魯開講 師俊平 張鋒濤

1.西安理工大學(xué)，西安，710048 2.寶雞文理學(xué)院，寶雞，721007

0 引言

最大限度地提高機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)速度，是機(jī)器人機(jī)構(gòu)的發(fā)展趨勢(shì)，機(jī)器人在最大加速或最高速度作業(yè)時(shí)，構(gòu)件的慣性力、離心力和哥氏力也隨之增大，成為阻礙機(jī)器人向高速發(fā)展的主要因素。為了評(píng)定機(jī)器人機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能，眾多學(xué)者［1－4］提出了多種動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)來量化機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)品質(zhì)?；诓煌阅苤笜?biāo)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)［5］和動(dòng)力學(xué)［6－8］優(yōu)化，改善了機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。機(jī)器人的工作空間也是衡量機(jī)器人性能的重要指標(biāo)，機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能和工作空間往往是矛盾的，為了獲得較好的動(dòng)力性能，就須以犧牲工作空間為代價(jià)。優(yōu)化設(shè)計(jì)是協(xié)調(diào)各種指標(biāo)之間的矛盾并使它們達(dá)到均衡的可行方法。本文以機(jī)構(gòu)在預(yù)定設(shè)計(jì)空間內(nèi)全局動(dòng)力學(xué)性能最優(yōu)為目標(biāo)，對(duì)機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，兼顧了機(jī)構(gòu)對(duì)工作空間和動(dòng)力學(xué)性能兩個(gè)方面的要求。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)速度及加速度分析

平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)通過相同的3條支鏈與基座相連，每條支鏈包括1個(gè)連架桿、1個(gè)連桿和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，基座和動(dòng)平臺(tái)上的轉(zhuǎn)動(dòng)副中心分別位于兩個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)上，這兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為a和b，如圖1所示。選取參考坐標(biāo)系Oxy，原點(diǎn)位于三角形A1A2A3的中心，x軸平行于A1A2。取與動(dòng)平臺(tái)固連的坐標(biāo)系Px′y′，坐標(biāo)原點(diǎn)P位于三角形C1C2C3的中心，x′軸平行于C1C2。

圖1 平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

當(dāng)已知?jiǎng)悠脚_(tái)的速度矢量，可求得該分支關(guān)節(jié)相對(duì)速度：

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的凱恩方程

在給出動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)后，所有關(guān)節(jié)的相對(duì)速度和加速度都可以由式（1）和式（2）求得，因此選取動(dòng)平臺(tái)的位姿為廣義坐標(biāo)。

2.1 構(gòu)件廣義主動(dòng)力和廣義慣性力計(jì)算

將構(gòu)件的角速度及構(gòu)件質(zhì)心的速度用獨(dú)立速度表示：

構(gòu)件對(duì)各獨(dú)立速度的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力為

其中，RG和MG分別為構(gòu)件對(duì)質(zhì)心簡(jiǎn)化的主矢和主矩；分別為構(gòu)件對(duì)質(zhì)心的慣性力和慣性力矩：

式中，m為構(gòu)件的質(zhì)量；aG為質(zhì)心的加速度；r′為質(zhì)量微元d m相對(duì)簡(jiǎn)化中心的矢徑；a′為微元d m相對(duì)簡(jiǎn)化中心的加速度。

對(duì)于長(zhǎng)度是L1，質(zhì)量是m1的輸入桿，設(shè)其上作用的驅(qū)動(dòng)力矩為τr，則有

對(duì)于動(dòng)平臺(tái)，其質(zhì)量是m，面積密度為q，其上作用的操作力偶和操作力為M、Fx、Fy，則有

式中，x′、y′為微元的局部坐標(biāo)。

2.2 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程

將所有構(gòu)件上的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力分別求和，得到機(jī)構(gòu)相對(duì)于各個(gè)獨(dú)立速度的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力：

