思想是用GM(1，1)模型來捕捉股價運(yùn)動的趨勢，而用ARMA模型通過挖掘殘差序列的相關(guān)性來進(jìn)行股價的預(yù)測.

實(shí)際上，這種基于灰色GM(1，1)模型和ARMA模型的組合模型已經(jīng)被廣泛地用于時間序列的預(yù)測中，并被稱呼為GM-ARMA模型(grey model-autoregressive integrated moving average model)［6］.但是由于組合模型中GM(1，1)模型不是最優(yōu)的，并且沒有考慮最優(yōu)的結(jié)合點(diǎn)，因此傳統(tǒng)的GM-ARMA模型不是最優(yōu)的.本文將針對這2點(diǎn)不足提出了RGM-ARMA模型并用于股指的預(yù)測.

1 通用的GM-ARMA模型

對于給定的時間序列 X=(x1，x2，…，xn)，首先用經(jīng)典的GM(1，1)模型求出其灰色預(yù)測序列和點(diǎn) n+1 的灰色預(yù)測值，然后針對灰色殘差序列建立ARMA模型，并用該模型求出灰色殘差序列Y在點(diǎn)n+1的預(yù)測值GM-ARMA模型可以被表示為

可以看出GM-ARMA模型存在2點(diǎn)不足:1)由于GM(1，1)模型不是最優(yōu)的，導(dǎo)致了GM-ARMA模型也可能不是最優(yōu)的;2)在用GM(1，1)模型進(jìn)行建模的過程中，并不考慮對ARMA模型的影響，反之亦然，因此也就不存在最優(yōu)結(jié)合點(diǎn)，這也導(dǎo)致了GMARMA模型不是最優(yōu)的.針對以上情況，本文在先優(yōu)化GM(1，1)模型的基礎(chǔ)上，找到灰色模型和ARMA模型的最佳結(jié)合點(diǎn)，最后找到最優(yōu)的GM-ARMA模型.

2 優(yōu)化的GM(1，1)模型

當(dāng)前，對GM(1，1)模型的優(yōu)化主要集中在2個方面.

一個方面是通過選擇合適的建模所用的數(shù)據(jù)維度來優(yōu)化GM(1，1)模型.在經(jīng)典的GM(1，1)預(yù)測中，灰色建模主要是基于少量的數(shù)據(jù)，因此一般都是直接選擇所有的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模.但是對于一些可以得到大量數(shù)據(jù)的時間序列來說，選擇合適的數(shù)據(jù)維度來建立GM(1，1)模型就變得很重要了.郝永紅等在用GM(1，1)模型預(yù)測人口的時候指出，不同的數(shù)據(jù)維度將導(dǎo)致預(yù)測誤差差別較大，他們分別用5～8維4種數(shù)據(jù)維度對人口進(jìn)行了灰色預(yù)測，發(fā)現(xiàn)用6維數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測時，預(yù)測誤差最低［7］.李國平等［8］也對這種問題進(jìn)行了研究，他們指出:“在對股票價格進(jìn)行灰色預(yù)測時，數(shù)據(jù)量不同，預(yù)測結(jié)果將有所不同，有時甚至差別很大”.為此他們提出了用黃金分割法來尋找合適的建模所需的數(shù)據(jù)量.

另一類優(yōu)化集中在對白化背景值z(1)(k)的優(yōu)化上.在經(jīng)典的灰色模型的教科書［9-10］中，對于累加變量x(1)(k)的白化背景值z(1)(k)的定義是

很多學(xué)者認(rèn)為常數(shù)0.5將導(dǎo)致預(yù)測值不是最優(yōu)的.為了解決這個問題，他們引進(jìn)了1個參數(shù)來替代常數(shù)0.5.不同學(xué)者采用不同希臘字母代替常數(shù)0.5，這里統(tǒng)一用希臘字母μ來表示這個參數(shù)，因此白化背景值z(1)(k)新的定義為

這種改進(jìn)的GM(1，1)模型通常稱為GM(1，1，μ)模型.因?yàn)榘l(fā)展系數(shù)a和控制變量b是被白化背景值z(1)(k)所控制的，而z(1)(k)又是被參數(shù)μ所控制的，因此，優(yōu)化GM(1，1)的過程就是優(yōu)化參數(shù)μ的過程.為了找到最優(yōu)的μ，許多學(xué)者提出了各種各樣的算法，其中有劉虹等的微粒群算法［11］，謝開貴等的遺傳算法［12］，陳舉化等的最優(yōu)擬合點(diǎn)群逼近原始點(diǎn)群的算法［13］.

