李方義 李光耀 李洪周 崔付剛

湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室,長沙,410082

0 引言

板料沖壓成形是現(xiàn)代產(chǎn)品制造業(yè)中一種十分重要的金屬板成形技術(shù),廣泛應(yīng)用于航空、航天、汽車、船舶等諸多領(lǐng)域。傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化方法廣泛應(yīng)用在板料沖壓成形設(shè)計中,劉偉[1]建立了板料成形工藝與模具多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計模型,以改善板料的破裂、起皺、塑性變形量不足、厚向變形不均勻以及形狀不良等缺陷為目標(biāo),實現(xiàn)車身覆蓋件的沖壓工藝多目標(biāo)優(yōu)化。劉桂萍等[2]提出一種高效的薄板沖壓成形變壓邊力多目標(biāo)優(yōu)化方法,該方法以減少沖壓件的成形缺陷為優(yōu)化目標(biāo),以變壓邊力曲線的特征參數(shù)為優(yōu)化變量。孫光永等[3]在模具的參數(shù)化模型基礎(chǔ)上,將試驗設(shè)計、代表實際沖壓過程精度較高的近似模型以及多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法相結(jié)合,獲得了一組最小化起皺和拉裂缺陷的非劣解,從而提高了板料的成形性能。上述基于沖壓成形的優(yōu)化設(shè)計,優(yōu)化模型中材料屬性及各加工參數(shù)都有一具體的值。

然而,在實際的覆蓋件沖壓成形過程中,一些參數(shù)往往無法給定精確的數(shù)值。摩擦潤滑狀態(tài)、模具幾何尺寸、材料特性等,都具有一定的波動,都存在不確定性。一些學(xué)者研究了沖壓成形的不確定多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。Shivpuri等[4]基于空間離散多種摩擦分布于沖壓模具上,研究了減少起皺和減薄的穩(wěn)健性多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。Zhang等[5]研究了針對起皺和拉裂缺陷的鋁板成形概率設(shè)計。以上方法都是基于概率設(shè)計的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計,實際中確定精確的概率密度函數(shù)較為困難。

區(qū)間數(shù)優(yōu)化是一類較新的不確定優(yōu)化方法,它利用區(qū)間描述變量的不確定性,較為容易定義不確定參數(shù)的范圍。Jiang等[6]研究了U形件變壓邊力的區(qū)間不確定優(yōu)化問題,將摩擦因數(shù)處理為區(qū)間不確定參數(shù),但其研究的只是單目標(biāo)優(yōu)化問題,且為簡單的2維U形件。而實際復(fù)雜沖壓成形問題常常涉及多目標(biāo)優(yōu)化問題,因而,區(qū)間不確定多目標(biāo)優(yōu)化算法在沖壓成形中的應(yīng)用研究顯得很有必要。

本文基于非線性區(qū)間數(shù)規(guī)劃方法,對沖壓成形的不確定多目標(biāo)優(yōu)化問題進行了研究。

1 問題描述

在本文中,工程實例研究的對象是某部件高強度鋼沖壓優(yōu)化過程,該部件的幾何模型如圖1所示。

圖1 某沖壓零部件

1.1 設(shè)計變量的選取

決定板料成形質(zhì)量的因素包括材料類因素、工藝類因素、模具類因素[1]等。但實際的生產(chǎn)中,設(shè)備對板料成形質(zhì)量的影響通常是固定的,當(dāng)沖壓材料和模具的工作型面確定后,成形件的質(zhì)量主要取決于工藝參數(shù)的選擇,因此對板料成形工藝參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計對提高產(chǎn)品的質(zhì)量具有重要意義。工藝參數(shù)以壓邊力和拉深筋阻力的設(shè)置最為重要,同時也最難以合理確定。本文選擇壓邊力和拉延筋阻力作為設(shè)計變量。

1.2 目標(biāo)函數(shù)的選取

在薄板成形優(yōu)化研究中,為提高成形質(zhì)量,有效合理構(gòu)造出能準確量化板料成形質(zhì)量好壞的目標(biāo)函數(shù)是優(yōu)化成敗的關(guān)鍵。沖壓成形中可能出現(xiàn)各種成形缺陷,其中最常見的是破裂、起皺、厚度不均、成形不足以及回彈[7]等。目標(biāo)函數(shù)反映了在給定設(shè)計變量下的板料成形性,因此,可以通過優(yōu)化設(shè)計變量達到使目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)的目的,即使板料的成形性達到最好。

