李桂梅，曾喆昭

(1. 湖南商學(xué)院 計(jì)算機(jī)與電子工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410205；2. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410076)

隨著系統(tǒng)復(fù)雜程度的提高和對(duì)象不確定性因素的增多，傳統(tǒng)的PID控制已經(jīng)不再適用，而非線(xiàn)性PID控制能真實(shí)反映控制量與偏差信號(hào)之間的非線(xiàn)性，在一定程度上克服了線(xiàn)性PID控制的缺陷。近10年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多研究者將非線(xiàn)性特性引入PID控制器的設(shè)計(jì)[1-9]。目前，由多種方式合成的非線(xiàn)性 PID控制器主要有模糊系統(tǒng)[10]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11]以及基于經(jīng)驗(yàn)式的非線(xiàn)性函數(shù)設(shè)定[1-7,9,12-13]等。從原理上說(shuō)，非線(xiàn)性特性的引入可以為控制過(guò)程帶來(lái)許多益處，如補(bǔ)償被控對(duì)象的非線(xiàn)性、改善控制性能、提高控制系統(tǒng)的魯棒性等，為控制器的設(shè)計(jì)提供新的自由度，但在理論與應(yīng)用研究中較復(fù)雜[9]。在這種情況下，研究一種設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、使用方便的非線(xiàn)性PID控制器具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值?；诮?jīng)驗(yàn)式的非線(xiàn)性函數(shù)設(shè)定方法是使常規(guī)PID控制器的比例增益系數(shù)Kp、積分增益系數(shù)Ki和微分增益系數(shù)Kd成為偏差信號(hào)e(t)的非線(xiàn)性函數(shù)，即 Kp(e(t))，Ki(e(t))和 Kd(e(t))，然后，以這 3個(gè)函數(shù)來(lái)代替常規(guī)PID控制器的3個(gè)增益系數(shù)。盡管以偏差信號(hào)作為生成非線(xiàn)性函數(shù) Kp(e(t))，Ki(e(t))和Kd(e(t))的依據(jù)，但生成過(guò)程究竟符合什么樣的規(guī)律并沒(méi)有固定的公式可利用，這正是建立非線(xiàn)性PID控制器模型的關(guān)鍵。要得到非線(xiàn)性函數(shù)Kp(e(t))，Ki(e(t))和Kd(e(t))的準(zhǔn)確解析式很復(fù)雜，在此，本文作者通過(guò)分析常規(guī)PID參數(shù)隨系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程誤差變化的理想變化關(guān)系[14]，分別給出比例、積分和微分增益參數(shù)關(guān)于誤差的動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性函數(shù)，從而獲得非線(xiàn)性 PID的可用模型。

1 非線(xiàn)性PID控制器模型

Kp，Ki和Kd3個(gè)參數(shù)隨誤差e(t)變化的關(guān)系曲線(xiàn)如圖1所示[14]，這些曲線(xiàn)揭示了Kp，Ki和Kd3個(gè)參數(shù)在PID控制過(guò)程中的作用和物理意義。

圖1 PID 3個(gè)增益參數(shù)隨誤差的變化曲線(xiàn)Fig.1 PID gain parameters of three curves with error

(1) Kp的作用是減小超調(diào)，增加快速性，因而要求當(dāng)誤差|e(t)|較大時(shí)，Kp也較大；當(dāng)|e(t)|較小時(shí)，Kp也較小?？捎蓤D1構(gòu)造Kp關(guān)于誤差e(t)的動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性函數(shù)為

(2) Ki的作用是累積系統(tǒng)誤差，以減小系統(tǒng)靜態(tài)偏差，因而，要求當(dāng)|e(t)|較大時(shí)，Ki較??；當(dāng)|e(t)|較小時(shí)，Ki較大，其物理意義明確，可由圖1構(gòu)造Ki關(guān)于誤差e(t)的動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性函數(shù)為：

這里要特別指出的是：當(dāng)出現(xiàn)積分飽和情況時(shí)，通過(guò)系數(shù)w2的自適應(yīng)調(diào)整可有效避免積分飽和的情況。

(3) Kd的作用是增加系統(tǒng)阻尼，對(duì)系統(tǒng)起到提前校正、達(dá)到提高系統(tǒng)穩(wěn)定性的目的，因而要求超調(diào)(e(t)＜0)越多時(shí)，Kd越大；欠調(diào)(e(t)＜0)越多時(shí)，Kd越小；在穩(wěn)定值附近(e(t)≈0)時(shí)，Kd介于超調(diào)和欠調(diào)時(shí)的之間。因此，可由圖1構(gòu)造Kd關(guān)于誤差e(t)的動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性函數(shù)為

從形式上看，式(1)～(3)都是關(guān)于誤差信號(hào)e(t)的二次函數(shù)，但是，由于系數(shù)w1，w2和w3都是動(dòng)態(tài)系數(shù)，因此，由式(1)～(3)構(gòu)造的非線(xiàn)性函數(shù)具有高度非線(xiàn)性，最終得出的動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性PID模型為：