機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

從中求得主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩矢量：

式中，V（x）為操作空間的慣性矩陣，V（x）∈R3×3；B（x）為離心力、哥氏力對(duì)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩的影響，B（x）∈ R3×3×3；F（x）為克服外界負(fù)載和補(bǔ)償重力的部分。

3 動(dòng)力學(xué)性能優(yōu)化

3.1 機(jī)構(gòu)的工作空間與設(shè)計(jì)空間

動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)可以到達(dá)的所有點(diǎn)的集合稱為可達(dá)工作空間，靈活工作空間是參考點(diǎn)可以從任何方向到達(dá)的點(diǎn)的集合。如圖2所示的平面3R機(jī)構(gòu)，末端桿能從任何方向到達(dá)P點(diǎn)的條件是機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸滿足曲柄存在的條件：L3＋L1≤L2＋L4，L3＋L2≤L1＋L4，L3＋L4≤L1＋L2且以最短桿L3為連架桿。機(jī)構(gòu)的靈活空間是以A為中心環(huán)形區(qū)域：

圖2 平面3R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈活空間即是3條支鏈（平面3R機(jī)構(gòu)）靈活空間的交集，以其內(nèi)切圓作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)空間，如圖3所示，則機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸應(yīng)滿足的條件：

圖3 機(jī)構(gòu)的靈活工作空間與設(shè)計(jì)空間

給定機(jī)構(gòu)的尺度后，設(shè)計(jì)空間的半徑可以由式（4）確定。機(jī)構(gòu)在制造或裝配時(shí)，兩轉(zhuǎn)動(dòng)副的中心距的限制條件為

3.2 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)

機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜性不僅在于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，也由于作業(yè)情況的多樣性和影響因素的可變性，在進(jìn)行軌跡規(guī)劃或?qū)嶋H控制時(shí)，必須考慮在整個(gè)設(shè)計(jì)空間以及機(jī)構(gòu)運(yùn)行速度和加速度的范圍內(nèi)，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩的最大值，它反映了機(jī)器人在工作空間的總體性能，為此定義加速性能指標(biāo)Ta、高速性能指標(biāo)Ts和綜合性能指標(biāo)Tz3個(gè)全局性能指標(biāo)：

3.3 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)

與傳統(tǒng)的串聯(lián)機(jī)器人相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)最大的不足就是工作空間相對(duì)較小。另外在工作空間中心部位，動(dòng)力學(xué)性能良好，由里向外，機(jī)構(gòu)的動(dòng)力特性變差［7，9］。對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)，就是要兼顧設(shè)計(jì)空間與動(dòng)力學(xué)性能這對(duì)矛盾的兩方面，將動(dòng)力學(xué)優(yōu)化描述成：給定機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)空間，確定一組結(jié)構(gòu)參數(shù)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)，在結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足工作空間要求的幾何約束條件下，使機(jī)構(gòu)的某種全局性能指標(biāo)在整個(gè)設(shè)計(jì)空間最優(yōu)。有實(shí)用意義的優(yōu)化模型有：

（1）對(duì)于僅在低速運(yùn)行的機(jī)構(gòu)，為了使機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)最緊湊，占用的空間最小，應(yīng)使其尺度參數(shù)的總和最小，即在滿足設(shè)計(jì)空間的約束條件式（4）和式（5）下，使

（2）對(duì)于加減速頻繁和高速運(yùn)行的機(jī)構(gòu)，使機(jī)構(gòu)的某項(xiàng)動(dòng)力性能最優(yōu)化的設(shè)計(jì)，即在滿足設(shè)計(jì)空間的約束條件式（4）和式（5）下，使