通過上面的研究可以看出數(shù)據(jù)維度和影響白化背景值z(1)(k)的參數(shù)μ確實(shí)對預(yù)測精度有影響.同時也看到上面的研究主要集中在分開對這2種影響因素進(jìn)行研究，而沒有同時考慮這2個因素對預(yù)測精度的影響.針對以上情況，本文嘗試提出改進(jìn)的灰色模型以便同時考慮這2個因素對預(yù)測精度的影響.為了方便和統(tǒng)一起見，這里稱呼影響白化背景值z(1)(k)的參數(shù)為灰色變量，并用希臘字母μ來表示，對數(shù)據(jù)維度用希臘字母v來表示，并將這種改進(jìn)的 GM(1，1)模型命名為 GM(1，1，μ，v)模型.

由于本文的研究重點(diǎn)是對股票價格的灰色預(yù)測，因此參數(shù)μ和v的優(yōu)化原則也將基于一定的金融背景.在金融股票市場中，人們通常用點(diǎn)數(shù)的得失來評價他們的投資策略在過去一段時間的表現(xiàn)，這種度量在統(tǒng)計上，可以用總絕對值誤差σTAE(total absolute error)來度量.σTAE越小，說明投資誤差在過去的一段時間越小.因此這里認(rèn)為最優(yōu)的參數(shù)μ和v就是其σTAE最小的參數(shù).基于最小σTAE來選擇最優(yōu)參數(shù)組合(u，v)的準(zhǔn)則稱為TAE準(zhǔn)則.對于不同的應(yīng)用，建立GM(1，1，μ，v)模型可以用不同的準(zhǔn)則，但是原理上都是基本一樣的.

用TAE準(zhǔn)則建立 GM(1，1，μ，v)模型的思路概括來說就是首先對參數(shù)μ和v設(shè)立上下限:μ∈(l，L)，v∈(r，R)并離散化以便構(gòu)造1個有界的離散參數(shù)空間.對于給定的時間序列X=(x1，x2，…，xn)和1 個離散參數(shù)組合(μ，v)，μ∈(l，L)，v∈(r，R)都可以構(gòu)造GM(1，1，μ，v)模型并得到序列X的灰色預(yù)測序列.因此也就可以得到式中:xj表示真實(shí)值表示灰色預(yù)測值.對每一個參數(shù)組合(μ，v)，都可以用以上方法就算出σTAE.參數(shù)組合(μ，v)滿足:

就是最優(yōu)的參數(shù)，相應(yīng)的GM(1，1，μ，v)模型就是基于TAE準(zhǔn)則的最優(yōu)的灰色模型.

3 RGM-ARMA模型

建立了優(yōu)化的灰色模型 GM(1，1，μ，v)后，就可以通過找到灰色模型和ARMA模型的最佳結(jié)合點(diǎn)來整合這 2個模型了.整合 GM(1，1，μ，v)和ARMA(p，q)的過程就是找到最佳組合(μ，v，p，q)的過程，其基本的前提條件就是參數(shù)(μ，v)和(p，q)的選擇必須基于相同的統(tǒng)計準(zhǔn)則.

在 ARMA(p，q)中，經(jīng)典的選擇參數(shù)(p，q)的準(zhǔn)則是BIC(Bayesinformationcriterion)和AIC(Akaike’s information criteria)準(zhǔn)則;但是由于 BIC和AIC不能用于(μ，v)的選擇，那么惟一可能的就是看(p，q)是否可以用TAE準(zhǔn)則進(jìn)行選擇.為了驗(yàn)證TAE準(zhǔn)則是否可以用來建立ARMA(p，q)，首先要針對ARMA(p，q)模型定義TAE準(zhǔn)則.參考BIC和AIC的定義，定義TAE準(zhǔn)則如下.

