陳少偉 成艾國(guó) 胡朝輝 何智成

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙,410082

0 引言

隨著汽車工業(yè)的發(fā)展,橡膠在各行業(yè)的應(yīng)用越來(lái)越多,如車門密封膠條、門窗密封膠條、懸架橡膠襯套等。這類材料構(gòu)件具有強(qiáng)烈的非線性行為,受力變形狀況復(fù)雜,其力學(xué)行為對(duì)汽車子系統(tǒng)的力學(xué)特性乃至整車性能有極大的影響。橡膠材料在拉伸、剪切和壓縮載荷作用下的力學(xué)響應(yīng)是彈性、黏性、Mullins效應(yīng)共同作用的結(jié)果。在加載速率低于10mm/min的條件下,多次重復(fù)測(cè)試得到的材料曲線表征了材料的超彈性力學(xué)行為[1]。為了獲取超彈性力學(xué)特性的參數(shù),通常采用對(duì)材料進(jìn)行單向和雙向拉伸、壓縮等試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)。但由于缺乏試驗(yàn)條件,國(guó)內(nèi)多數(shù)汽車零配件的供應(yīng)商并不能夠提供足以描述材料力學(xué)行為的試驗(yàn)數(shù)據(jù),通常情況下僅能提供產(chǎn)品成品在相應(yīng)試驗(yàn)條件下的相關(guān)數(shù)據(jù)(如密封膠條的壓縮載荷-行程曲線)。此外,由于 Mullins效應(yīng)的影響,超彈性材料在不同受力水平下的材料參數(shù)也不一致。

近年來(lái),不少學(xué)者使用有限元仿真、優(yōu)化算法結(jié)合試驗(yàn)的方法估算材料的性能參數(shù),如文獻(xiàn)[2]提出了根據(jù)沖壓試驗(yàn)的力-位移曲線,基于移動(dòng)最小二乘響應(yīng)面優(yōu)化算法反求板料的材料性能參數(shù)的方法。文獻(xiàn)[3]則采用遺傳算法(generic algorithm,GA)反求薄壁鋼管的材料參數(shù)。文獻(xiàn)[4]采用GA與Levenberg–Marquardt算法研究了黏塑性材料的參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題。

橡膠的力學(xué)性能表現(xiàn)為超彈性的力學(xué)特性,很難基于先驗(yàn)知識(shí)利用局部梯度搜索算法識(shí)別材料性能參數(shù)。本文將DOE(design of experiments)方法與遺傳蟻群融合算法(generic algorithm-ant colony algorithm,GA-ACA)結(jié)合起來(lái),引進(jìn)改進(jìn)的優(yōu)化策略,在保持遺傳蟻群融合算法原有優(yōu)點(diǎn)的同時(shí),進(jìn)一步提高解空間搜索的全局性。

1 超彈性本構(gòu)模型

超彈性材料在變形過(guò)程中表現(xiàn)出幾何非線性特性和材料非線性特性,通?？梢约俣ㄆ錇椴豢蓧嚎s、各向同性的彈性體。對(duì)于超彈性材料,可以以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)為基礎(chǔ),基于應(yīng)變勢(shì)能描述其力學(xué)性能,采用應(yīng)變能對(duì)應(yīng)變不變量的導(dǎo)數(shù)來(lái)表達(dá)該材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。超彈性材料的本構(gòu)方程的一般形式為

式中,U為應(yīng)變能函數(shù);I1、I2為應(yīng)變不變量;J為雅可比行列式;B為左柯西-格林應(yīng)變張量;F為變形梯度。

根據(jù)虛功原理,由式(1)可以得到

將I 1、I2、J代入上述虛功方程中進(jìn)一步推導(dǎo)可得

式中,σ為柯西應(yīng)力張量;I為單位張量。

可選用的應(yīng)變能函數(shù)有多種形式：多項(xiàng)式模型、Ogden 模型、Arruda-Boyce 模型 、Vander-Waals模型等。在本文的正問(wèn)題計(jì)算中,采用的是多項(xiàng)式模型和Ogden模型。