式（6）的性能指標(biāo)的含義是：在給定的結(jié)構(gòu)參數(shù)b下，使動(dòng)平臺(tái)在整個(gè)設(shè)計(jì)空間任意運(yùn)動(dòng)，對(duì)于設(shè)計(jì)空間的某一點(diǎn)，動(dòng)平臺(tái)以允許范圍的任意速度和加速度，且能從任意方向到達(dá)該點(diǎn)，3個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩的最大值作為該點(diǎn)的驅(qū)動(dòng)力矩τ，它在整個(gè)設(shè)計(jì)空間的最大值作為給定參數(shù)下的性能指標(biāo)。動(dòng)力學(xué)優(yōu)化是以結(jié)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，為了避免探索中的盲目性，采用了靈敏度分析。在迭代的每一輪，得到了一組結(jié)構(gòu)參數(shù)b（k），并且知道機(jī)構(gòu)在這組結(jié)構(gòu)參數(shù)下，動(dòng)平臺(tái)位于設(shè)計(jì)空間的一點(diǎn)x（k）時(shí)，式（6）的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩最大。求優(yōu)的目標(biāo)就是改變結(jié)構(gòu)參數(shù)b（k），使得關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τ（k）在整個(gè)設(shè)計(jì)空間下降，當(dāng)然先得在該點(diǎn)下降，為此將關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩看作結(jié)構(gòu)參數(shù)的多元函數(shù)，計(jì)算關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)各結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度：

它反映了由于結(jié)構(gòu)參數(shù)bj的變化所引起τ（k）變化的方向和變化程度。從而得到影響關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩最敏感的結(jié)構(gòu)參數(shù)，同時(shí)由靈敏度的正負(fù)號(hào)知道，改變?cè)搮?shù)將使關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩變化的方向。優(yōu)化的目標(biāo)是希望τ的絕對(duì)值下降，因而可以按照下面的準(zhǔn)則確定的變化方向：當(dāng)?shù)姆?hào)相反；當(dāng)τ（k）＜的符號(hào)一致。

由于機(jī)構(gòu)動(dòng)力性能指標(biāo)是結(jié)構(gòu)參數(shù)極其復(fù)雜的函數(shù)，無法得到靈敏度的解析表達(dá)（超出了MATLAB符號(hào)運(yùn)算能力），因而將其用差商表示：

在滿足工作空間的幾何約束的條件下，優(yōu)先考慮修改靈敏度高的參數(shù)，并以滿足約束的靈敏度構(gòu)造探索方向，沿該方向必然使關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩在x（k）處下降。探索步長(zhǎng)可以用實(shí)驗(yàn)校正法確定，其準(zhǔn)則是：步長(zhǎng)保證結(jié)構(gòu)參數(shù)修改后，機(jī)構(gòu)在預(yù)定設(shè)計(jì)空間的x（k）處關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩下降，而在x（k）以外的其他位置，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩小于τ（k）。

4 應(yīng)用實(shí)例

根據(jù)要求，機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)空間包含半徑為0.5m的圓，且在該圓內(nèi)任意一點(diǎn)，動(dòng)平臺(tái)可以從任何方向到達(dá)該點(diǎn)。動(dòng)平臺(tái)運(yùn)行的最大速度和加速度分別為，且要求每個(gè)構(gòu)件上的兩轉(zhuǎn)動(dòng)副的中心距不小于120mm，即 min（a，b，L1，L2）≥0.12m。先確定滿足設(shè)計(jì)空間的一組結(jié)構(gòu)參數(shù)：L1＝0.79m，L2＝0.675m，a＝1.36m，b＝0.25m，動(dòng)力學(xué)參數(shù)：桿AB和BC為均質(zhì)桿，直徑52mm，動(dòng)平臺(tái)為厚50mm的等邊三角形均質(zhì)板。

