孫文勝，劉 婷，徐福新

（杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院 杭州 310018）

1 引言

20世紀(jì)80年代中后期，一種新的接收機(jī)概念——全數(shù)字接收機(jī)[1～3]出現(xiàn)在人們的視野中。與傳統(tǒng)的無線電數(shù)字通信接收機(jī)不同，全數(shù)字接收機(jī)在數(shù)字通信接收機(jī)的模擬處理區(qū)引入了數(shù)字處理技術(shù)。在全數(shù)字接收機(jī)中，數(shù)字下變頻的本地振蕩信號是一個固定頻率的自由振蕩信號，它不可能和輸入信號的載波頻率完全相等，它們之間必然存在頻差，為了實現(xiàn)載波同步，必須估計和消除頻偏誤差。傳統(tǒng)的數(shù)字通信系統(tǒng)通常采用鎖相環(huán)實現(xiàn)載波同步[4]，受無線傳輸及相關(guān)器件的影響，用鎖相環(huán)鎖定載波相位和時鐘相位并非真正的無偏估計；而全數(shù)字接收機(jī)采用高速信號處理技術(shù)，可以更加精確地估計并糾正頻偏。

全數(shù)字接收機(jī)的開環(huán)頻率估計算法主要有數(shù)據(jù)輔助和非數(shù)據(jù)輔助兩種，從試驗結(jié)果來看，這些頻偏算法雖然大大降低了系統(tǒng)的頻偏，但是沒有完全解決頻偏估計問題，仍然有剩余頻偏無法得到糾正。由于這些殘余頻偏對系統(tǒng)造成的誤碼率影響很大，因此對殘余頻偏的糾正是一個不能忽略的問題。參考文獻(xiàn)[5]提出利用數(shù)據(jù)幀內(nèi)各個OFDM符號的循環(huán)前綴分別進(jìn)行殘余頻偏糾正的算法，該算法雖然能夠較好地糾正每個OFDM符號內(nèi)的殘余頻偏，但是復(fù)雜度較高，在實際應(yīng)用中較難實現(xiàn)。參考文獻(xiàn)[6]提出利用象限旋轉(zhuǎn)、坐標(biāo)平移等操作從數(shù)據(jù)符號中提取相位信息來糾正殘余頻偏，其計算涉及符號取反、虛實交換、累加等，且僅適用于多徑衰落信道。參考文獻(xiàn)[7]提出基于NDA采用PLL的判決反饋結(jié)構(gòu)對殘余頻偏進(jìn)行估計補(bǔ)償，但采用基于判決的反饋結(jié)構(gòu)可能會帶來錯誤傳播，惡化接收機(jī)性能。本文提出的糾正殘余頻偏算法采用均方誤差值作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，通過調(diào)節(jié)步長來改善殘余頻偏，計算方法簡單，硬件容易實現(xiàn)，仿真結(jié)果顯示性能良好。

2 殘余頻偏

在全數(shù)字接收機(jī)中，設(shè)ck為發(fā)送的數(shù)據(jù)信號序列，Δω為載波頻偏，θ為載波初始相偏，n(k)～N(0,2σ2)為方差是σ2的加性高斯白噪聲，r(k)表示經(jīng)定時恢復(fù)后的數(shù)據(jù)信號，則在定時恢復(fù)理想的條件下滿足以下條件。

在實際中，受所采用的頻偏估計算法的精度和噪聲等因素的影響，由頻偏估計算法計算得到的載波頻偏Δω并不等于真實存在的頻偏值，即接收信號經(jīng)過頻偏糾正后仍存在剩余頻偏，此時實際的數(shù)據(jù)信號可表示如下。

式中，Δω′代替了原來的Δω，表示糾正后的殘余頻偏。

接收機(jī)的載波同步問題包括頻偏糾正和相位補(bǔ)償兩方面，一般來說，相位補(bǔ)償?shù)那疤崾穷l偏得到了很好地估計和校正，但在殘余頻偏的影響下，實際的相位補(bǔ)償應(yīng)表示為：

將式（2）代入式（3）運算后得到：

從式（4）可以看出，殘余頻偏經(jīng)過一段時間跨度后會轉(zhuǎn)化為殘余相位，用φk表示殘余相位，n(k)為相位噪聲，則有：

由于載波頻偏沒有得到很好的糾正，因此這種附加相位偏移不能用統(tǒng)計相位估計方法糾正。這些相位噪聲會導(dǎo)致星座圖模糊，影響系統(tǒng)的誤碼率性能。尤其在256QAM這樣的信號情況下，由于星座圖上的信號點分布密集，因此殘余頻偏轉(zhuǎn)換對相位噪聲的影響非常嚴(yán)重。

