劉 文，李 敏，白象忠，張海軍

(1.燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島 066004，liuwen1961@hotmail.com;2.燕山大學(xué)建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北秦皇島 066004)

電磁炮發(fā)射軌道受指數(shù)函數(shù)磁壓力的變形計算

劉 文1，李 敏1，白象忠2，張海軍1

(1.燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島 066004，liuwen1961@hotmail.com;2.燕山大學(xué)建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北秦皇島 066004)

為解決電磁炮發(fā)射軌道受力變形的精確計算，以利于延長導(dǎo)軌的使用壽命并提高發(fā)射精度，將某型電磁炮的發(fā)射軌道模擬為移動載荷作用下彈性基礎(chǔ)上的簡支梁，采用歐拉梁理論建立梁的力學(xué)模型，推導(dǎo)出受任意指數(shù)函數(shù)磁壓力控制方程的解析解，改變了長期以來利用均布壓力近似代替變力求解問題所造成的誤差;運用MATLAB軟件對彈性基礎(chǔ)的彈性系數(shù)、阻尼系數(shù)、軌道質(zhì)量和載荷的出口速度對梁變形的影響進行了數(shù)值分析.結(jié)果表明，彈性基礎(chǔ)的彈性系數(shù)、移動載荷的出口速度對梁變形的影響比較顯著，阻尼系數(shù)、軌道質(zhì)量的大小對梁變形沒有明顯的影響.為求解電磁炮發(fā)射軌道受任意函數(shù)的磁壓力作用時的變形以及推動電磁炮的實用化奠定了理論基礎(chǔ).

電磁炮;發(fā)射軌道;歐拉梁;指數(shù)函數(shù)磁壓力;拉格朗日方程;解析解

電磁炮是一種全新概念的武器，其技術(shù)不僅在軍事領(lǐng)域，而且在航空、航天、交通運輸、工業(yè)生產(chǎn)、科學(xué)研究等領(lǐng)域具有不可估量的應(yīng)用前景，各發(fā)達國家均從戰(zhàn)略高度予以重視并不斷加大力度開展研究.80年代以來，尤其是最近十年來，隨著新技術(shù)、新材料的不斷發(fā)展，電磁發(fā)射技術(shù)在發(fā)射裝置、發(fā)射重量、彈丸速度、大功率電源等方面的研究取得了一系列成果.美國的蘇倫斯·利弗莫爾國家實驗室和洛斯·阿拉莫斯國家實驗室曾合作，將2.2 g的彈丸加速到10 km/s的超高速.中國工程物理研究院流體物理研究所率先建造了我國第一臺電磁軌道發(fā)射試驗裝置，把0.34 g的彈丸加速到16.8 km/s.相比之下常規(guī)火炮的發(fā)射速度僅能達到2 km/s，這一速度已接近物理極限，使射程不可能更遠.相反電磁發(fā)射系統(tǒng)的推力比火藥發(fā)射的推力大10倍，能把彈丸加速到每秒幾公里至每秒幾十公里的高速度，使彈丸具有巨大的動能和極強的穿透力，從而大大提高了武器的射程和威力［1－3］.

T.Tzeng［4］采用彈性基礎(chǔ)梁作為電磁發(fā)射裝置軌道的力學(xué)模型，并給出了控制方程的數(shù)值解.胡宇偉［5］針對電磁軌道炮的工作過程進行了理論剖析、模型建立及仿真分析.王勝［6］采用了傅里葉變換研究了空間上歐拉梁表面移動荷載引起的位移場的計算.