對(duì)于優(yōu)化模型式（8），求解困難的原因是關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩的表達(dá)式極其復(fù)雜，如果要考慮運(yùn)行速度、加速度及設(shè)計(jì)空間的所有情形，則計(jì)算式（6）時(shí)間將十分冗長(zhǎng)，在迭代求優(yōu)過程中，需要將式（6）計(jì)算多次，這將使優(yōu)化模型式（8）的求解無法實(shí)現(xiàn)。為了對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化，又不失求解的準(zhǔn)確性，作如下分析。首先由式（3）可見，在給定結(jié)構(gòu)參數(shù)前提下，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τ取決于動(dòng)平臺(tái)的位姿及運(yùn)行的速度和加速度，在機(jī)構(gòu)的每個(gè)位姿上，動(dòng)平臺(tái)的速度和加速度與主動(dòng)關(guān)節(jié)的速度和加速度之間保持式（1）和式（2）的傳遞關(guān)系，如果提高動(dòng)平臺(tái)的速度和加速度，就必須增加關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度和加速度，式（3）中，由加速度和速度引起的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩也必然隨之增大。因而將式（6）中限制運(yùn)行速度和加速度的不等式按等式處理，所得的最優(yōu)解與原問題等價(jià)。在所給的結(jié)構(gòu)參數(shù)下，讓動(dòng)平臺(tái)以最大速度和加速度沿著設(shè)計(jì)空間作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，在圓上的每一點(diǎn)處，使動(dòng)平臺(tái)從不同方向到達(dá)該點(diǎn)，計(jì)算每個(gè)方向上3個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩，取其最大值，再?gòu)乃蟹较虻淖畲笾抵腥O大值，作為該點(diǎn)的驅(qū)動(dòng)力矩。關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩在設(shè)計(jì)空間的變化規(guī)律如圖4所示，由圖4可見，使動(dòng)平臺(tái)產(chǎn)生同樣大小的速度和加速度，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)由里向外，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩遞增。因而在計(jì)算性能指標(biāo)Ta、Ts、Tz時(shí)，為了提高求解速度只需要考慮動(dòng)平臺(tái)以最大速度和加速度沿著設(shè)計(jì)空間的邊界運(yùn)行時(shí)的情形。

圖4 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩在設(shè)計(jì)空間的變化規(guī)律

以機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，b＝ （L1，L2，a，b），求解優(yōu)化模型式（7）和式（8），得到機(jī)構(gòu)不同性能指標(biāo)下的最優(yōu)尺度參數(shù)，如表1所示。與初始方案相比，各項(xiàng)性能得到了較大幅度的改善。以綜合性能的優(yōu)化結(jié)果為例，優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩在設(shè)計(jì)空間的變化比優(yōu)化前平緩，且最大值減小了56.55%，如圖5所示。

圖5 優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩在設(shè)計(jì)空間的變化曲線

L1（m）L2（m）a（m）b（m）T＊c（m）T＊a（N·m）T＊s（N·m）T＊z（N·m）初值 0.790 000 00 0.675 000 00 1.360 000 00 0.250 000 00 3.075 000 0 1393.990 60 2035.380 00 2070.998 90尺度最優(yōu) 0.569 282 03 0.569 282 03 0.986 025 40 0.120 000 00 2.244 589 5 1.292 087 2×108 9.246 817 8×1010 9.259 738 7×1010加速性能 1.014 599 60 2.008 009 20 3.236 685 70 0.142 218 52 6.401 513 0 292.994 72 1012.508 70 1029.040 10高速性能 2.174 505 80 1.283 522 80 3.627 559 20 0.120 000 00 7.205 587 8 1597.050 90 451.406 60 1939.727 40綜合性能 1.674 176 40 0.953 729 89 2.553 841 90 0.120 000 00 5.301 748 2 410.385 21 629.278 46 899.898 16

