陳中生

（深圳市市政設(shè)計(jì)院有限公司，廣東深圳518000）

0 引言

隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，人們對(duì)建筑結(jié)構(gòu)的要求越來(lái)越高，各種高層、超高層結(jié)構(gòu)不斷涌現(xiàn)。由于約束混凝土組合結(jié)構(gòu)具有較高承載力和經(jīng)濟(jì)性，因而該組合結(jié)構(gòu)在這些高層結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用日益廣泛。對(duì)這些約束混凝土構(gòu)件進(jìn)行精細(xì)化的三維有限元分析要求一類新的能夠反映多軸應(yīng)力下強(qiáng)度提高和剪漲效應(yīng)的混凝土本構(gòu)模型。在過(guò)去的幾年里人們提出了各種混凝土的三維本構(gòu)模型，例如Darwin等人[1]的較簡(jiǎn)單的非線性彈性經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，Bazant等人[2]提出的具有21個(gè)材料參數(shù)的復(fù)雜微平面模型等。對(duì)工程應(yīng)用而言，一個(gè)成功的混凝土本構(gòu)模型應(yīng)該在精確性和適用性之間取得合理的平衡。本文介紹的模型能夠較精確地描述混凝土三維應(yīng)力狀態(tài)下的行為且參數(shù)標(biāo)定簡(jiǎn)單，適用于工程應(yīng)用。該模型是在經(jīng)典增量塑性理論下建立的，模型由加載屈服函數(shù)、強(qiáng)化函數(shù)、軟化函數(shù)以及塑性流動(dòng)函數(shù)組成。與經(jīng)典塑性理論不同的是，該模型采用了塑性體積應(yīng)變作為強(qiáng)化和軟化的內(nèi)變量，這樣可以較好地描述混凝土的剪漲效應(yīng)。模型中的各種材料參數(shù)最后都可以通過(guò)唯一的材料參數(shù)（混凝土的單軸壓縮強(qiáng)度）來(lái)表示，從而使其應(yīng)用極其方便。

1 塑性理論基本方程

根據(jù)經(jīng)典塑性理論，在任意時(shí)刻的總應(yīng)變?cè)隽靠梢苑纸鉃槿缦拢?/p>

式中，dεe為彈性應(yīng)變?cè)隽?，dεp為塑性應(yīng)變?cè)隽俊?/p>

塑性應(yīng)變?cè)隽靠梢酝ㄟ^(guò)流動(dòng)法則確定，一般來(lái)說(shuō)混凝土并不滿足正交流動(dòng)法則，因而本文采用了非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，也就是說(shuō)，塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚴撬苄詣?shì)函數(shù)的外法線方向，而不再與屈服面正交。因而塑性應(yīng)變?cè)隽繛椋?/p>

為了方便計(jì)，下面的屈服函數(shù)和流動(dòng)函數(shù)都是建立在Haigh-Westergaard應(yīng)力空間的。該應(yīng)力空間的基本參量是描述靜水壓力的長(zhǎng)度參量ξ，應(yīng)力偏量長(zhǎng)度ρ，以及Lode角θ。本文建議的屈服函數(shù)基于Menetrey-Willam三參數(shù)屈服函數(shù)：

式中，k（κ）和c（κ)分別為混凝土的強(qiáng)化和軟化函數(shù)，內(nèi)摩擦系數(shù)m和橢圓偏心函數(shù)r（θ，e），定義為：

因而，用混凝土的單軸拉伸強(qiáng)度f(wàn)t、單軸壓縮強(qiáng)度f(wàn)c及偏心率參數(shù)e就可以確定混凝土屈服函數(shù)在三維應(yīng)力空間的大小和形狀。通常根據(jù)《規(guī)范》混凝土的單軸拉伸強(qiáng)度取為其單軸壓縮強(qiáng)度的0.1倍；理論上偏心率取值為0.5～1，Menetrey等人[3]建議混凝土的偏心率可以取為0.52，通過(guò)公式（3）可知這對(duì)應(yīng)與混凝土的雙軸強(qiáng)度和單軸強(qiáng)度比（）為1.14，這對(duì)于普通混凝土而言具有足夠的精。但是對(duì)于高強(qiáng)混凝土，不同標(biāo)號(hào)的混凝土其稍有不同，因而偏心率稍有差別，根據(jù)試驗(yàn)資料回歸得到的混凝土關(guān)系為：

因此不同標(biāo)號(hào)的混凝土偏心率可以利用公式（5）和公式（3）求得。

2 混凝土的強(qiáng)化和軟化函數(shù)