上述的研究都將磁壓力近似為均布力并忽略了阻尼力對梁變形的影響，毫無疑問，這種情況的計算都存在力學(xué)分析和計算時的缺陷.作為高技術(shù)高精度的電磁發(fā)射裝置，工程上要求對其進行精確的理論分析與計算，然而，至今尚未有人給出其精確的解析解，“非線性問題沒有通解，而且歷史上得到的一些特解少得如同珍寶.”［7］因而推出變壓力之解析解是非常有意義的.事實上，各學(xué)科中的理論解析解，包括工程實際問題的解析解，都是非常有意義的.一方面它可以全面徹底地闡明它所表達的力學(xué)圖景，另一方面它可作為標準解，促進廣泛應(yīng)用的各種數(shù)值解的產(chǎn)生.

本文考慮了阻尼力，并將軌道作為彈性基礎(chǔ)上的簡支梁，建立了移動載荷作用下的力學(xué)模型［8－9］，利用分離變量法和計入阻力的拉格朗日方程，推導(dǎo)出控制方程的解析解，并對彈性基礎(chǔ)的彈性系數(shù)、阻尼系數(shù)、軌道的質(zhì)量以及移動載荷的出口速度對梁變形的影響進行了數(shù)值分析.

1 力學(xué)模型

圖1給出了由電源、導(dǎo)軌、電樞組成的電磁軌道發(fā)射裝置的工作原理示意圖.電流經(jīng)過導(dǎo)軌、電樞后流回電源，構(gòu)成閉合回路.流經(jīng)導(dǎo)軌、電樞的電流在它們圍成的區(qū)域內(nèi)形成強磁場，該磁場與流經(jīng)電樞的電流相互作用，產(chǎn)生強大的電磁力，該力將推動電樞和置于電樞前的發(fā)射載荷沿著導(dǎo)軌作加速運動，直至將發(fā)射載荷發(fā)射出去.

圖2為該問題的力學(xué)模型——彈性基礎(chǔ)上受隨時間變化的非線性載荷作用的簡支梁.考慮阻尼力對梁的影響，根據(jù)歐拉梁理論，得到移動載荷作用下的彈性基礎(chǔ)梁的控制方程為一個瞬時四階微分方程［10］:

其中w為梁的撓度，m=ρbh為梁的單位長度的質(zhì)量，ρ為軌道材料的密度，b和h分別為軌道梁橫截面的寬和高度，EI為該梁的抗彎剛度，k為彈性基礎(chǔ)的彈性常數(shù)，c為彈性基礎(chǔ)的阻尼系數(shù).式(1)中的函數(shù)p(x，t)=q(x)［1－(x－vt)］是指以速度v沿著軌道向前傳播的電磁力，v由Heaviside單位階躍函數(shù) H(x－ vt)表示［11］，q(x)=q(abx+c).

圖1 電磁軌道發(fā)射裝置發(fā)射原理簡圖

圖2 模擬成彈性基礎(chǔ)梁的軌道力學(xué)模型

2 齊次方程的通解

齊次方程為一個四階偏微分方程，采用分離變量法求解，目的是使問題轉(zhuǎn)換為常微分方程.

式(1)所對應(yīng)的齊次方程的通解可表示為

把式(2)代入式(1)的齊次方程得

也可以表示為如下的形式:

由式(4)假設(shè)

和

即

式(5)的解可以表示為

其中

根據(jù)簡支梁的邊界條件

式(7)的解可以表示為［12］

因此

由于 θi(x)的正交性［13］，滿足

w(x，t)可以表示成θi的線性組合，即

其中Ai，Bi可以由初始條件確定.

3 控制方程的解析解

式(1)的解析解可以由下面的計入阻力的拉格朗日方程求得，其中T為梁的動能，U為梁的總變形能，G為耗散函數(shù).

梁的動能T可以表示為［14］

梁的總變形能由梁的應(yīng)變能Ub和彈性基礎(chǔ)的應(yīng)變能Uf組成.