多項(xiàng)式模型的一般形式為

式中,f(I1-3,I2-3)為二階泰勒級(jí)數(shù);Jel為彈性體積比;Di為與溫度相關(guān)的材料參數(shù)。

當(dāng)取N=1時(shí),上述多項(xiàng)式形式可展開(kāi)為

式中,C10、C01為與材料相關(guān)的參數(shù)。

Ogden模型的一般形式為

式中,αi、μi為與溫度相關(guān)的材料參數(shù);λ1、λ2、λ3為主伸長(zhǎng)比。

2 問(wèn)題描述

參數(shù)識(shí)別是對(duì)問(wèn)題的反分析,其實(shí)質(zhì)是利用優(yōu)化方法控制、調(diào)整對(duì)正問(wèn)題敏感的幾個(gè)參數(shù),最終得到使得模型仿真結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)在最小二乘的意義下達(dá)到最小?？梢远x如下目標(biāo)函數(shù)：

式中,Ns為測(cè)量步數(shù);Np為測(cè)量點(diǎn)數(shù);sim(i,j)為仿真計(jì)算數(shù)據(jù);exp(i,j)為實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)。

對(duì)于橡膠等超彈性材料而言,需先選定應(yīng)用的超彈性本構(gòu)模型,控制其中的材料參數(shù)變量,進(jìn)行反問(wèn)題分析。以O(shè)gden模型為例：由式(8)、式(10)可推導(dǎo)得出,Ogden應(yīng)變能模型中初始剪切模量由μi決定;此外,Di決定了材料的初始體積模量;αi為另一與溫度相關(guān)的決定材料性能的參數(shù)。因此,將這三類參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量就能構(gòu)造對(duì)該應(yīng)變能模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別的反問(wèn)題。各參數(shù)的取值范圍應(yīng)以其物理意義為基礎(chǔ)界定其取值范圍,通常給予較大的取值空間以利于算法尋優(yōu)。

3 遺傳蟻群融合算法

遺傳算法[5]是模擬生物進(jìn)化過(guò)程的優(yōu)化算法,優(yōu)點(diǎn)是能在全局范圍內(nèi)搜素,無(wú)需任何初始信息,從而不易如梯度算法般選中局部?jī)?yōu)解,但由于算法的信息反饋機(jī)制的缺陷,容易在某個(gè)解空間內(nèi)做冗余迭代,從而影響了求取精確解的效率。蟻群算法[6]是基于群智能理論的仿生優(yōu)化算法,該算法使用概率搜索,無(wú)需梯度信息,適合在不提供全局集中控制的條件下尋求分布式問(wèn)題的全局最優(yōu)解,但其計(jì)算效率依賴于初始的啟發(fā)信息,求解速度相對(duì)較慢,參數(shù)設(shè)置不當(dāng)時(shí)容易陷入局部解空間。將遺傳算法與蟻群算法融合,能夠?qū)⑶罢叩娜挚焖偎阉魈匦耘c后者的正反饋機(jī)制、并行特性有機(jī)結(jié)合,從而提高新算法的性能。在本文所采用的算法中,在遺傳算法和蟻群算法融合的基礎(chǔ)上,在計(jì)算的每一個(gè)循環(huán)過(guò)程中反復(fù)引入DOE采樣方法(拉丁超立方),簡(jiǎn)化了全局搜索空間的同時(shí)也提高了搜索的全局性,同時(shí)根據(jù)算法實(shí)際運(yùn)算過(guò)程的反饋,采用了更合理的變異及交叉操作方法。

融合算法的基本思路是通過(guò)程序初始化得到一組解,計(jì)算目標(biāo)函數(shù),并以此為依據(jù)初始化蟻群的信息素,之后讓蟻群完成一次轉(zhuǎn)移,應(yīng)用遺傳算法的交叉操作和變異操作產(chǎn)生蟻群的新的旅行路徑,繼而更新信息素,如此往復(fù)直至程序退出條件被滿足。

遺傳蟻群融合算法流程如下：

(1)定義變量區(qū)間。借鑒文獻(xiàn)[7]的方法,根據(jù)各參數(shù)的物理意義可分別定義其取值范圍：xi l≤xi≤x i u,并對(duì)該區(qū)間進(jìn)行N等分,區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表 xi的一個(gè)取值可能。在蟻群算法中可以視此處的m個(gè)節(jié)點(diǎn)為m個(gè)“城市”,在每個(gè)區(qū)間中放置1只“螞蟻”,“螞蟻”只能在該區(qū)間的m個(gè)城市中移動(dòng)并留下信息素,而不能跨界移入其他區(qū)間。因此,j個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)j個(gè)區(qū)間及j只“螞蟻”。如圖1所示,圖中以黑色填充的位置表示“螞蟻”選中該“城市”,j只“螞蟻”選中的j個(gè)“城市”對(duì)應(yīng)著一組可能解。

