凌 光 戴 怡 李 曦

1.天津工程師范學(xué)院,天津,300222 2.華中科技大學(xué),武漢,430074

0 引言

Bayes方法是解決小子樣問(wèn)題的一個(gè)重要方法,其核心和關(guān)鍵是如何利用先驗(yàn)信息確定先驗(yàn)分布。根據(jù)早期研究,數(shù)控系統(tǒng)失效時(shí)間服從雙參數(shù)Weibull分布。目前,雙參數(shù)先驗(yàn)分布的確定未能得到很好解決：基于1/(θβ)形式的假設(shè)的方法[1]雖然簡(jiǎn)化了雙參數(shù)相互間的關(guān)系,但在一定程度上影響了該方法的精度;獨(dú)立參數(shù)分布的截尾Γ分布和截尾Γ-1分布方法[2]計(jì)算復(fù)雜、不易操作,將對(duì)原分布的統(tǒng)計(jì)推斷的難度轉(zhuǎn)移到了參數(shù)分布計(jì)算上。

最大熵方法因充分利用了各種先驗(yàn)信息并盡量避免了引入其他不確定因素而受到重視,許多學(xué)者為之作出不懈努力。Mazzuchi等[3]將非參數(shù)的 Dirichlet函數(shù)與最大熵相結(jié)合,提出了MED先驗(yàn)分布;Kazama等[4]將最大熵方法應(yīng)用到不等式約束規(guī)劃問(wèn)題中。Agrawal等[5]提出一種基于矩約束的最大熵雙參數(shù)聯(lián)合分布的確定方法,但該研究局限于一階矩約束。目前,關(guān)于一般形式下雙參數(shù)的最大熵先驗(yàn)信息解的研究還鮮見(jiàn)報(bào)道。本文基于雙參數(shù)二階矩約束,求取了最大熵先驗(yàn)信息解析解,并將之應(yīng)用于數(shù)控系統(tǒng)可靠性評(píng)估中。

1 利用最大熵方法確定聯(lián)合先驗(yàn)分布

如上所述,數(shù)控系統(tǒng)失效時(shí)間服從雙參數(shù)Weibull分布 ,即

f(t;η,m)=m exp(-(t/η)m)/[η(t/η)m-1] t ＞0

它有η、m兩個(gè)參數(shù),其中,η為特征壽命(分布的0.632分位數(shù));m為形狀參數(shù),對(duì)密度函數(shù)形狀有很大影響。

根據(jù)二元聯(lián)合熵的定義和最大熵原理,確定雙參數(shù)聯(lián)合先驗(yàn)分布 π(η,m),滿足

參數(shù)滿足的約束條件如下：

式中,ηi、mj分別為兩參數(shù)η、m的 i階和 j階原點(diǎn)矩;k、n分別為兩參數(shù)原點(diǎn)矩的最高階數(shù),可以相同,也可以不同。

對(duì)聯(lián)合密度函數(shù)π(η,m)的求解是個(gè)泛函意義下的條件極值問(wèn)題。構(gòu)造如下輔助泛函：

式中,λ0、λ1、…、λk、c1、…、cn為拉格朗日乘子。

本文主要討論二階矩約束下雙參數(shù)聯(lián)合先驗(yàn)分布 ,對(duì)于一般的k 、n,系數(shù)λ0、λ1、…、λk、c1、…、cn可通過(guò)數(shù)值計(jì)算[6]求得。故在二階矩約束下,即當(dāng)k=n=2時(shí),先驗(yàn)函數(shù)形式為

2 雙參數(shù)二階矩先驗(yàn)分布的確定和穩(wěn)健性分析

利用最大熵方法求解雙參數(shù)聯(lián)合先驗(yàn)分布過(guò)程中,需要參數(shù)樣本的二階矩信息。由于試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)為數(shù)控系統(tǒng)失效時(shí)間,故本文利用自助法,通過(guò)構(gòu)造再生子樣來(lái)獲取兩參數(shù)η、m的二階矩估計(jì)。詳細(xì)過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)[7]。

在應(yīng)用先驗(yàn)分布前,必須分析其對(duì)后驗(yàn)統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果的影響,即分析先驗(yàn)分布的穩(wěn)健性。一種簡(jiǎn)單常用的先驗(yàn)分布穩(wěn)健性判斷方法[8-9]就是利用相對(duì)似然邊際分布函數(shù)m*(t|π)。該相對(duì)似然函數(shù)邊際分布值代表以π(η,m)為先驗(yàn)分布時(shí)現(xiàn)場(chǎng)樣本出現(xiàn)的相對(duì)概率。當(dāng)獲得現(xiàn)場(chǎng)樣本(t1,t2,…,tN)后,可計(jì)算m*(ti|π)(i=1,…,N)。如果所得值都不是非常小(一般不小于10-3),則說(shuō)明先驗(yàn)分布符合現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)條件,即可以認(rèn)為先驗(yàn)分布π(η,m)是穩(wěn)健的。

