方子帆 楊 磊 杜道佳 何孔德 張 屹

三峽大學水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室,宜昌,443002

0 引言

支撐結構是一個復雜組合結構,承受著被支撐物的所有動態(tài)載荷和靜態(tài)載荷,其結構的設計對于整個裝置的性能起著重要的作用。支撐結構在傳統(tǒng)設計中,沒有考慮結構在運行過程中載荷與約束的變化,并且為保證其安全性,設計的結構剛度、強度有較大富余,這樣浪費了材料,增加了整體重量。為了改進設計方法,得到更優(yōu)的結構形式,在綜合考慮多工況的基礎上進行了多目標的結構優(yōu)化設計,在確保支撐結構強度、剛度的前提下,使得結構輕量化,達到減少材料用量,降低制造成本的目的。

結構優(yōu)化設計有設計變量、約束條件和目標函數(shù)三要素。根據(jù)設計變量的不同,可分為尺寸優(yōu)化設計、形狀優(yōu)化設計和拓撲優(yōu)化設計三個層次,尺寸優(yōu)化是選取結構元件的幾何尺寸作為設計變量;形狀優(yōu)化是選取結構的幾何特征作為設計變量;而拓撲優(yōu)化則是選取結構的相對密度作為設計變量。優(yōu)化的層次越高,優(yōu)化工作越難。Mlejnek等[1]從工程角度出發(fā)提出了結構材料密度的冪次懲罰模型,通過在0～1離散結構優(yōu)化問題中引入連續(xù)設計變量,并加入中間密度懲罰項,從而將離散結構優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為連續(xù)結構優(yōu)化問題,這一方法構成了后來密度法材料插值模型的基礎。Sigmund[2]對密度法材料插值模型進行了深入研究,從理論上研究了各種不同的密度法材料插值方法,提出了一種基于正交各向同性材料密度冪指數(shù)形式的變密度法材料密度插值理論,又稱為SIMP理論。隋允康等[3]提出了一種獨立連續(xù)映射模型方法,成功解決了多工況應力與位移約束下的桁架結構拓撲優(yōu)化問題,并嘗試將此方法推廣到連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化中,研究了位移和應力約束下的連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化問題。本文以支撐結構為對象,通過建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型,研究了多工況下結構材料的最優(yōu)布局和結構固有頻率最大化的優(yōu)化問題。

1 基于變密度法的拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

1.1 基于變密度法材料插值模型

變密度法是從均勻化方法[4]發(fā)展而來的,它定義了一個經(jīng)驗公式來表達每個單元的彈性模量與密度之間假定的函數(shù)關系,將材料的相對密度作為設計變量,結構的拓撲優(yōu)化問題就轉(zhuǎn)換為材料的分布問題。變密度法[5]通過引入懲罰因子,假想一種相對密度在0～1之間可變的材料,并在材料的彈性模量和單元相對密度之間建立起顯式的非線性函數(shù)關系,當設計變量在(0,1)之間時,對中間密度值進行懲罰,使中間密度值逐漸向0/1兩端聚集,將密度值趨近0的密度單元忽略,密度值趨于1的單元保留。

材料插值模型的懲罰函數(shù)定義為

式中,Ei(x)為第i個單元的密度;E0為單元滿材料時的彈性模量;x為材料的相對密度;p為懲罰因子。

1.2 拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

在一定材料用量條件下,以密度函數(shù)來尋找最大剛度的結構材料最佳分布形式,以結構應變能為目標函數(shù),體積為約束,相對密度為變量,基于變密度法的優(yōu)化數(shù)學模型為

式中,x為設計變量,即式(1)中的材料相對密度;n為設計域中有限單元個數(shù);C(x)為目標函數(shù),表示結構的柔順度;K為結構的總體剛度矩陣;U為結構的總體位移向量;F為結構所受的載荷向量;V為結構優(yōu)化后的體積;vi為結構單元體積;p0為給定材料用量比率;V0為初始結構體積;V*為體積上限;xmin為最小相對密度。

1.3 多工況應變能拓撲優(yōu)化函數(shù)

通過對式(2)的迭代,得到結構在體積約束下某單工況載荷作用下產(chǎn)生的最小靜態(tài)應變能,結構的靜態(tài)應變能C可以通過下式表示[6]：

可以認為應變能是結構剛度的倒數(shù),當載荷給定后,結構的應變能越小則表示系統(tǒng)的剛度越大。應變能必須與靜態(tài)子工況相關。當結構工作于多工況載荷時,每一個工況將對應一個剛度的最優(yōu)結構拓撲,不同的載荷工況將得到不同的結構拓撲。因此,多工況拓撲優(yōu)化問題屬于多目標拓撲優(yōu)化問題。用折中規(guī)劃法[7]來研究多目標優(yōu)化問題,構建的多工況拓撲優(yōu)化目標函數(shù)為

