● (紹興一中分校 浙江紹興 312000) ● (紹興市教育教學研究院 浙江紹興 312000)

1 考查要求

范圍問題和定值問題是圓錐曲線綜合問題中2類常見的題型．解析幾何的主要思想是用代數(shù)方法處理幾何問題，因此，要解決圓錐曲線的綜合問題，不僅要理解和掌握圓錐曲線的有關概念、定理、公式，還要善于綜合運用代數(shù)的知識和方法，譬如討論一元二次方程根的情況、研究二元二次方程(組)、求代數(shù)式的最值或范圍等．

2 考點回顧

圓錐曲線中的范圍問題可分為2類：一類是求與曲線的幾何性質(zhì)有關的某些量的取值范圍，主要是依靠曲線自身的范圍和性質(zhì)構(gòu)造不等式求解；另一類是直線與曲線的綜合問題，當直線與曲線具有某種特定關系時，求指定參數(shù)的范圍．其中，第2類問題涉及的知識范圍更廣．由于這類問題一般涉及直線與曲線的關系，因此在特定條件下，常用一元二次方程根的判別式構(gòu)造不等式或用一元二次方程根的分布構(gòu)造不等式求解．求解范圍問題綜合性強，且確定變量取值范圍的不等關系不明顯，因而給解題帶來諸多困難．在復習時，有必要通過對典型問題的分析和解決，總結(jié)和歸納尋找不等關系的方法，突破難點．

在解析幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)無關，這就構(gòu)成了定值問題．解決定值問題一般需要大膽設參(有時甚至要設2個參數(shù))，運算推理到最后必定能將參數(shù)消去，出現(xiàn)定值．有時則與證明題類似，常通過取參數(shù)的特殊值來確定“定值”，將問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式，然后證明該值是恒定的．還有涉及定點、定直線的問題,包括直線過定點、點在定直線上、圓過定點、三點共線等問題，也需要引起關注，通常的思路是將幾何問題代數(shù)化．

3 命題趨勢

圓錐曲線一直是高考的熱點內(nèi)容之一．考查圓錐曲線間相關聯(lián)的問題，題型可以是選擇題、填空題，但往往是難度較大的綜合題，問題涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、平面向量等知識，對學生的數(shù)學思維能力的考查要求較高．本文所提到的范圍與定值問題，是高考中“?？汲Ｐ隆钡念}型．新課程降低了對雙曲線部分內(nèi)容的考試要求，因此具體問題以直線、圓、橢圓和拋物線的綜合題為主．筆者估計2010年數(shù)學高考試題會在保證試卷整體結(jié)構(gòu)的持續(xù)與穩(wěn)定的基礎上，繼續(xù)考查這2類問題，但在形式上會有一定程度的創(chuàng)新．

4 典例剖析

4.1 利用函數(shù)、方程、不等式求解范圍問題

圖1

(1)求雙曲線C的方程.

(2009年陜西省數(shù)學高考理科試題)

分析本題主要考查直線與雙曲線的關系，涉及平面向量、三角函數(shù)和函數(shù)等知識，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，可將平面向量的關系轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式加以解決．

解(1)容易求得，雙曲線C的方程為

評注“代數(shù)化”是解決解析幾何問題的常用思路．在本題中，將條件中的平面向量、三角函數(shù)等信息轉(zhuǎn)化為函數(shù)關系是問題解決的關鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．在求解范圍問題時，有時可根據(jù)已知條件或從條件中提取的代數(shù)信息，如已知某個變量的范圍，或某等式的結(jié)構(gòu)特點，或某個函數(shù)的值域等，尋求從代數(shù)角度解決問題．

4.2 利用圓錐曲線結(jié)構(gòu)特征求解范圍問題

圖2

分析本題主要考查直線與橢圓相交、對稱、中點坐標以及二元二次方程組等知識，可對“直線MN與橢圓相交”這一關鍵信息進行分析與處理．

消去y得

(3k2+1)x2+6kmx+3(m2-1)=0.

由Δ>0得

m2<3k2+1，

(1)

于是

代入對稱軸AP的方程

解得 2m=3k2+1.