對AR(autoregressive model)模型和MA(moving average model)模型的級數(shù)設(shè)定上界P和Q，針對每個參數(shù)組合(p，q)，0≤p≤P，0≤q≤Q 建立ARMA(p，q)模型，并基于相同的歷史數(shù)據(jù)計算σTAE，最佳的模型滿足:

相應(yīng)的參數(shù)(p，q)也就是最優(yōu)的參數(shù).為了比較BIC、AIC和TAE準(zhǔn)則在預(yù)測誤差上的不同，用相同的數(shù)據(jù)基于以上3個準(zhǔn)則計算了平均絕對值誤差σMAPE(mean absolute percent error).這里的數(shù)據(jù)來源于YAHOO金融板塊，數(shù)據(jù)為TXS加拿大綜合指數(shù)日線數(shù)據(jù)，總數(shù)是2008年6月30日—2009年2月6日的一共152個數(shù)據(jù)，其中2008年6月30日—2008年12月31日的半年的126個數(shù)據(jù)用于建模，2009年1月2日—2009年2月6日的26個數(shù)據(jù)用于模型的評測，因此σMAPE的計算為

結(jié)果見表1.

表1 不同準(zhǔn)則下的σMAPE的比較Table 1 Comparison between different criterions

從表1可以看出，基于3種不同標(biāo)準(zhǔn)的預(yù)測誤差并不大，實(shí)際上，基于TAE準(zhǔn)則的預(yù)測誤差甚至小于基于BIC準(zhǔn)則的預(yù)測誤差，這經(jīng)驗(yàn)地證明了TAE準(zhǔn)則可以用來對參數(shù)(p，q)進(jìn)行選擇.

由于 GM(1，1，μ，v)中 的 參 數(shù) (μ，v)和ARMA(p，q)中的參數(shù)(p，q)都可以用TAE準(zhǔn)則來選擇，這就為整合2個模型并找到最優(yōu)的組合(μ，v，p，q)提供了基礎(chǔ).具體來說，構(gòu)造RGM-ARMA模型的思想為:

首先對參數(shù)(μ，v，p，q)設(shè)定上下限，并對連續(xù)參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的離散化處理，以便形成離散參數(shù)空間:μ∈(l，L)，v∈(r，R)，p≤P，q≤Q.對于給定的歷史時間序列X=(x1，x2，…，xn)和給定的位于離散參數(shù)空間的參數(shù)組合(μ，v，p，q)，通過式(1)可以建立相應(yīng)的GM-ARMA模型，并可以用該模型計算出擬合序列，因此也就可以計算出σTAE為

最優(yōu)的GM-ARMA模型滿足:

4 實(shí)例研究

為了說明RGM-ARMA模型的建模過程，這里用與上例相同數(shù)據(jù)來建模，其中開始的126個數(shù)據(jù)用于模型的建模，后面的26個數(shù)據(jù)用于模型的檢驗(yàn).

首先需要對參數(shù)(μ，v，p，q)建立合適的上下界，其原則是盡量包含最優(yōu)的解，同時又讓計算量不要太大，經(jīng)過研究比較，這里對參數(shù)(μ，v，p，q)定義的上下界為

其次需要對惟一的連續(xù)參數(shù)μ進(jìn)行離散化處理，這里用的離散間距為0.1以減少計算量.這樣就總共有了880 個(μ，v，p，q)的參數(shù)組合，針對每個組合可以基于歷史數(shù)據(jù)計算出相應(yīng)的σTAE，最小σTAE所對應(yīng)參數(shù)組合(μ，v，p，q)和相應(yīng)的 GM-ARMA 模型就是最優(yōu)的模型.

對于本例的歷史數(shù)據(jù)X=(x1，x2，…，x126)和某一個參數(shù)組合(μ，v，p，q)=(0.6，7，1，0)，其具體的σTAE計算過程如下:

由于(μ，v)=(0.6，7)，因此用相應(yīng)的GM(1，1，0.6，7)模型來得到時間序列X的灰色預(yù)測時間序列這里 GM(1，1，0.6，7)的意思是用固定的7個灰色數(shù)據(jù)量和0.6的灰色參數(shù)建立的GM(1，1)模型.其中開始的7個灰色預(yù)測數(shù)據(jù)等于原始的 7 個數(shù)據(jù)(x1，x2，…，x7)，第8個灰色預(yù)測數(shù)據(jù)^z8是7個原始數(shù)據(jù)(x1，x2，…，x7)建立的GM(1，1，0.6，7)模型預(yù)測出來的，第9個灰色預(yù)測數(shù)據(jù)^z9是7個原始數(shù)據(jù)(x2，x3，……x8)建立的GM(1，1，0.6，7)模型預(yù)測得來的，以此類推，第126個灰色預(yù)測數(shù)據(jù)^z126是7個原始數(shù)據(jù)(x119，x120，…，x125)建立的 GM(1，1，0.6，7)模型預(yù)測得來的.由此，可以得到全部126個灰色預(yù)測序列 Z^和灰色殘差序列 Y=X －=(y1，y2，…，y126).由于(p，q)=(1，0)，因此對灰色殘差序列 Y建立ARMA(1，0)模型并可得到相應(yīng)的Y的ARMA模型的預(yù)測擬合值，這里是空值.由于灰色模型和 ARMA 模型都要用以前數(shù)據(jù)遞推的緣故，是y8通過建立的ARMA(1，0)計算得到，以此類推是 y125通過建立的ARMA(1，0)計算得到.這樣序列X基于參數(shù)組(μ，v，p，q)=(0.6，7，1，0)的 GM-ARMA 模型的擬合的就為