表1給出了在不同信噪比、初始頻偏不同的條件下，Kay估計器[8～9]的殘余頻偏Δf及誤碼率Pe（設(shè)實驗100次，估計結(jié)果取100次實驗結(jié)果的均值）。表1中ΔF為Kay估計校正前頻偏，SNR為信噪比，Δf為Kay估計校正后的殘余頻偏。從表1中可以看出，即使在高信噪比條件下，仍然存在幾Hz的殘余頻偏，其導(dǎo)致了解碼性能的下降。

3 均方誤差準(zhǔn)自適應(yīng)短時反饋算法

為了校正殘余頻偏，并且考慮到無線信道通常在緩慢地變化，本文提出了一種均方誤差準(zhǔn)自適應(yīng)短時反饋算法。這里的反饋與鎖相環(huán)的反饋不同，它是根據(jù)設(shè)定的均方誤差門限，用快速迭代法求出殘余頻偏，并以此值為基準(zhǔn)對隨后的信號進(jìn)行糾正，因求得的均方誤差時間及迭代時間極短，所以我們稱之為“短時反饋”；均方誤差的取樣數(shù)和取值間隔取經(jīng)驗值，它們的取值對結(jié)果不會造成決定性的影響，這種方法我們稱之為“準(zhǔn)自適應(yīng)法”。在時間間隔到來之時，首先取樣進(jìn)行運算，運算過程中信號的糾正按規(guī)定的步長值進(jìn)行，運算后得到最新的殘余頻偏，后續(xù)的信號按此糾正，即后續(xù)的步長值取前一次糾正后計算出的殘余頻偏值。如此反復(fù)，既保證了在信道變化時能即時計算出殘余頻偏的大小，也讓計算簡單化，并且不用考慮時延的影響。下面詳細(xì)介紹這種算法。

數(shù)字化了的接收機(jī)基帶信號，通過載波頻差糾正、載波相位誤差糾正和時鐘誤差糾正后，符號輸出為{Ii(t)，Qi(t)}，如果{Ii(t)，Qi(t)}對應(yīng)星座圖上的坐標(biāo)點與星座圖上的標(biāo)準(zhǔn)信號點{aj，bj}距離最近，在數(shù)字通信中通常將{Ii(t)，Qi(t)}判決為信號{aj，bj}。定義接收機(jī)N（N是個經(jīng)驗值）個信號的均方誤差為σ，σ的取值如下。

式（6）中的 σi由式（7）得到：

表1 Kay估計器的殘余頻偏及誤碼率

式（7）實質(zhì)上是把解調(diào)后的信號點在星座圖上的位置與最近信號點（i、j不一定相同）的位置進(jìn)行比較，記錄它們之間的距離差。連續(xù)N個信號點都進(jìn)行這樣的誤差統(tǒng)計，然后按照式（6）求距離差的均方誤差。根據(jù)實際要求的誤碼率，規(guī)定一個誤差門限值（取經(jīng)驗值），當(dāng)σ大于此值時，就表示{Ii(t)，Qi(t)}距離參考信號點{aj，bj}較遠(yuǎn)，誤碼率達(dá)不到要求，需要采用本算法進(jìn)行糾正。

由于在接收機(jī)前采用了類似Kay估計器的頻偏估計算法，因此得到的頻偏值比較接近真實值，此時殘余頻偏是小頻偏，這個殘余頻偏值可能為正，也可能為負(fù)。在這種情況下，可以采取逐次逼近的方法進(jìn)行頻偏糾正。現(xiàn)將算法步驟介紹如下。

①根據(jù)式（7）計算當(dāng)前均方誤差σ。

②規(guī)定一個合適的步長L。第一次糾正L Hz，L取經(jīng)驗值。由表1可知：原始頻偏越大，殘余頻偏越大；信噪比越小，殘余頻偏越大。因此，可根據(jù)原始頻偏及信噪比確定適合的步長。這里需要說明的是，L的大小并不影響算法的結(jié)果，僅影響迭代次數(shù)，在完成第一次殘余頻偏糾正后，可將上次糾正的殘余頻偏值作為下次的步長L。