本研究主要考慮與板料成形相關(guān)的破裂和起皺缺陷,因此在某一部件沖壓成形優(yōu)化過程中采用的目標(biāo)函數(shù)是最小化起皺和厚度不均。

1.2.1 起皺

本文用于判斷起皺的標(biāo)準是基于Kim[8]提出的起皺極限曲線FLD(圖2),該曲線與純剪切應(yīng)變狀態(tài)的曲線類似,其表達式為

根據(jù)式(1)定義安全起皺極限曲線如下：

式中,θ為起皺安全裕度。

基于圖2的成形極限圖,定義起皺函數(shù)為

圖2 FLD成形極限示意圖

1.2.2 厚度不均

均勻的厚向變形對成形質(zhì)量的提高十分有利[1],而對于復(fù)雜形狀的沖壓件,不同部位的厚向變形表現(xiàn)出極度的不均勻性。定義

式中,t0、ti分別為初始板料厚度和最終板料厚度。

th值越大則發(fā)生厚向不均勻的趨勢越大。

沖壓成形中,材料常數(shù)、摩擦因數(shù)等參數(shù)具有不確定性。文獻[5]表明摩擦因數(shù)對沖壓成形有重大影響,故本文選擇摩擦因數(shù)作為不確定參數(shù),可建立如下沖壓成形的不確定多目標(biāo)優(yōu)化問題：

式中,FDB為拉延筋阻力;FBH為壓邊力;μ為摩擦因數(shù),用區(qū)間描述。

式中對于任一個設(shè)計矢量x,μ的取值為一區(qū)間,而不是一個實數(shù),故用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法無法求解此問題,下文將使用非線性區(qū)間數(shù)規(guī)劃來求解以上問題。

2 非線性區(qū)間數(shù)值規(guī)劃

在區(qū)間規(guī)劃中,區(qū)間數(shù)序關(guān)系表示一個區(qū)間優(yōu)于另外一個區(qū)間,以用于區(qū)間數(shù)的排序。對于區(qū)間數(shù)A和B,文獻[9-12]定義A≤mw B的區(qū)間關(guān)系中,給出一個處理最小化問題的區(qū)間數(shù)序關(guān)系定義：

式(6)中,m表示區(qū)間中點,w表示區(qū)間半徑。用區(qū)間序關(guān)系“≤mw”比較式(1)中的目標(biāo)函數(shù),我們希望目標(biāo)函數(shù)具有最小的中點值和半徑,故式(1)可轉(zhuǎn)化為如下的確定多目標(biāo)優(yōu)化問題：

對于任一設(shè)計矢量x,目標(biāo)函數(shù)的上下界由下式獲得：

式(8)中,目標(biāo)函數(shù)中點值類似于優(yōu)化不確定性目標(biāo)函數(shù)的平均值,目標(biāo)函數(shù)半徑值類似于優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的偏差。通過目標(biāo)函數(shù)半徑值的優(yōu)化,可降低目標(biāo)函數(shù)對不確定性因素的敏感性,從而保證設(shè)計的魯棒性。

利用線性加權(quán)法,多目標(biāo)中的每個函數(shù)可轉(zhuǎn)化成如下優(yōu)化問題：

式(10)中,β為權(quán)重系數(shù),如果對每次迭代步的x都用優(yōu)化過程來求取目標(biāo)函數(shù)的上下邊界,那么勢必會造成優(yōu)化的嵌套。由于每次嵌套優(yōu)化都大量調(diào)用該模型,優(yōu)化過程會變得很耗時,而且不可接受。

3 基于近似模型的薄板沖壓成形不確定多目標(biāo)優(yōu)化

優(yōu)化設(shè)計過程需要反復(fù)地執(zhí)行有限元分析,對于具有多變量、多目標(biāo)以及非線性等特點的沖壓過程,有限元分析耗費的時間較長,特別是對于大型復(fù)雜形狀的沖壓件的模擬,所需時間更長,這將會大大降低優(yōu)化效率,根本無法滿足復(fù)雜沖壓件成形優(yōu)化設(shè)計的需要。因此,在優(yōu)化時采用近似模型替代費時的有限元模型,可大大提高優(yōu)化效率。本文采用Kriging方法來構(gòu)建近似模型。

3.1 Kriging近似模型

Kriging模型源自統(tǒng)計理論,包含了線性回歸部分和隨機部分,形式如下[13]：

?y(x)是待擬合的響應(yīng)函數(shù),其中,f(x)是確定性部分,是對設(shè)計空間的全局近似,Z(x)為一隨機函數(shù),一般服從正態(tài)分布 N(0,σ2),樣本空間的變量同分布但不獨立,兩樣本x p、x q的協(xié)方差如下式所示：

式中,R為相關(guān)矩陣。

試驗設(shè)計的主要作用是為了減少試驗次數(shù)、提高試驗精度,使研究人員從試驗結(jié)果中獲得無偏的處理效應(yīng)及試驗誤差的估計,從而來對各個試驗進行正確而有效的比較。本文選用拉丁方[14]作為試驗設(shè)計方法。該方法可以在抽取較少樣本的情況下,獲得較高的計算精度,具有效率高、自由度高等特點。