混凝土的強(qiáng)化和軟化可以視為屈服面在應(yīng)力空間形狀和位置的變化，可以分別用強(qiáng)化函數(shù)k（κ）和軟化函數(shù)c（κ）來(lái)描述。常規(guī)塑性理論強(qiáng)化和軟參數(shù)往往取為等效塑性應(yīng)變或塑性功，它表示起強(qiáng)化或軟化作用的是塑性應(yīng)變長(zhǎng)度的某種度量，很難滿意地描述混凝土多軸下的強(qiáng)度提高，往往得到的體積變形過(guò)大，不能反應(yīng)圍壓的約束作用。鑒于此有的研究者就將強(qiáng)化參數(shù)與圍壓或塑性體積變形聯(lián)系起來(lái)，以期能夠反應(yīng)隨著圍壓增大混凝土的不斷增強(qiáng)的變形能力，但是這需要增加材料參數(shù)，往往給塑性模型參數(shù)標(biāo)定帶來(lái)困難。既然混凝土的體積膨脹與約束有關(guān)，圍壓對(duì)混凝土的塑性變形能力有著重要的影響，因而其對(duì)合理描述混凝土的三軸變形行為相當(dāng)關(guān)鍵[4]。Grassl等人[5]建議用塑性體積應(yīng)變作為塑性參數(shù)并取得了較好的效果，因此塑性參數(shù)可以定義為：定義強(qiáng)化函數(shù)為：式中，εpv,t是混凝土單軸壓縮峰值應(yīng)力時(shí)的塑性體積應(yīng)變，k0定義為混凝土單軸壓縮初始屈服的強(qiáng)度與峰值強(qiáng)度比：

對(duì)于普通混凝土初始屈服強(qiáng)度大約是峰值強(qiáng)度的30%-40%。

隨著混凝土塑性變形的進(jìn)一步發(fā)展，塑性變形將會(huì)出現(xiàn)局部化，從而變形將會(huì)集中在某些特定的點(diǎn)在宏觀上表現(xiàn)為混凝土的塑性軟化。Grassl等人[5]建議塑性軟化可以通過(guò)軟化函數(shù)c(κ)描述：

式中，參數(shù)t控制軟化速度定義為：

t=fc/15000 （11）

可見(jiàn)，定義了強(qiáng)化函數(shù)和軟化函數(shù)后，混凝土的強(qiáng)化可以視為屈服函數(shù)在應(yīng)力空間沿靜水應(yīng)力軸正方向的平移和膨脹，而混凝土的軟化則可視為屈服函數(shù)在應(yīng)力空間沿靜水應(yīng)力軸負(fù)方向的平移。

3 混凝土的流動(dòng)函數(shù)

由于混凝土塑性變形存在剪脹效應(yīng)，往往采用非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，合理塑性勢(shì)函數(shù)對(duì)描述混凝土的塑性變形至關(guān)重要。它控制著塑性流動(dòng)的方向和塑性應(yīng)變的累積。試驗(yàn)表明混凝土圍壓越大，混凝土的體積膨脹越小，約束效果越明顯，合理的塑性流動(dòng)函數(shù)應(yīng)該能夠反應(yīng)這一點(diǎn)，即塑性流動(dòng)函數(shù)在Haigh-Westergaard坐標(biāo)中的子午線隨著靜水壓力的增加不再是直線變化，而是變斜率的，逐漸偏向靜水壓力軸，使塑性體積應(yīng)變的分量越來(lái)越小，從而增強(qiáng)混凝土的塑性變形能力。顯然，基于直線變化的Drucker-Prager形式的塑性流動(dòng)函數(shù)不能較好地反映這一點(diǎn)。Grassl等人給出了一種非線性塑性流動(dòng)函數(shù)，隨著圍壓增加（ξ增加），子午線不斷向靜水壓力軸靠攏，曲線斜率不斷減小，塑性體積分量越來(lái)越小，能夠較好地描述圍壓對(duì)塑性變形的約束作用和混凝土強(qiáng)度的提高。Vassilis等人建議的流動(dòng)函數(shù)為：

式中，材料參數(shù)A，B，C的標(biāo)定可見(jiàn)Vassilis等人的工作。由此建立了混凝土的彈塑性本構(gòu)模型，雖然在模型中出現(xiàn)了較多的材料參數(shù)，但是這些材料參數(shù)都可以在現(xiàn)有試驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上通過(guò)唯一的參數(shù)—混凝土單軸峰值強(qiáng)度進(jìn)行標(biāo)定，從而使模型工程應(yīng)用極其方便。