為了驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性，分別賦予機(jī)構(gòu)各種動(dòng)力性能最優(yōu)的尺度參數(shù)，使動(dòng)平臺(tái)以給定的最大加速度和最高速度經(jīng)過預(yù)定設(shè)計(jì)空間的每一點(diǎn)，得到關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩的絕對(duì)值在設(shè)計(jì)空間的分布，如圖6～圖8所示，結(jié)果顯示，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩在整個(gè)設(shè)計(jì)空間沒有十分巨大的數(shù)值，且變化平緩，變化范圍小，這預(yù)示著，在優(yōu)化所得的尺度參數(shù)下，機(jī)構(gòu)在預(yù)定的設(shè)計(jì)空間始終具有較好的動(dòng)力學(xué)性能。并且關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩的最大值始終出現(xiàn)在設(shè)計(jì)空間的邊界圓上，說明沿著設(shè)計(jì)空間的邊界計(jì)算所得的性能指標(biāo)Ta、Ts、Tz能夠衡量機(jī)構(gòu)在整個(gè)設(shè)計(jì)空間的性能。

圖6 按加速性能優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩在設(shè)計(jì)空間的變化規(guī)律

為了量化結(jié)構(gòu)參數(shù)變化引起的動(dòng)力學(xué)性能的變化程度，僅以綜合性能最優(yōu)的結(jié)果為例，使各參數(shù)以b＊為中心，在一定范圍內(nèi)變化：

圖7 按高速性能優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩在設(shè)計(jì)空間的變化規(guī)律

圖8 按綜合性能優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩在設(shè)計(jì)空間的變化規(guī)律

在滿足工作空間約束條件下，依次改變其中的一個(gè)機(jī)構(gòu)參數(shù)bj，而保持其他的參數(shù)不變，其相對(duì)變化量在滿足設(shè)計(jì)空間約束的前提下，計(jì)算機(jī)構(gòu)相應(yīng)構(gòu)型的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩，繪制關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化曲線，如圖9所示。由圖9可見，在極值點(diǎn)附近，動(dòng)力性能指標(biāo)隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化比較平緩，這意味著即使參數(shù)有擾動(dòng)，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩也不會(huì)有太大的變化，機(jī)構(gòu)的動(dòng)力性能還能保持在接近最佳的狀態(tài)。

圖9 優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩隨尺度參數(shù)的變化曲線

為了反映機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)速度及加速度對(duì)動(dòng)力學(xué)性能的影響，給定動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

計(jì)算并繪制關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩隨機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律，如圖10所示，隨著動(dòng)平臺(tái)向著設(shè)計(jì)空間的邊界運(yùn)動(dòng)及速度和加速的的增大，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩迅速增大。在給定運(yùn)動(dòng)條件下的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩比優(yōu)化所得的極小值還要小得多，這是因?yàn)椋瑑?yōu)化設(shè)計(jì)是以運(yùn)行速度和加速度及設(shè)計(jì)空間所有情形下的最壞情況為準(zhǔn)則的，對(duì)于任意指定的運(yùn)動(dòng)，機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能距離最壞情況還有較大的裕度。

圖10 給定運(yùn)動(dòng)下關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩的變化規(guī)律

在實(shí)際應(yīng)用中，還存在一些需要引起注意的情況，以尺度最優(yōu)的結(jié)果是滿足設(shè)計(jì)空間要求的最緊湊的結(jié)構(gòu)方案，但在設(shè)計(jì)空間中存在奇異位形。在按加速性能和高速性能設(shè)計(jì)的參數(shù)中，存在較長(zhǎng)的桿件（長(zhǎng)度超過2m），在應(yīng)用中，要分析構(gòu)件的彈性變形引起的振動(dòng)和位姿誤差。

5 結(jié)束語

基于凱恩方法，建立了平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛體動(dòng)力學(xué)方程，提出了量化機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的3種指標(biāo)：加速性能、高速性能和綜合性能指標(biāo)。以這些全局性能指標(biāo)為基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到了兼顧設(shè)計(jì)空間大小和動(dòng)力學(xué)性能的最優(yōu)尺度參數(shù)，對(duì)于優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩在預(yù)定設(shè)計(jì)空間的變化趨于平緩，且峰值大幅度減小。

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