(2)

由式(1)，式(2)消去k2,得

0

又由式(2)得

解得

從而

解法2由點差法得

(3)

(4)

解式(3)，式(4)得

由點P在橢圓內(nèi)部得

即

k2<1.

于是

解得

評注直線與圓錐曲線的位置關系是解析幾何中常見的問題背景，這里給出的2種解法是解決此類問題的常用途徑，建議在復習教學時給予重視并滲透．解法1側(cè)重于將直線與橢圓的位置關系轉(zhuǎn)化為二元二次方程組的解的情況，根據(jù)對方程根的分析解決變量范圍；解法2側(cè)重于分析在問題背景下關鍵點(線段MN的中點P)與橢圓位置關系，由此得到變量范圍．

4.3 設參再消參求解定值問題

例3如圖3，M是拋物線y2=x上的一點，動弦ME,MF分別交x軸于點A,B，且MA=MB．

圖3

(1)若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值；

(2)若M為動點，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程．

分析本題主要考查直線的方程、斜率以及直線與拋物線相交等知識，所給的條件是解析幾何中的常見形式，設參是常用且有效的解題方法．

由

消去x得

ky2-y+y0(1-ky0)=0,

解得

同理可得

于是

E((1-y0)2,1-y0)，

同理可得

F((1+y0)2,-(1+y0)).

設重心G(x,y)，則

消去參數(shù)y0,得

評注解析幾何問題中的變量之間常可建立起內(nèi)在的聯(lián)系，引入恰當?shù)膮?shù)，可將其中的點、直線甚至曲線用公共的參數(shù)表示出來，最后通過代數(shù)變換消去所設參數(shù)，問題往往能得到解決．在引入?yún)?shù)時，一般可設其中具有聯(lián)接點作用的變量，有時也可大膽假設2個(甚至多個)參數(shù)．本題具有聯(lián)接點作用的變量是直線ME或MF的斜率．

4.4 分析代數(shù)式結(jié)構(gòu)求解定值問題

圖4

例4如圖4,在平面直角坐標系xOy中，過定點C(0,p)作直線與拋物線(x2=2py)(p>0)相交于點A,B．是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.

分析本題主要考查直線與拋物線相交、直線與圓相交以及點線距離等知識，可通過設點A的坐標將所考慮的弦長表示出來，通過對代數(shù)式結(jié)構(gòu)的分析來確定定值．

若弦長l為定值，則與x1的大小無關，從而

4.5 先確定再驗證求解定值問題

(1)求橢圓的方程；

(2)若k1k2=2，探究：直線AB是否經(jīng)過定點？

圖5

分析本題主要考查橢圓的基本概念、直線與橢圓的位置關系以及直線的斜率等知識，根據(jù)條件容易求得橢圓方程，條件“k1k2=2”的特殊情況易于考慮，故可先確定定點再進行驗證．

下證:對任意的k1k2=2，直線AB必經(jīng)過點Q．直線PA，PB的方程分別為

y=k1x-2,y=k2x-2.

解得

于是

同理可得

從而

由k1k2=2，得

因此Q，A，B三點共線，即直線AB經(jīng)過定點Q(0，-6).

評注對定值問題中某些易于考查其特殊情形的條件，可以通過選擇若干特殊情形先確定定值，再驗證對任意情形此值始終能適合．這樣的考慮相當于將原本未知的定值作為條件之一參與到解題過程中，使解題的方向變得明朗、清晰．

精題集粹

( )

A.(0,6) B.(3,12) C.(1,3) D.(0,12)

( )

( )

5．實數(shù)m使拋物線y2=x上存在2個點關于直線y=m(x-3)對稱，則m的取值范圍為________.

7．已知A(-2，0)，B(2，0)，動點P與A，B兩點連線的斜率分別為kPA和kPB，且滿足kPAkPB=t(t≠0且t≠-1).

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)當t<0時，曲線C的2個焦點為F1,F2，若曲線C上存在點Q使得∠F1QF2=120°，求t的取值范圍．

8．已知拋物線y2=2px(p>0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的2個點A，B.

(1)若|AB|≤2p,求a的取值范圍.

(2)若線段AB的垂直平分線交AB于點Q，交x軸于點N，求Rt△MNQ的面積.

參考答案

1．D 2．D 3．D

6．2a

7．提示:(1)軌跡C的方程為