4 數(shù)值計(jì)算

在混凝土的彈塑性數(shù)值求解上，Ortiz[6]等人建議了一類稱為算子分離法的回映算法，為了減小迭代過(guò)程中重復(fù)計(jì)算Lee[7]等人在建議了對(duì)應(yīng)力張量進(jìn)行譜分解的方法，Vassilis[4]等人建議了一種后退Euler法的隱式積分算法，并且還采用了半分法來(lái)加快收斂速度，減小迭代計(jì)算量。由于完全隱式的后退Euler回映算法具有較高的精度可成熟的算法，本文采用了不同于Vassilis等人的半分法方法，采用完全隱式的后退Euler法求解提高了計(jì)算精度和穩(wěn)定性。

基于對(duì)率形式的本構(gòu)方程進(jìn)行積分的算法稱為應(yīng)力更新算法，在完全隱式的算法中，在步驟結(jié)束時(shí)計(jì)算塑性應(yīng)變和內(nèi)變量的增量（后退歐拉算法），同時(shí)強(qiáng)化屈服條件?；舅悸肥窍葟椥灶A(yù)測(cè)，再按最近點(diǎn)投影塑性修正（回映算法），積分算法寫(xiě)為：

式中，rn+1是n+1時(shí)刻的流動(dòng)方向，hn+1是n+1時(shí)刻的塑性硬化函數(shù)。將公式（13.b）代入（13.d）得到：

利用通用非線性有限元分析軟件Abaqus的用戶材料子程序接口（UMAT）可以將上述混凝土彈塑性本構(gòu)模型嵌入到Abaqus中進(jìn)行混凝土結(jié)構(gòu)的彈塑性非線性分析。

5 模型計(jì)算結(jié)果

為了考察模型的性態(tài)和有效性，首先用Abaqus模擬了兩組Dahl等人[8]關(guān)于混凝土的單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系試驗(yàn)研究的結(jié)果，試驗(yàn)中兩組混凝土的實(shí)測(cè)值分別為21.7 MPa及31.7 MPa；模型計(jì)算的峰值應(yīng)力分別取為20.0 MPa及30.0 MPa。二者比較如圖1所示，按照Abaqus的約定，受壓符號(hào)為負(fù)，故下面各圖均標(biāo)示為負(fù)值，“Model”標(biāo)示該模型計(jì)算結(jié)果，“Exp”標(biāo)示試驗(yàn)結(jié)果?？梢园l(fā)現(xiàn)模型計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果在上升段、峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變吻合較好，下降段模型計(jì)算結(jié)果比試驗(yàn)稍有區(qū)別，考慮到試驗(yàn)離散型可以認(rèn)為該模型可以很好地描述混凝土單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

圖2給出了單軸峰值強(qiáng)度分別為20 MPa、30 MPa、40 MPa、50 MPa、60 MPa、70 MPa、80 MPa的混凝土單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，圖2中數(shù)值標(biāo)示混凝土的單軸壓縮峰值強(qiáng)度。

混凝土壓縮的一個(gè)重要的現(xiàn)象就是體積膨脹，試驗(yàn)時(shí)隨著荷載的不斷增加，混凝土先經(jīng)歷了體積壓實(shí)的過(guò)程，隨后由于剪切破壞內(nèi)部出現(xiàn)了較多裂紋，出現(xiàn)剪脹現(xiàn)象，剪脹現(xiàn)象見(jiàn)圖3所示。圖3中“volume”表示體積應(yīng)變隨單軸荷載變化關(guān)系。

約束對(duì)混凝土強(qiáng)度提高的效果在圖4中得到集中體現(xiàn)，圖4是強(qiáng)度為47.4 MPa的混凝土在不同約束應(yīng)力下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。圖中標(biāo)示“uniaxial”表示單軸應(yīng)力應(yīng)變曲線關(guān)系，數(shù)值標(biāo)示約束應(yīng)力，如4.74 MPa標(biāo)示約束應(yīng)力為4.74 MPa時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，其他標(biāo)示類似?？梢?jiàn)隨著約束應(yīng)力的增加，混凝土強(qiáng)度有了顯著的提高。

6 結(jié)語(yǔ)

上述混凝土彈塑性本構(gòu)模型能夠很好地描述混凝土的體積膨脹和圍壓對(duì)塑性變形的約束作用及強(qiáng)度提高，由于模型引進(jìn)了橢圓方程，使屈服（破壞）子午線能夠隨相似角不斷變化，從理論上來(lái)講可以描述任何圍壓下的混凝土三維受力特點(diǎn)。由于塑性體積應(yīng)變是圍壓的直接度量，用它作為強(qiáng)化，軟化參數(shù)就可以直接反應(yīng)圍壓的影響；同時(shí)塑性勢(shì)函數(shù)在在Haigh-Westergaard坐標(biāo)中，子午線是曲線變化的，相似角相關(guān)，使得高圍壓下混凝土的塑性體積變形得到了有效約束，強(qiáng)度得到提高。

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