總的變形能U為

耗散函數(shù)G為

電磁力 p(x，t)=q(x)［1 －H(x－vt)］在虛位移δφi下所做的虛功可以表示為

其中Qi表示廣義力

將T，U，G，Qi代入計入阻力的拉格朗日方程，可以得到微分方程:

其中

式(9)的通解為

由此，式(1)的解可以表示為

由初始條件

有

因此，將式(11)的解代入到式(10)就可以得到方程(1)的解 w(x，t).由 w(x，t)可以進一步得到軌道上的彎矩和剪力，為更全面地討論電磁發(fā)射裝置的動力響應(yīng)提供依據(jù).

4 數(shù)值分析

由于電磁軌道發(fā)射裝置制作材料的差異，彈性基礎(chǔ)的彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)、軌道的質(zhì)量以及載荷的出口速度可能會對軌道的變形產(chǎn)生影響［15］，因此有必要對其作比較分析.

已知軌道材料［16］的楊氏模量E=120 GPa，彈性基礎(chǔ)的彈性系數(shù)k=2.532×1010Pa，軌道材料的質(zhì)量密度ρ=8 700 kg/m3，截面寬度b=3×10－2m，高度 h=1×10－2m，軌道長度為 L=2 m，電磁載荷q(x)=110sin(1/2)x MPa.

圖3給出了彈性基礎(chǔ)的彈性系數(shù)對梁的動態(tài)響應(yīng)［18－19］.時間 － 撓度曲線隨著彈性系數(shù) (k)的增加而呈下降的趨勢.在本文所給的計算條件下，k=2.532×1010Pa的材料在t=1×10－3s時，梁的撓度(w)為7×10－3m，而 k=5.064×1010Pa的材料在 t=1×10－3s時，梁的撓度(w)為3.4×10－3m，前者比后者增加了106%.

圖3 不同彈性基礎(chǔ)的彈性系數(shù)下的撓度變化圖

圖4給出了彈性基礎(chǔ)的阻尼系數(shù)對梁的動態(tài)響應(yīng).時間－撓度曲線隨著阻尼系數(shù)的增加而呈緩慢下降的趨勢.

圖4 不同彈性基礎(chǔ)的阻尼系數(shù)的撓度變化圖

圖5給出了軌道質(zhì)量(m)對梁的動態(tài)響應(yīng).對比鋁軌道與銅軌道，時間－撓度曲線隨著m的增加并沒有出現(xiàn)明顯的變化，因此，在選擇軌道的材料時，可以選擇性價比更優(yōu)的鋁材料.

圖5 不同軌道質(zhì)量下的撓度變化圖

圖6給出了載荷的出口速度對梁的動態(tài)響應(yīng).時間－撓度曲線隨著載荷移動速度(v)的增加而呈增加的趨勢，在本文所給的計算條件下，v=1 000 m/s的材料在t=1.6×10－3s時，梁的撓度(w)為8×10－3m，而v=1 200 m/s的材料在t=1.6×10－3s時，梁的撓度(w)為 12.5×10－3m，前者比后者減小了56%.

圖6 不同載荷出口速度下的撓度變化圖

5 結(jié)論

1)考慮了非線性磁壓力及阻尼力，將軌道看作是彈性基礎(chǔ)上的簡支梁，建立了電磁發(fā)射裝置的力學(xué)模型.

2)利用分離變量法和計入阻力的拉格朗日方程，推導(dǎo)出齊次方程的解及受指數(shù)函數(shù)分布壓力控制方程的解析解，豐富和發(fā)展了彈性力學(xué)理論，為解決電磁軌道受任意分布壓力之解析解的難題奠定了理論基礎(chǔ).

3)通過MATLAB軟件分別進行了地基的彈性系數(shù)、阻尼系數(shù)、軌道質(zhì)量和載荷的出口速度對梁變形的影響:地基彈性系數(shù)越大，梁變形的越小.載荷的出口速度越大，梁的變形越大，而梁的質(zhì)量和阻尼系數(shù)對梁的變形幾乎沒有影響.

［1］SMITHA N，ELLISR L，BEMARDEJ S，et al.Thermalmanagement and resistive rail heating of a largescale naval electro － magnetic launcher［J］.Trans on Magnetizes，2005，41(l):235 －240.