3.2 優(yōu)化設(shè)計

基于Kriging近似模型,薄板沖壓成形不確定多目標(biāo)優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為如下近似優(yōu)化問題：

式中,th(x,μ)、wr(x,μ)為通過Kriging近似模型組建目標(biāo)函數(shù)的近似模型;?fd1、?fd2分別為目標(biāo)函數(shù)1和2的近似評價函數(shù)。

圖3 求解流程圖

該算法的求解流程如圖3所示。首先采用有限元方法建立沖壓仿真模型,主要包括：建立板料和模具的單元幾何模型、采用有限元建立沖壓分析模型、設(shè)定模具與板料的定位與間隙、設(shè)定模具的運動曲線和作用曲線、給定材料性能等參數(shù)。然后確定設(shè)計變量、不確定量、目標(biāo)函數(shù)等,根據(jù)設(shè)計變量和不確定量范圍,采用拉丁方在設(shè)計空間和不確定域采樣,建立目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的Kriging近似模型。沖壓成形的設(shè)計變量通過NSGA-Ⅱ[15-16]遺傳算法產(chǎn)生,針對迭代步中的x,在不確定域內(nèi)利用序列二次規(guī)劃算法計算該近似目標(biāo)函數(shù)的上下界。從而可求得目標(biāo)函數(shù)的中點值和半徑值。在式(13)的基礎(chǔ)上,計算近似評價目標(biāo)函數(shù)值,并作為適應(yīng)度值傳給NSGA-Ⅱ。如此循環(huán)直到達到最大收斂代數(shù)為止,從而取得Pareto解集。

4 數(shù)值算例及其討論

4.1 數(shù)值算例

圖1的沖壓成形優(yōu)化問題可描述為

式(14)中,拉延筋的位置如圖4所示,μ1為板料與凸模的摩擦因數(shù),μ2為板料與壓邊圈的摩擦因數(shù)。

圖4 等效拉延筋的位置布置

有限元模型如圖5所示,該模型凸模的單元數(shù)為3216個,凹模的單元數(shù)為3881個,壓邊圈單元數(shù)為665個,板料采用沿板厚方向有7個積分點的Belytschko-Tsay殼單元,共分為7632個單元。應(yīng)用Barlat-Lian屈服準則來描述板料的各向異性。彈性模量 E=207GPa,泊松比 ν=0.3,初始板厚t0=1.5mm,厚向各向異性系數(shù)r=1.02,硬化指數(shù)為 0.1435,強化系數(shù)為1369,沖頭行程為110.8mm。模擬計算采用有限元分析軟件LS-DYNA。

4.2 結(jié)果及其討論

優(yōu)化參數(shù)設(shè)定如下：設(shè)定種群大小為50,交叉概率為0.9,終止代數(shù)為200,β=0.5。拉丁方采樣次數(shù)為50次,Kriging近似模型確定部分采用常數(shù)項。

圖5 有限元模型

由圖6可以看出,所得的Pareto最優(yōu)解分布均勻,厚度不均勻評價函數(shù) fd1在5.48～7.64范圍內(nèi),起皺評價函數(shù) f d2在1.47～1.87之間。

圖6 基于Kriging近似模型取獲得的Pareto最優(yōu)解集

表1列出了從Pareto最優(yōu)解集中均勻選擇的9個解。工程人員可根據(jù)經(jīng)驗或?qū)Τ尚钨|(zhì)量的不同要求從該Pareto最優(yōu)解集中選擇不同的解作為最優(yōu)解。

表1 部分Pareto最優(yōu)解

表2為選擇表1中第5個Pareto解集點近似解與真實解的對比情況,從中可以看出取得的解精度較高。圖7所示為采用其中的第5個解時沖壓件的成形極限圖。圖8為產(chǎn)品成形后的形狀。

表2 第5個Pareto解與真實解的對比

圖7 采用第5個解時沖壓件的成形極限圖

圖8 成形后零件照片

5 結(jié)論

本文提出了薄板沖壓成形區(qū)間不確定多目標(biāo)優(yōu)化方法。該方法以減少起皺、厚度不均等成形缺陷為目標(biāo),將摩擦因數(shù)作為不確定參數(shù),采用區(qū)間描述,并通過區(qū)間序關(guān)系來處理目標(biāo)函數(shù)。用Kriging近似模型代替有限元模型以提高優(yōu)化效率,采用混合的多目標(biāo)遺傳算法作為優(yōu)化求解器獲得Pareto解集,因而可以使設(shè)計結(jié)果在多目標(biāo)之間任意權(quán)衡,保證了覆蓋件的整體成形性最優(yōu)。最后給出了某零件沖壓成形模型優(yōu)化實例,優(yōu)化結(jié)果表明了該方法不僅能快速且有效地解決優(yōu)化控制問題,同時還能為工程人員提供多種方案,以滿足不同的產(chǎn)品要求。

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