康英平

GPS定位技術(shù)以其精度高、速度快、自動(dòng)化程度高、經(jīng)濟(jì)效益顯著等特點(diǎn),在平面控制測量中已得到廣泛應(yīng)用,并對許多常規(guī)測量技術(shù)產(chǎn)生了極大沖擊,對幾何水準(zhǔn)也不例外[1,2],首先,在不一定要正常高的許多場合,GPS可以代替水準(zhǔn)測量,單獨(dú)完成工程和科學(xué)任務(wù);其次,通過似大地水準(zhǔn)面計(jì)算好確定高程異常后,GPS測量的大地高可以轉(zhuǎn)換成正常高,從而代替水準(zhǔn)測量[3,4]。GPS技術(shù)的發(fā)展,特別是厘米級(jí)似大地水準(zhǔn)面的發(fā)展,為GPS測量正常高提供了技術(shù)基礎(chǔ)[5],因此,對GPS水準(zhǔn)的研究也是近幾年的一個(gè)研究熱點(diǎn)[6,7]。正是基于這個(gè)背景,本文給出了利用GPS進(jìn)行大地水準(zhǔn)面精化時(shí)常用的幾種大地水準(zhǔn)面擬合方法,并利用實(shí)際數(shù)據(jù)對這些方法的適用性進(jìn)行了驗(yàn)證,得出了有用的結(jié)論與建議。

1 GPS水準(zhǔn)的原理及方法

GPS水準(zhǔn)就是在小區(qū)域范圍GPS網(wǎng)中,用水準(zhǔn)測量的方法聯(lián)測網(wǎng)中若干GPS點(diǎn)正常高,這些點(diǎn)可稱之為公共點(diǎn),然后根據(jù)公共點(diǎn)的大地高和正常高計(jì)算出各個(gè)公共點(diǎn)的高程異常,再由公共點(diǎn)的平面坐標(biāo)和高程異常采用數(shù)值擬合計(jì)算方法,擬合出區(qū)域的似大地水準(zhǔn)面,即可求出各點(diǎn)高程異常,并由此求出各GPS點(diǎn)的正常高。常用的高程異常擬合函數(shù)模型有平面擬合法,曲面擬合法和多面函數(shù)法。都是利用GPS水準(zhǔn)點(diǎn)的高程異常與點(diǎn)的平面坐標(biāo)函數(shù)關(guān)系式,構(gòu)建相應(yīng)的誤差方程,根據(jù)最小二乘原理求得模型的最參數(shù),從而實(shí)現(xiàn)區(qū)域似大地水準(zhǔn)面的逼近。平面擬合法在120 km2平原地區(qū),擬合精度可達(dá)3 cm～4 cm。在小區(qū)域內(nèi),曲面擬合精度可優(yōu)于3 cm。多面函數(shù)法適于比較復(fù)雜的地區(qū)。

2 實(shí)例計(jì)算及分析

為了對上述的三種擬合方法進(jìn)行實(shí)際的驗(yàn)證和分析,本文采用某測區(qū)的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)區(qū)面積約為840 km2,有25個(gè)已知點(diǎn),呈帶狀分布,工程控制測量得到兩套成果:1)GPS測量的大地高數(shù)據(jù);2)水準(zhǔn)測量的正常高數(shù)據(jù)。本實(shí)驗(yàn)主要對曲面擬合和多面函數(shù)進(jìn)行比較。

2.1 二次和三次曲面擬合法實(shí)驗(yàn)

對已知的25個(gè)水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn),分別用二次多項(xiàng)式曲面函數(shù)、三次多項(xiàng)式曲面函數(shù)進(jìn)行擬合,擬合參差分布圖見圖1?？芍?三次曲面擬合的結(jié)果明顯優(yōu)于二次曲面擬合的結(jié)果。外符合精度三次擬合比二次擬合有明顯提高。由圖1可以看出三次擬合的檢核點(diǎn)的殘差一般在±9 cm之內(nèi),而二次擬合的檢核點(diǎn)的殘差有一小部分超過25 cm。由此可得,該測區(qū)采用三次多項(xiàng)式曲面函數(shù)擬合效果較好。由于二次多項(xiàng)式曲面擬合法本身模型的限制,只能擬合單一地形變化的測區(qū),從圖形上可以看出,曲面僅向一個(gè)方向凸出,無法顯示高程異常的復(fù)雜變化。

2.2 HARDY多面函數(shù)擬合法點(diǎn)數(shù)及平滑因子研究實(shí)驗(yàn)

2.2.1 已知點(diǎn)個(gè)數(shù)對擬合精度的影響

已知實(shí)驗(yàn)區(qū)有25個(gè)水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn),本文選擇不同數(shù)目的點(diǎn)作為已知點(diǎn),分別利用多面函數(shù)進(jìn)行擬合,其擬合結(jié)果如圖2所示。