對(duì)雙參數(shù)Weibull分布,聯(lián)合先驗(yàn)分布 π(η,m)的相對(duì)似然邊際函數(shù)為

3 最大熵先驗(yàn)信息解在數(shù)控系統(tǒng)可靠性評(píng)估中的應(yīng)用

據(jù)Bayes原理,設(shè)有數(shù)控系統(tǒng)壽命數(shù)據(jù)T=(t1,t2,…,tN),則其似然函數(shù)可表示為

利用已知先驗(yàn)形式,則參數(shù)η、m聯(lián)合后驗(yàn)分布可表示為

借助于數(shù)值計(jì)算,可以得到后驗(yàn)分布的點(diǎn)估計(jì)：

最后根據(jù)Weibull分布性質(zhì)可知,數(shù)控系統(tǒng)平均后驗(yàn)無(wú)故障工作時(shí)間的估計(jì)為

設(shè)有數(shù)控系統(tǒng)失效數(shù)據(jù)30個(gè),如表1所示,利用這30個(gè)歷史數(shù)據(jù),應(yīng)用自助法生成200個(gè)容量為1000的自助樣本組,即求得η和m的參數(shù)序列,進(jìn)一步可以計(jì)算兩參數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差：

表1 數(shù)控系統(tǒng)壽命數(shù)據(jù) h

η=3811.6,m=1.4552,σ2η=7920.0,σ2m=0.0011

從而該Weibull分布尺度參數(shù)與位置參數(shù)的雙參數(shù)聯(lián)合先驗(yàn)密度函數(shù)為

設(shè)有現(xiàn)場(chǎng)數(shù)控系統(tǒng)的壽命數(shù)據(jù)20個(gè),如表2所示。利用該數(shù)據(jù)對(duì)先驗(yàn)分布的穩(wěn)健性進(jìn)行驗(yàn)證,計(jì)算出其相對(duì)似然邊際函數(shù)值亦如表2所示。從表2中數(shù)值可以看出,該先驗(yàn)分布對(duì)于所得的現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)而言,穩(wěn)健性良好,即利用該分布作為先驗(yàn)分布是可取的。將現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)形成的似然函數(shù)乘以由歷史數(shù)據(jù)求解得到的先驗(yàn)分布,得到由式(8)計(jì)算的后驗(yàn)分布,并可求出其點(diǎn)估計(jì)：

故而數(shù)控系統(tǒng)平均后驗(yàn)無(wú)故障工作時(shí)間的估計(jì)為

表2 現(xiàn)場(chǎng)數(shù)控系統(tǒng)壽命數(shù)據(jù)及其相對(duì)似然函數(shù)值

4 結(jié)語(yǔ)

最大熵方法能夠最大限度地利用歷史樣本信息,適用于產(chǎn)品壽命長(zhǎng)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)難以獲得的高可靠性產(chǎn)品的評(píng)估。本文提出的基于二階矩約束、通過(guò)最大熵原理確定的先驗(yàn)分布,經(jīng)檢驗(yàn)具有良好的穩(wěn)健性。算例表明,該方法適用于數(shù)控系統(tǒng)可靠性評(píng)估。

[1] Ferdous J,Uddin M U,Pandey M.Reliability Estimation with Weibull Inter Failure Times[J].Reliability Engineering and System Safety,1995,50：285-296.

[2] 張湘平.小子樣統(tǒng)計(jì)推斷與融合理論在武器系統(tǒng)評(píng)估中的應(yīng)用研究[D].長(zhǎng)沙：國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2003.

[3] Mazzuchi T A,Soofi E S,Soyer R.Computation of Maximum Entropy Dirichlet for Modeling Lifetime Data[J].Computational Statistics&Data Analysis,2000,32：361-378.

[4] Kazama J,Tsujii J.Maximum Entropy Models with Inequality Constraints：a Case Study on Text Categorization[J].Machine Learning,2005,60：159-194.

[5] Agrawal D,Singh J K,Kumar A.Maximum Entropy-based Conditional Probability Distribution Runoff Model[J].Biosystems Engineering,2005,90(1)：103-113.

[6] 夏新濤,陳曉陽(yáng),張永振,等.航天軸承摩擦力矩的最大熵概率分布與bootstrap推斷[J].宇航學(xué)報(bào),2007,28(5)：1395-1400.

[7] 張金槐,劉琦,馮靜.Bayes試驗(yàn)分析方法[M].長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社,2007.

[8] Berger JO.統(tǒng)計(jì)決策論及貝葉斯分析[M].賈乃光,譯.北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,1998.

[9] 余禮軍,Ben Heydecker.基于概率加權(quán)矩與最大熵原理的交通流統(tǒng)計(jì)分布估計(jì)方法[J].公路交通科技,2008,25(2)：113-133.