將式(1)～(3)代入式(4)，經(jīng)整理得：

為了便于CPU處理，將式(5)離散為

其中：T為采樣周期，是1個(gè)常數(shù)。將T分別隱含到系數(shù)w2和w3中，并設(shè)

則式(6)可簡(jiǎn)寫(xiě)為

i22微分項(xiàng)為

式(7)所示的非線(xiàn)性控制率給出了明確的物理意義：在超調(diào)(e(k)＜0且e(k)→ -1)時(shí)，非線(xiàn)性PID控制器主要由非線(xiàn)性比例項(xiàng)和非線(xiàn)性微分項(xiàng)起決定作用，而非線(xiàn)性積分項(xiàng)的作用很??；在欠調(diào)(e(k)＞0且e(k)→1)時(shí)，主要由非線(xiàn)性比例項(xiàng)起決定作用，而非線(xiàn)性微分項(xiàng)和積分項(xiàng)起的作用很小；在穩(wěn)定值附近(|e(k)|較小)時(shí)，主要由非線(xiàn)性積分項(xiàng)、微分項(xiàng)起決定作用，而非線(xiàn)性比例項(xiàng)的作用很小。這在很大程度上保證了系統(tǒng)在過(guò)渡過(guò)程中PID參數(shù)隨誤差變化的理想變化關(guān)系。

2 動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性 PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器模型算法

2.1 動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器模型

由式(7)可知，若以]1,1[)(-∈ke和u(k)分別為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出，并以動(dòng)態(tài)系數(shù)w1，w2和w3為網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，以非線(xiàn)性函數(shù) e3(k)，[1-e2(k)]s(k)和[1-e(k)+0.5e2(k)]Δe(k)為隱層神經(jīng)元激勵(lì)函數(shù)，則可得到網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為1×3×1的動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，其模型如圖2所示。其中：s1(k)=e3(k)；s2(k)=[1-e2(k)]s(k)； s3(k)= [1-e(k)+0.5e2(k)]Δe(k)； s(k)=s(k-1)+e(k)；s(-1)=0；Δe(k)=e(k)-e(k-1)，e(-1)=0。

動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性 PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器模型如圖 2所示。由圖2可知：本文研究的動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器不僅保留了常規(guī) PID控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，而且構(gòu)造了PID增益參數(shù)關(guān)于誤差信號(hào)的動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性函數(shù)。因?yàn)閣1，w2和w3是動(dòng)態(tài)權(quán)值，因而實(shí)現(xiàn)了PID增益參數(shù)的高度非線(xiàn)性，并將其分別融入到3個(gè)隱層神經(jīng)元中，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)時(shí)在線(xiàn)訓(xùn)練來(lái)獲取權(quán)值系數(shù)，有效避免了常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器隱層神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)難以確定的問(wèn)題。

2.2 動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器算法

由圖 2可知，系統(tǒng)初始誤差函數(shù)為：E(k)=r(k)-y(k)，通過(guò)比例閾值函數(shù)可得歸一化誤差信號(hào)e(k)(非線(xiàn)性PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)智能控制器的輸入信號(hào))為

定義性能指標(biāo)為：

其中：

作為一個(gè)整體，通過(guò)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出u(k) (見(jiàn)式(7))表達(dá)式中的權(quán)值系數(shù)的優(yōu)化，使性能指標(biāo)J最小。采用最速下降法，網(wǎng)絡(luò)權(quán)值訓(xùn)練算法如下：

由式(7)～(11)可得：

圖2 動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器模型Fig.2 A controller model of dynamic nonlinear PID neural network

2.3 非線(xiàn)性PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

由 式(17)～(19)可 知 ： E ( k+1)和 yu(k)=均與系統(tǒng)的未來(lái)輸出y(k+1)(未知)有關(guān)，因而，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值訓(xùn)練時(shí)會(huì)出現(xiàn)計(jì)算困難問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外許多研究者采用被控對(duì)象的模型辨識(shí)方法來(lái)解決此問(wèn)題，但是，計(jì)算量也大，實(shí)時(shí)性差，而且對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)，模型辨識(shí)不能實(shí)現(xiàn)。

若算法是收斂的，則必有|E(k+1)|＜|E(k)|，且|e(k)|＜|E(k)|，故只要滿(mǎn)足|E(k+1)|＜|e(k)|即可保證算法收斂的。據(jù)此，設(shè) E ( k + 1 )=αe(k)，且0＜α＜1。由于α可通過(guò)學(xué)習(xí)率μ來(lái)彌補(bǔ)，因此，可將α隱含在學(xué)習(xí)率μ中。

此外，用符號(hào)函數(shù)來(lái)替代 ? y(k +1)/?u(k)也是可行的。因?yàn)槠浞?hào)的正負(fù)只決定權(quán)值變化的方向，其數(shù)值只影響權(quán)值的變化速度，而權(quán)值變化速度也可通過(guò)學(xué)習(xí)率μ彌補(bǔ)。設(shè)

則式(17)～(19)可改寫(xiě)為：

α已隱含在學(xué)習(xí)率η中。為了有效避免因權(quán)值過(guò)大引起神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程中出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，通常對(duì)權(quán)值進(jìn)行歸一化處理，即

