李晶晶， 水樹良， 張旭楊

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

在2個種群的相互作用中,捕食與被捕食系統(tǒng)是數(shù)學生態(tài)模型研究中一個重要的課題[1].在許多情況下,特別是當捕食者不得不搜索食物時,更切實際且更一般的捕食者-食餌2個種群模型應符合“比率依賴”理論[2-3].文獻[2]對一類基于比率的Leslie型捕食模型在無收獲條件下的情形做了定性分析;文獻[4]討論了帶有Holling Ⅲ型功能反應的捕食與被捕食模型在非線性狀態(tài)反饋收獲下的性態(tài).這些研究具有實際意義和理論價值,對可再生資源的合理利用與管理提供了幫助.

基于比率的捕食與被捕食收獲的Leslie模型的一般形式為

(1)

(2)

式(2)中:r,p分別表示食餌和捕食者的內(nèi)稟增長率;k表示沒有捕食者時食餌的容納量;m表示每個捕食者的最大取食率;q表示為了維持捕食者在某種平衡狀態(tài)時所需食餌的比例常數(shù);a,b,r,k,m,p,q,h均為正常數(shù),c為待定參數(shù),且設食餌的內(nèi)稟增長率r>b,捕食者的內(nèi)稟增長率p>h.

1 平衡點

(3)

當y≠0時

系統(tǒng)(3)的Jacobi矩陣為

在E1(x1,0)處,系統(tǒng)(3)的Jacobi矩陣及特征方程為

同理可得,E2(x2,0)是不穩(wěn)定結點,E3(x3,0)是鞍點.歸納得定理2.

2 極限環(huán)的不存在性

接下來討論極限環(huán)的不存在性問題.先給出2個極限環(huán)不存在的充分條件.

證明 對于系統(tǒng)(3)作線性變換x=σu,y=σv,τ=σt,得到的系統(tǒng)仍用x,y,t表示,則

3 分支與極限環(huán)的存在性

接下來給出系統(tǒng)(3)的正平衡點由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的分支值,并討論極限環(huán)的存在性.

1)當cs<0時,系統(tǒng)(3)在唯一正平衡點E4(x4,y4)處的Jacobi矩陣及特征方程為

由于ξ>0,所以當φ<0時,特征根具有負實部,從而E4為穩(wěn)定的正平衡點;當φ>0時,特征根具有正實部,從而E4為不穩(wěn)定的正平衡點.

圖1 外境界線

由此得定理7和定理8.

類似于E4的情形,以下證明正平衡點E6外圍也至少存在1個極限環(huán).

圖2 外境界線

證明 類似于定理5,故略.

-(x-xP1)(x-xP2)>0,xP1

由定理6與定理9知,在一定條件下,該生態(tài)系統(tǒng)中的2個種群會產(chǎn)生生物性振蕩現(xiàn)象.人為調(diào)整控制參數(shù)能使x種群與y種群長期共存,并最終穩(wěn)定在一個極限環(huán)上.

參考文獻：

[1]陳蘭蓀.數(shù)學生態(tài)學模型與研究方法[M].北京:科學出版社,1988:129-265.

[2]黃旭玲,周盛凡.一個基于比率確定的捕食系統(tǒng)的定性分析[J].上海大學學報:自然科學版,2005,11(6):606-610.

[3]Hsu S B.Global analysis of the Michaelis-Menten-type ratio-dependent predator-prey system[J].Mathematical Biology,2001,42(6):489-506.

[4]程榮福,李輝.具有Holling Ⅲ型功能反應的捕食與被捕食收獲模型的分支與極限環(huán)[J].東北師范大學學報:自然科學版,2007,39(1):17-21.