曹建云 王娟 朱建偉

南通大學(xué)電氣工程學(xué)院 江蘇 南通 226019

離散系統(tǒng)教學(xué)主要涉及采樣控制系統(tǒng)的采樣、復(fù)現(xiàn)過程及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、采樣控制系統(tǒng)的性能分析等。采樣時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析工具在穩(wěn)定性、動態(tài)特性、靜態(tài)特性等方面都具有一定的聯(lián)系和區(qū)別。最根本的區(qū)別就是，前者的系統(tǒng)中至少有一個以上在時間上是離散的信號，因此這種系統(tǒng)要用離散數(shù)學(xué)模型如脈沖傳遞函數(shù)去描述。由于Z變換只能反映在采樣時刻的信息，因此用這種方法去分析系統(tǒng)，只有當(dāng)采樣周期T很小時，才能使c*(t)與c(t)基本相一致。香農(nóng)采樣定理給出不失真地復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號的最低采樣頻率要求。在這里分別就MATLAB函數(shù)和Simulink模塊在離散系統(tǒng)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行討論。

1 應(yīng)用MATLAB函數(shù)對采樣系統(tǒng)進(jìn)行分析

MATLAB中提供大量函數(shù)，可以對采樣系統(tǒng)進(jìn)行分析。應(yīng)用dstep、dimpulse可以分別繪制出采樣系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)曲線，而應(yīng)用dbode、dnyquist可以分別繪制出采樣系統(tǒng)的伯德圖和奈氏曲線。

1.1 用dstep繪制離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

[c,t]＝dstep(n,d)

[c,t]＝dstep(n,d,m說明：dstep函數(shù)可以繪制多項式函數(shù)g(z)＝n(z)/d(z)表示的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線；dstep(n,d,m)函數(shù)可繪制出用戶指定的采樣點(diǎn)數(shù)為m的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線；當(dāng)帶有輸出變量引用函數(shù)時，可得到系統(tǒng)階躍響應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)，而不直接繪制出曲線。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

1.2 用dimpulse繪制離散系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)曲線

調(diào)用格式和說明均類似于dstep。

【例】畫出如圖1所示系統(tǒng)的單位階躍相應(yīng)曲線。

n＝[2.5280]，d＝[11.160.368]，dstep(n,d,100)，所得響應(yīng)曲線如圖2所示。利用圖中相關(guān)工具直接可以從圖中讀得系統(tǒng)超調(diào)量、峰值時間和調(diào)節(jié)時間等動態(tài)性能指標(biāo)。

2 用Simulink模塊對采樣系統(tǒng)進(jìn)行建模分析

圖2 例題系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

圖3 利用Simulink建模

圖4 利用Simulink中Discrete Zero-Pole對話框

圖5 例題Simulink仿真結(jié)果

MATLAB中Simulink提供現(xiàn)成的脈沖傳遞函數(shù)模塊，只要對相關(guān)參數(shù)進(jìn)行修改就可以得到對應(yīng)的離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。如上例所述系統(tǒng)，其開環(huán)模型如式①所示，除了利用MATLAB函數(shù)對其進(jìn)行建模分析，還可以應(yīng)用Simulink模塊對采樣系統(tǒng)進(jìn)行建模仿真。如圖3所示，拖動Discrete Zero-Pole模塊，參數(shù)修改如圖4，對其進(jìn)行仿真，則得到如圖5所表示的仿真結(jié)果。對比圖2，可以發(fā)現(xiàn)采用兩種方法的仿真結(jié)果是一致的。

3 離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)所有極點(diǎn)均落在z平面的單位圓內(nèi)。因此可使用roots命令求解系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)，如果所有極點(diǎn)均落在z平面的單位圓內(nèi)則系統(tǒng)穩(wěn)定。

Roots命令調(diào)用格式：r＝roots(p)。說明：p為系統(tǒng)模型特征多項式。如例題式②表示的系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式p＝[11.160.386]，調(diào)用roots(p)命令，則有：

可以看出兩個極點(diǎn)均落在z平面的單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

4 結(jié)論

離散時間系統(tǒng)是信號與系統(tǒng)課程的重要章節(jié)，涉及的數(shù)學(xué)運(yùn)算較為繁復(fù)。在離散時間系統(tǒng)分析的課堂教學(xué)中，借助科學(xué)計算軟件MATLAB能在闡述概念的同時，避免過多的手動運(yùn)算，即時給出相關(guān)結(jié)果和函數(shù)圖形，可以在有限的時間內(nèi)展現(xiàn)整個系統(tǒng)分析的流程，節(jié)省時間，改善授課效果。利用MATLAB快速方便的運(yùn)算及繪圖功能，可以直觀地表達(dá)系統(tǒng)分析理論在實(shí)踐中的應(yīng)用，達(dá)到很好的教學(xué)效果。

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