由式(21)～(23)可知，權(quán)值的計(jì)算只與當(dāng)前或歷史的系統(tǒng)輸入(r(k)和r(k-1))、輸出(y(k)和y(k-1))以及歷史控制信號(hào)(u(k-1)和u(k-2))有關(guān)，因而有效解決了權(quán)值計(jì)算問(wèn)題。由于本文研究的非線(xiàn)性PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器只涉及乘法和加法運(yùn)算，便于CPU處理，因此，計(jì)算簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，便于實(shí)際應(yīng)用。

2.4 算法收斂性

為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定工作，必須對(duì)算法的收斂性進(jìn)行理論研究，以便為確定學(xué)習(xí)率提供理論依據(jù)，避免選擇學(xué)習(xí)率的盲目性。

將E(k +1)=αe(k)和式(26)代入式(25)，并整理可得：

由式(27)知：要使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法收斂，必須有下式成立：

2.5 算法步驟

(1) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值初始化：wj=0(j=1, 2, 3)，設(shè)s(-1)=0，e(-1)=0，u(m)=0，y(m)=0(m=-1, -2, …)；

(2) 計(jì)算系統(tǒng)初始誤差：E(k)=r(k)-y(k)，由式(8)計(jì)算歸一化誤差e(k)；

(3) 分別計(jì)算累積誤差和差分：s(k)=s(k-1)+e(k)，Δe(k)=e(k)-e(k-1)；

(4) 由式(20)計(jì)算符號(hào)差商)(?kyu，并計(jì)算學(xué)習(xí)率

(5) 由式(21)～(23)遞推計(jì)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值系數(shù)w1，w2和w3，由式(24)對(duì)權(quán)值進(jìn)行歸一化處理；

(6) 由式(7)計(jì)算非線(xiàn)性PID控制器的控制率u(k)，即

(7) 返回步驟(2)重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程，以實(shí)現(xiàn)非線(xiàn)性 PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)智能控制器的在線(xiàn)實(shí)時(shí)優(yōu)化控制過(guò)程。

3 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)智能控制器的有效性，選擇文獻(xiàn)[15]中的對(duì)象A和B進(jìn)行仿真實(shí)例研究。

例1 對(duì)象A是1個(gè)一階慣性大、純滯后工藝對(duì)象，且1/＞＞Tτ，其傳遞函數(shù)為[15]

由文獻(xiàn)[15]可知：若利用常規(guī)控制算法控制該對(duì)象，則很難獲得滿(mǎn)意的控制效果。在本文算法中，使權(quán)值的初始值為0，給定學(xué)習(xí)率η=2×10-3，采樣周期為0.1 s，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)時(shí)在線(xiàn)訓(xùn)練，其仿真結(jié)果如圖3(a)所示，文獻(xiàn)[15]中的仿真結(jié)果如圖3(b)所示。

圖3 實(shí)例1仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of example 1

由圖 3可知：采用本文方法，調(diào)節(jié)時(shí)間約為400 s，而采用NOIC方法[15]則需要650 s。由圖3(b)還可知：使用傳統(tǒng)PID控制方法無(wú)法對(duì)該對(duì)象實(shí)現(xiàn)有效控制。

例2 對(duì)象B是1個(gè)非線(xiàn)性對(duì)象，其離散化方程為[15]：

其中：u(k)和y(k)分別是被控對(duì)象的輸入和輸出變量。在本文算法中，使權(quán)值的初始值為 0，給定學(xué)習(xí)率為η=2×10-4，設(shè)采樣周期為0.1 s，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線(xiàn)訓(xùn)練，其仿真結(jié)果如圖 4(a)和4(b)所示，且超調(diào)量為1.33×10-13%，穩(wěn)態(tài)誤差為0，調(diào)節(jié)時(shí)間為5 s。而文獻(xiàn)[15]中的仿真結(jié)果如圖 4(c)所示，超調(diào)量為 15%，穩(wěn)態(tài)誤差為0，調(diào)節(jié)時(shí)間為10 s。

圖4 實(shí)例2仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of example 2

4 結(jié)論

(1) 通過(guò)分析常規(guī)PID參數(shù)隨系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程誤差變化的理想變化關(guān)系，分別給出了比例、積分和微分增益參數(shù)關(guān)于誤差信號(hào)的二次非線(xiàn)性函數(shù)，不僅大大簡(jiǎn)化了3個(gè)增益參數(shù)的非線(xiàn)性函數(shù)模型，而且通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線(xiàn)訓(xùn)練使3個(gè)增益參數(shù)的非線(xiàn)性函數(shù)模型分別隨權(quán)值w1，w2和w3實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)變化，從而獲得將動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性PID控制與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制融為一體的智能控制模型。

(2) 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的非線(xiàn)性PID控制器的有效性。與傳統(tǒng)PID控制器相比，采用本文方法不僅計(jì)算量大大減小，便于實(shí)際應(yīng)用，而且超調(diào)小，調(diào)節(jié)時(shí)間短。

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