③設(shè)本次糾正后的均方誤差為σ′，前一次糾正后的均方誤差為σ。首先糾正L Hz，計算σ′，把它與σ比較。如果σ′<σ，繼續(xù)按此步長糾正并計算均方誤差，直至 σ′>σ，此時改變步長值為-L/2 Hz，即縮小步長值為原來的1/2并向相反方向糾正頻偏，相反方向糾正頻偏至σ′>σ時，調(diào)整步長值為L/4，即步長值反向并縮小2倍，繼續(xù)迭代并比較σ′與σ之值。如此反復(fù)至σ′的值小于規(guī)定的均方誤差判決門限值即可。

④如果第一次糾正L Hz后σ′>σ，則說明糾正方向不對或者步長過大，此時直接將步長調(diào)整為-L/2進(jìn)行糾正，其余操作如③。

此算法的關(guān)鍵在于不斷比較后一次與前一次均方誤差值，當(dāng)后一次均方誤差值比前一次小時按原來步長糾正頻偏，當(dāng)后一次均方誤差值大于前一次時，糾正方向改變，糾正數(shù)值減小為原來的一半。通過不斷迭代，殘余頻偏得以良好的消除。把每次反饋進(jìn)行頻偏糾正的值累加起來就可以得到殘余頻偏值。

一般在信道不改變的情況下，殘余頻偏的變化是緩慢的，可以認(rèn)為在一段時間內(nèi)殘余頻偏值是不變的，所以一次殘余頻偏糾正具有一定時間的持續(xù)有效性。這就是說適當(dāng)?shù)募m正間隔也是必要的。雖然通過短時反饋能夠較準(zhǔn)確地計算出殘余頻偏，但是在對后續(xù)接收信號的糾正中如何判斷糾正的有效時間以及如何利用均方誤差閾限準(zhǔn)確地判決殘余頻偏并進(jìn)行計算顯得非常關(guān)鍵。在實驗中對均方誤差閾限值進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)它受某些參數(shù)的影響。下面就MPSK和MQAM說明均方誤差閾值實驗取得的過程。

（1）MPSK解調(diào)碼元周期與均方誤差閾限的關(guān)系

首先探究在MPSK解調(diào)中碼元周期、預(yù)設(shè)頻偏同均方誤差之間的關(guān)系，這里以解調(diào)8PSK信號為例進(jìn)行說明，并用碼元速率來表達(dá)碼元周期，碼元速率與均方誤差值的關(guān)系如圖1所示，不同碼元速率與誤碼率的關(guān)系如圖2所示，三條曲線分別代表三種不同的預(yù)設(shè)頻偏下的曲線。

在圖1可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)碼元速率達(dá)到某一個固定值的時候，如果繼續(xù)下降，均方誤差值出現(xiàn)顯著上升的趨勢并隨著碼元速率減小到一個峰值然后驟然下降。當(dāng)均方誤差從峰值下降時，對應(yīng)的圖2的誤碼率仍然保持很快的增長趨勢，甚至當(dāng)均方誤差值低于判決閾限時（如圖1中表示的0.3），圖2中的誤碼率攀升到接近于10-1。這個問題很重要，它關(guān)系到在什么情況下可以使用提出的均方誤差短時反饋算法糾正殘余頻偏。

以8PSK為例，將解調(diào)后的點與8PSK星座圖上8個標(biāo)準(zhǔn)點進(jìn)行比較，并且計算解調(diào)后的點與標(biāo)準(zhǔn)星座圖上點的距離差，將距離標(biāo)準(zhǔn)點最近的點判定為屬于此標(biāo)準(zhǔn)點，正是因為這樣，在偏差大時判定可能出錯。如圖3所示，解調(diào)后本應(yīng)為A位置的點在不同頻偏情況下分別偏移到了a、b、c，可以看出 a點與 A點的位置非常接近，根據(jù)式（6），當(dāng)大部分解調(diào)后的點處于這種情況（其他標(biāo)準(zhǔn)點B、C、D、E、F、G、H同A點）時，生成的均方誤差值一般低于判決閾限，此時可認(rèn)為無需進(jìn)行頻偏調(diào)整。當(dāng)偏移點為b時，如果解調(diào)后的點均為這種情況，顯而易見均方誤差值要高于判決閾限，這時候就要對其進(jìn)行殘余頻偏糾正，使解調(diào)后的點最大程度地向A點靠近。但當(dāng)點的位置偏移到c時，判決時與它對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)點為B，如果大部分解調(diào)后的點的情況如此，雖然系統(tǒng)的均方誤差值會很小，但是誤碼率極高，這種情況無法利用均方誤差短時反饋算法進(jìn)行殘余頻偏糾正。