圖1 變量取值區(qū)間離散化

(2)程序終止判斷。定義“城市”間間隔為

式中,hj為第j個(gè)區(qū)間內(nèi)間隔。

當(dāng)各取值區(qū)間內(nèi)“城市”最大間隔小于一給定值ε時(shí),程序終止,輸出最佳解。

(3)啟發(fā)信息初始化。應(yīng)用拉丁超立方采樣方法進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì),產(chǎn)生nDOE組參數(shù)變量的組合,將根據(jù)計(jì)算求得的目標(biāo)函數(shù)值在各區(qū)間內(nèi)的相應(yīng)“城市”間隔留下的額外信息素值作為啟發(fā)信息。設(shè)置所有“城市”間隔初始信息素值 τm。

定義τDOE為根據(jù)DOE獲取的額外信息素值,因此DOE過(guò)程選中的“城市”間隔的初始信息素為

τDOE通過(guò)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、對(duì)染色體進(jìn)行排序確定。

(4)“螞蟻”完成轉(zhuǎn)移。各區(qū)間的每只“螞蟻”按照概率轉(zhuǎn)移至各自區(qū)間內(nèi)的某一“城市”i,記錄i至當(dāng)前解集,完成一次轉(zhuǎn)移。程序中設(shè)定“螞蟻”完成k次轉(zhuǎn)移。

此處根據(jù)蟻群算法,定義：

式中,pij為在j區(qū)間內(nèi)選中第i個(gè)城市的概率;τij為城市i與城市j間間隔的信息素濃度值。

在程序中采用偽隨機(jī)比例規(guī)則移動(dòng)“螞蟻”,由當(dāng)前節(jié)點(diǎn)移動(dòng)至下一節(jié)點(diǎn)i滿足以下規(guī)則：

式中,Nj代表第j區(qū)間內(nèi)“城市”序號(hào)的集合;q為均勻分布于[0,1]區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)變量;q0為程序初始設(shè)定的參數(shù);J為根據(jù)概率分布計(jì)算出來(lái)的隨機(jī)數(shù)。

(6)變異操作。根據(jù)變異概率,進(jìn)行變異操作,如果變異是有利的,則接受新解。采用如下變異策略：隨機(jī)選取某只“螞蟻”,交換其左右兩側(cè)“螞蟻”所在的城市編號(hào)。如選中 x1i,則交換x2i與

(7)更新信息素。記錄當(dāng)前最佳解,并根據(jù)更新方程更新信息素(僅更新當(dāng)前最佳解),則

(8)迭代判斷。程序迭代次數(shù)小于預(yù)定迭代次數(shù)且無(wú)退化行為時(shí)回到(4)進(jìn)行下一次內(nèi)循環(huán)迭代,直至大于預(yù)定的迭代次數(shù)時(shí),程序根據(jù)當(dāng)前計(jì)算結(jié)果縮小每個(gè)取值區(qū)間的范圍,重新初始化,并進(jìn)行下一輪外循環(huán)迭代。

取值區(qū)間的縮小方式：取出每個(gè)子區(qū)間中信息素濃度最大(即當(dāng)前最好解)的行號(hào)(m1,m2,…,mN),定義縮小位數(shù)Δ,則第j個(gè)區(qū)間縮小后的取值范圍(xj1|new,x jn|new)由下式定義：

其中,Δ用以縮小間隔,作為程序初始值輸入。

程序流程圖如圖2所示。

圖2 遺傳蟻群融合算法流程圖

4 超彈性材料參數(shù)識(shí)別算例

現(xiàn)以某車型前門密封膠條為例：取膠條的一段截面(圖3),建立二維仿真模型,其中的網(wǎng)格單元采用平面應(yīng)變單元。在有限元軟件中,固定密封膠條骨架位置(約束6個(gè)自由度),使用剛體單元模擬車門法向壓縮密封膠條。車門密封膠條在車門壓覆過(guò)程中應(yīng)有壓縮與扭轉(zhuǎn)兩種狀態(tài),但在大多數(shù)區(qū)域,如窗框這樣重要的位置,法向壓縮部分占主要成分,而且,在密封膠條的圖紙上,密封膠條的性能也是以法向CLD曲線(壓縮載荷-行程曲線)衡量。因此,對(duì)于車門密封膠條,此處僅選取法向壓縮工況是足夠的。圖4為該密封膠條截面的有限元網(wǎng)格。