從圖2得知,隨著已知點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加,擬合的精度隨之提高。外符合精度有明顯提高。同時(shí)可以看出多面函數(shù)擬合殘差分布是十分有規(guī)律的,即殘差呈波形分布。在已知點(diǎn)附近的點(diǎn)殘差最小,在兩個(gè)已知點(diǎn)的中間殘差最大。根據(jù)這一規(guī)律,在已知點(diǎn)比較多的情況下,多面函數(shù)擬合法的優(yōu)勢比較明顯。而且,在應(yīng)用多面函數(shù)法進(jìn)行擬合時(shí),已知點(diǎn)盡量要均勻分布,且在點(diǎn)位密集的測區(qū)最好要有已知點(diǎn)。

2.2.2 平滑因子對擬合精度的影響

本文在已知點(diǎn)為七個(gè)的情況下選不同的平滑因子δ進(jìn)行擬合,得到如圖3所示的結(jié)果。

從圖3得知,隨著δ逐漸增大,擬合的精度隨之提高,當(dāng)δ增大到一定程度后,擬合精度開始降低。就本次試驗(yàn)數(shù)據(jù)而言,當(dāng)δ增大到500左右時(shí),精度最好。根據(jù)平滑因子在核函數(shù)中的作用,當(dāng)δ較大時(shí),核函數(shù)曲面趨向扁平,適合在高程異常變化不大的地區(qū)使用。反之,在高程異常變化較大的地區(qū)適合用較小的δ值。目前對δ的選擇提出了相關(guān)理論和方法,如基于統(tǒng)計(jì)學(xué)理論,以檢查點(diǎn)高程擬合方差最小為原則,確定最佳平滑因子;基于模糊數(shù)學(xué)理論,以已有模型對準(zhǔn)理想模型的隸屬度最大為原則,確定最佳平滑因子。但這些方法都是從給定的幾個(gè)平滑因子中選擇最優(yōu),無法精確求解δ,即無法建立起與已知點(diǎn)之間的函數(shù)關(guān)系,經(jīng)驗(yàn)在平滑因子的選擇中起了很大作用。

2.2.3 綜合比較

通過對以上方法的分析,本文進(jìn)一步對平面擬合、多面函數(shù)擬合、二次曲面擬合及三次曲面擬合四種方法進(jìn)行了綜合的比較試驗(yàn),可看出,擬合精度最高的是三次曲面擬合法,其次是多面函數(shù)擬合法,然后是二次曲面擬合法,而平面擬合法的精度最差。但是考慮到三次曲面擬合法使用的已知點(diǎn)比多面函數(shù)法多三個(gè),且根據(jù)點(diǎn)位分布圖,控制點(diǎn)呈帶狀分布,所以三次曲面擬合精度較好,而多面函數(shù)的優(yōu)勢沒有完全發(fā)揮。所以這兩種算法在此測區(qū)精度相當(dāng)。如果已知點(diǎn)進(jìn)一步增加且合理分布,根據(jù)多面函數(shù)法的特點(diǎn),其精度可以進(jìn)一步提高。而二次曲面擬合法和平面擬合法則精度明顯較差,由于山區(qū)地形影響,高程異常變化劇烈。而平面和二次曲面變化過于平緩。因此,在丘陵和山區(qū)等高程異常變化幅度較大的地區(qū)不適合用二次曲面擬合法和平面擬合法進(jìn)行GPS高程擬合。

3 結(jié)語

本文通過對多面函數(shù)已知點(diǎn)數(shù)及平滑因子選擇的研究,表明在應(yīng)用多面函數(shù)法進(jìn)行擬合時(shí),已知點(diǎn)盡量要均勻分布,且在點(diǎn)位密集的測區(qū)最好要有已知點(diǎn),同時(shí),經(jīng)驗(yàn)在平滑因子的選擇中起了很大作用。通過對平面擬合、多面函數(shù)擬合、二次曲面擬合及三次曲面擬合四種方法的比較試驗(yàn)表明:1)最小二乘平面擬合法只適于在地形起伏較小的平坦測區(qū)進(jìn)行擬合。2)二次多項(xiàng)式曲面擬合法本身模型的限制,只能擬合單一地形變化的測區(qū),僅適合于面積較小的測區(qū)擬合,對于高程異常變化比較大的地區(qū),三次多項(xiàng)式曲面擬合的精度優(yōu)于二次多項(xiàng)式曲面擬合的精度。3)多面函數(shù)擬合法是二次多項(xiàng)式函數(shù)的多重疊加,適合于地形復(fù)雜的測區(qū)擬合,當(dāng)GPS水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn)越多、顯著點(diǎn)越多時(shí),擬合精度就越高,同時(shí)平滑因子的選擇也很重要,要優(yōu)化選取。

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