式中,m為工況數(shù);wk為第k個工況的權重;Ck(x)為第k個工況的子應變能優(yōu)化目標函數(shù);Cmkin為第k個工況子應變能目標函數(shù)的最小值,即在多目標問題中,只考慮其中一個目標函數(shù),而暫不考慮其他子目標,但仍保留所有的約束條件得到的最佳解;Cmkax由優(yōu)化迭代中第0步的初值得到。

1.4 多目標下的目標函數(shù)

多目標優(yōu)化問題的目標函數(shù)[8]是一個由子目標構成的向量,用剛度和頻率兩個子目標作為優(yōu)化主體,以體積作為約束,得到的多目標優(yōu)化目標函數(shù)：

式中,Λ(x)為設置的第一階固有頻率優(yōu)化變量;Λmax為單獨對第一階固有頻率優(yōu)化得到的最大值;Λmin為對優(yōu)化前的原模型進行分析得出的最小值。

2 模型算法與流程

2.1 子目標權重

分析層級法采用配對比較的方法,不同時比較所有的子目標,而是將子目標兩兩比較,形成配對比較矩陣。

本文中有四個子目標(三個剛度子目標A1、A2、A3和一個頻率子目標A4)的多目標優(yōu)化問題,假設這四個子目標的重要性權重分別為 α1、α2、α3、α4。先比較出各個子目標重要性權重的兩兩相互比值,然后以這些比值作為元素,建立配對比較矩陣：

其中,矩陣A的元素aij(i,j=1,2,3,4)即為子目標Ai對A j的重要性比重的比值?？梢园l(fā)現(xiàn),此比較矩陣是一對稱矩陣,對角線元素全為1,且此矩陣中的元素不具有一致性,即 aik=αi/αk≠(αi/αj)?(αj/αk),這種不一致性更加符合實際情況,且對主觀重要性的測量有“校調(diào)”作用。

將配對比較矩陣A右乘一個由所有子目標重要性權重值組成的向量 α=(α1,α2,α3,α4)T,則有：由上式可知,所有子目標重要性比重值所組成的向量α即是矩陣A的特征向量,求出此矩陣最大特征值對應的特征向量,就是所要求的各子目標的重要性的權重。

設三個剛度子目標 A1、A2、A3和頻率子目標A4相互間兩兩比值分別為

則配對比較矩陣為

求出的矩陣最大特征值為λmax=4.14,對應的特征向量為α=(0.22,0.55,0.34,0.72)T,此特征值即為四個子目標重要性的權重值。

2.2 結構拓撲優(yōu)化迭代過程

在建立的材料插值模型基礎上,基于優(yōu)化準則法的結構拓撲優(yōu)化求解流程如圖1所示。

圖1 基于變密度法的拓撲優(yōu)化流程圖

3 實例研究

以某俯仰裝置支撐結構為對象,初始結構如圖 2所示,上板長 1300mm,寬 1000mm,厚40mm,側板厚20mm,結構材料為Q235鋼。

圖2 初始結構模型

3.1 邊界條件

俯仰裝置在一個運動周期內(nèi)是一個動態(tài)的過程,受到動態(tài)載荷的作用。本文分析俯仰運動中三個典型工況,通過動力學軟件提取載荷的最大值,作為靜態(tài)載荷加載在結構上,進行靜態(tài)應變能工況優(yōu)化。三個工況分別是支架水平 0°、俯仰75°、俯仰37°。三個工況的載荷和約束情況如表1、圖 3 所示。

表1 三個工況下的載荷和約束

圖3 三個工況的載荷和約束情況

3.2 有限元模型的建立及分析結果

利用HyperWorks10.0軟件的Hypermesh前處理模塊進行有限元處理,然后在OptiStruct優(yōu)化模塊環(huán)境下進行優(yōu)化。根據(jù)支撐結構的板結構特點,將板殼結構通過抽取中面成為面單元,然后對面單元賦予厚度屬性,這樣可以提高計算結果精度和運算速度。

表2為優(yōu)化前后的結果性能指標,圖4所示為多目標評價函數(shù)的迭代歷程,圖5所示為結構拓撲優(yōu)化結果。

表2 優(yōu)化前后結構性能指標對比

圖4 多目標函數(shù)迭代歷程

4 結論

(1)經(jīng)過拓撲優(yōu)化,結構在三個工況下的靜態(tài)應變能都得到了降低,對應的剛度得到了提升,一階固有頻率得到了提升,更加遠離了共振頻率區(qū)。

圖5 拓撲優(yōu)化結果

(2)采用多目標的拓撲優(yōu)化方法,能從多個角度較為全面地考慮結構的工作狀態(tài),有效降低單一工況優(yōu)化造成的設計風險。

(3)結構多目標拓撲優(yōu)化方法適用于板殼類結構的優(yōu)化設計,具有一定的工程應用價值。

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