總絕對值誤差σTAE就為

以上算法可以用Matlab編程實(shí)現(xiàn)，本節(jié)的例子中，當(dāng)(μ，v，p，q)=(0.4，6，3，1)的時候，基于歷史數(shù)據(jù) X 計算出來的 σTAE最小，因此用(u，v，p，q)=(0.4，6，3，1)建立的 GM-ARMA 模型就是基于 TAE準(zhǔn)則的最優(yōu)GM-ARMA模型.其意思是要用6個數(shù)據(jù)段和采取灰色參數(shù)0.6建立GM(1，1)來進(jìn)行灰色預(yù)測，并對灰色殘差建立ARMA(3，1)模型來進(jìn)行預(yù)測.效仿前面的(μ，v，p，q)=(0.6，7，1，0)的例子，用(μ，v，p，q)建立 GM-ARMA 模型，可以得到第127個點(diǎn)的灰色預(yù)測值和灰色預(yù)測殘差的預(yù)測值，并由此得到序列X在127個點(diǎn)的預(yù)測值為

因此，根據(jù)RGM-ARMA模型，對TSX指數(shù)第127個點(diǎn)的預(yù)測值，也就是時間2009年1月2日的日線收盤價的預(yù)測值為8 953.2.對于第128個數(shù)據(jù)，將用開始的127個數(shù)據(jù)建立改進(jìn)的GM-ARMA模型來預(yù)測，以此類推，可以得到從2009年1月2日—2009年2月6日的全部26個預(yù)測數(shù)據(jù).并計算出σMAPE為

由于股市判斷方向也重要，這里也計算出了方向錯誤率σDIR(directional errors)為

這里，

因?yàn)镚M-ARMA模型并沒有給出選擇GM(1，1)模型的準(zhǔn)則，這說明任何灰色維度超過3就可以用，因此這里選擇了幾個不同的灰色維度來建立GM(1，1)模型，而對殘差用常用的BIC準(zhǔn)則來構(gòu)建不同的GM-ARMA模型.用相同數(shù)據(jù)計算這些模型的誤差率，表2列出了各個模型的比較.

表2 不同模型的比較Table 2 Comparisons between models

由表2可以看出，RGM-ARMA模型的3種預(yù)測誤差都小于ARIMA模型和GM-ARMA模型的各種組合，這也說明了RGM-ARMA模型在實(shí)踐中是可行的.

5 結(jié)束語

本文解決了傳統(tǒng)的GM-ARMA模型中GM(1，1)模型并不是最優(yōu)化的問題，也提出了整合GM(1，1)模型和ARMA模型的一個全新的解決思路，即基于某種定量的原則來建立最優(yōu)的組合模型而不是依靠經(jīng)驗(yàn)來建立組合模型.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種整合思想所得到的結(jié)果在誤差上小于ARIMA模型和GMARMA模型.更重要的是，提出了一種新的建立組合模型的思想，通過修改組合的條件，該思想可以推廣到建立多種組合模型上去.雖然是針對股票的特點(diǎn)提出了基于TAE準(zhǔn)則來建立GM(1，1)和ARMA模型的組合模型，但是也可以基于TAE準(zhǔn)則建立其他模型的組合模型.例如基于TAE準(zhǔn)則建立GM(1，1)、小波分解和ARMA模型的組合模型.或者也可以針對其他的實(shí)際情況，通過修改準(zhǔn)則來合成組合模型，例如預(yù)測國民生產(chǎn)總值GDP這種時間序列時，可以修改成MAPE準(zhǔn)則來建立GM(1，1)和AR-MA模型的組合模型.

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