同時將圖2中碼元速率的臨界值對應(yīng)到圖1中不難發(fā)現(xiàn)，對應(yīng)系統(tǒng)要求的誤碼率可得到對應(yīng)的均方誤差值，此值即可作為均方誤差閾限值。實驗中預(yù)加的不同頻偏值對應(yīng)的曲線在近乎零誤碼率下的均方誤差值的閾限是相同的，這說明系統(tǒng)中的頻偏值不影響均方誤差短時反饋算法中判決閾限值的設(shè)定。從圖1中可以看出：當(dāng)預(yù)設(shè)頻偏為700 Hz時，判決閾限約為0.35；當(dāng)預(yù)設(shè)頻偏為500 Hz時，判決閾限約為0.35；當(dāng)預(yù)設(shè)頻偏為100 Hz時，判決閾限仍約為0.35。

（2）MQAM解調(diào)M值與均方誤差閾限的關(guān)系

在MQAM中不同的M值所對應(yīng)的零誤碼率下的均方誤差閾限隨著M值的變化而變化。假設(shè)已調(diào)制的信號最大幅度為1，則MQAM為矩形的最小碼距為：

式（8）說明，隨著M值的增大，各標(biāo)準(zhǔn)點之間的最小碼距是逐漸遞減的，也就是說M值越大，其抗干擾能力越差。如圖4所示，未糾正殘余頻偏前，很小的殘余頻偏也會導(dǎo)致256QAM的星座圖十分模糊。

由于高階的MQAM系統(tǒng)其碼距很小，因此算法所要求的均方誤差閾值也應(yīng)相應(yīng)減小。實驗得出在MQAM中M值與均方誤差閾值的關(guān)系如圖5所示，可以看出在MQAM中零誤碼率的均方誤差閾值是隨著M值的增加而減小的。

圖6給出了256QAM殘余頻偏調(diào)整之后的星座圖，與圖4對比可明顯看出去除殘余頻偏的256QAM星座圖比有殘余頻偏的256QAM星座圖清晰，也就是說去除殘余頻偏后得到的碼元誤碼率明顯降低。

表2給出了利用均方誤差反饋算法經(jīng)多次實驗后得到256QAM系統(tǒng)的誤碼率等相關(guān)實驗數(shù)據(jù)。

需要注意的是，本文提出的這種殘余頻偏糾正算法不能獨立地成為一種頻偏算法解決方式，它的應(yīng)用必須建立在系統(tǒng)已經(jīng)通過較為有效的頻偏估計算法對頻偏進(jìn)行糾正的基礎(chǔ)上，只有這樣才能對頻偏進(jìn)行更有效的糾正。

4 結(jié)語

本文提出了一種糾正殘余頻偏的均方誤差反饋算法，并說明了均方誤差閾值的選取方法。此算法以一定的運算量為代價，達(dá)到對殘余頻偏有效糾正的目的。Matlab仿真結(jié)果表明，利用此算法糾正殘余頻偏后系統(tǒng)誤碼率明顯降低。

在實際應(yīng)用中，可利用一個適當(dāng)大小的存儲器來存儲每次經(jīng)過頻偏糾正后的數(shù)據(jù)，以備下次反饋之用。在信道條件相對穩(wěn)定的情況下，殘余頻偏的變化是緩慢的，可以認(rèn)為在一段時間內(nèi)殘余頻偏的頻偏值是固定的，這時利用已得到的殘余頻偏值直接對信號進(jìn)行糾正，只需進(jìn)行一兩次迭代即可，也就是說在信道條件穩(wěn)定的情況下，較小的計算量也能彌補(bǔ)系統(tǒng)誤碼率性能不足之處，滿足實時處理的要求。

表2 256QAM均方誤差反饋算法實驗數(shù)據(jù)

1 張公禮.全數(shù)字接收機(jī)理論與技術(shù).北京:科學(xué)出版社,2005

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4 陳紅.鎖相環(huán)同步檢波技術(shù)及在視頻檢波中的應(yīng)用.現(xiàn)代電子技術(shù),2008（15）：184～192

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