［2］FAIR H D.Progress in electromagnetic launch science and technology ［J］.Trans on Magn，2007，43(1):93－98.

［3］FAIR H D.Electromagnetic launch science and technology in the United States enters a new era ［J］.Trans on Magn，2005，41(1):158 －164.

［4］TZENG J T，SUN Wei.Dynamic response of cantilevered rail guns attributed to projectile/gun interaction-theory［J］.Transactions on Magnetics，2007，43:207 －213.

［5］胡玉偉.電磁軌道炮系統(tǒng)的建模與仿真［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2007.

［6］王勝.彈性半空間上歐拉梁表面移動荷載引起的位移場［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2007.

［7］鄭哲敏.鄭哲敏文集［M］.北京:科學(xué)出版社，1994.

［8］LIU Wen，SHAN Rui.Mathematic model and analytic solution for a cylinder subject to exponential function［J］. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2009，22(4):587 －593.

［9］LIU Zhubai，SHAN Rui，LIU Wen，et al.Solution of a hollow thick－wall cylinder subject to quadric function pressures and its limit when l→∞ ［J］.Science in China(Series E)，2004，47(2):229 －236.

［10］于艷麗.移動載荷作用下軌道系統(tǒng)和高架橋的動力響應(yīng)分析［D］.武漢:武漢理工大學(xué)，2002.

［11］TZENG J T.Structural mechanics for electromagnetic railguns［J］.Transactions on Magnetics，2005，6:247－249.

［12］朱石堅.振動理論與隔振技術(shù)［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2006:36－66.

［13］張相庭，王志賠.結(jié)構(gòu)振動力學(xué)［M］.上海:同濟大學(xué)出版社，2006:93－117.

［14］婁平，曾慶元.移動載荷作用下連續(xù)粘彈性基礎(chǔ)之承無限長梁的有有限元分析［J］.交通運輸工程學(xué)報，2003，3:1 －6.

［15］TZENG J T.Dynamic response of electromagnetic railgun due to projectile movement［J］.Transactions on Magnetics，2005，41:246 －250.

［16］JOHNSON1A J，F(xiàn)RANCIS C.Elastic waves and solid armature contact pressure in electromagnetic launchers［J］.Transactions on Magnetics，2006，3:472 －475.

Deformation calculation of electromagnetic Launcher’s rail subjected to exponential magnetic pressure

LIU Wen1，LI Min1，BAI Xiang-zhong2，ZHANG Hai-jun1

(1.School of Sciences，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China，liuwen1961@hotmail.com;2.School of Civil Engineering ＆ Mechanics，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China)

In order to accurately calculate of the force－deformation of electromagnetic launcher’s rail for the purpose of extending the rail life and improving the firing accuracy，the electromagnetic launcher’s rail was modeled as a simply supported beam on elastic foundation by moving load.The mechanical model of the beam was built by using Euler beam theory，and the analytical solution to the equation subjected to exponential magnetic pressure was derived，which can avoid the errors resulting from the uniform pressure used to replace the variable force.The influence of the elastic coefficient，the damping coefficient，the mass of rail and the load’s velocity on the deformation of beam was numerically analyzed with MATLAB.The result shows that the elastic coefficient and the load’s velocity have obvious effect on the deformation of the beam，while the damping coefficient and the mass of rail do not.The study lays a foundation for solving the electromagnetic launcher’s rail subjected to magnetic pressure of arbitrary function and promoting the practicality of the electromagnetic guns.

electromagnetic gun;launcher’s rail;Euler beam;exponential function magnetic pressure;Lagrange equation;analytical solutions

TJ399;O343.3

A

0367－6234(2010)08－1336－05

2008－11－27.

國家自然科學(xué)基金資助項目(50875230).

劉 文(1961—)，男，副教授，博士研究生.

(編輯 劉 彤)