圖3 某車型前門密封膠條實(shí)物

圖4 模型有限元網(wǎng)格

對(duì)仿真模型中的發(fā)泡橡膠采用Ogden模型,對(duì)密實(shí)橡膠采用多項(xiàng)式模型。為簡(jiǎn)便起見(jiàn),材料模型采用一階形式,因此對(duì)兩種橡膠材料參數(shù)進(jìn)行識(shí)別共需要控制5個(gè)參數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[8]所提供的公式,橡膠硬度H A與彈性模量E有如下關(guān)系：

橡膠應(yīng)變較小時(shí),又有

根據(jù)式(19)、式(20)及密實(shí)橡膠硬度H A的取值范圍(65～75HC)(肖氏硬度),經(jīng)正問(wèn)題的仿真計(jì)算,便可以估計(jì)多項(xiàng)式模型中C10、C01的大致取值區(qū)間。對(duì)于Ogden模型的參數(shù),由于手頭缺少數(shù)據(jù)的支持,無(wú)法估算,便采用變換Ogden模型的一個(gè)及多個(gè)參數(shù),固定其余參數(shù),用DOE方法分析Ogden本構(gòu)參數(shù)對(duì)該膠條模型CLD曲線的影響變化趨勢(shì),最后根據(jù)分析結(jié)果確定大致的取值空間。各參數(shù)的取值范圍如表1所示。

表1 供識(shí)別的材料參數(shù)

遺傳蟻群融合算法的控制參數(shù)[9]包括：常數(shù)Q,螞蟻數(shù)量j,偽隨機(jī)選擇初始參數(shù)q0,衰減系數(shù)ρ,交叉區(qū)域?qū)挾菴 width,區(qū)間間隔數(shù)N,循環(huán)次數(shù)NC,DOE變量組合nDOE,交叉概率P c、變異概率Pm,全局初始信息素 τm,啟發(fā)信息最大值τDOE|max,啟發(fā)信息最小值τDOE|min,程序終止判斷值ε,區(qū)間縮小間隔Δ。各參數(shù)的初始定義值如表2所示。

表2 初始參數(shù)定義值

采用遺傳蟻群融合算法得到的目標(biāo)函數(shù)收斂曲線如圖5所示。為了對(duì)比算法的性能,本文還同時(shí)對(duì)遺傳算法做了相同工作,其收斂曲線如圖6所示。具體參數(shù)識(shí)別結(jié)果見(jiàn)表3。

圖5 遺傳蟻群融合算法收斂曲線

圖6 遺傳算法收斂曲線

經(jīng)過(guò)參數(shù)識(shí)別計(jì)算得到的材料參數(shù)曲線與目標(biāo)車門密封膠條CLD曲線對(duì)比如圖7所示。使用兩種優(yōu)化算法反分析所得的曲線在開(kāi)始階段與目標(biāo)曲線均有一定的差異,但隨著壓縮的進(jìn)一步進(jìn)行,在后半段與目標(biāo)曲線十分接近。其中遺傳蟻群融合算法的目標(biāo)函數(shù)收斂值為0.9421,優(yōu)于遺傳算法的目標(biāo)函數(shù)收斂值1.3131。

圖7 材料參數(shù)識(shí)別曲線與目標(biāo)曲線對(duì)比圖

比較上述兩種算法可知,遺傳蟻群融合算法收斂速度很快,僅僅6個(gè)大循環(huán)迭代步便獲得較理想的結(jié)果,但由于遺傳蟻群算法每次縮小變量取值區(qū)間時(shí)進(jìn)行DOE計(jì)算需要耗費(fèi)一定的計(jì)算機(jī)時(shí),在總體計(jì)算時(shí)間上遺傳蟻群算法耗時(shí)略多于遺傳算法。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種利用遺傳蟻群融合算法結(jié)合有限元技術(shù)對(duì)超彈性材料進(jìn)行參數(shù)識(shí)別的新方法。通過(guò)比較實(shí)驗(yàn)與仿真的超彈性材料力學(xué)曲線判斷反分析得到的參數(shù)與實(shí)際參數(shù)的接近程度。

由算例可知,新的遺傳蟻群融合算法可以較好地結(jié)合遺傳算法和蟻群算法各自的優(yōu)點(diǎn)。所獲取的材料力學(xué)曲線與目標(biāo)曲線較吻合,表明反問(wèn)題分析獲取的材料參數(shù)能夠較好地描述超彈性材料的力學(xué)性能。這種新的參數(shù)識(shí)別方法在工程實(shí)際應(yīng)用中具有一定的實(shí)用性。

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