孫 琳

(廣東工業(yè)大學 應用數學學院，廣州 510090)

0 引言

近年來，為了體現金融資產的長期記憶性，眾多學者采用分數布朗運動來刻畫金融資產的價格行為模式[1～3]。從而如何估計模型的參數成了近年來國內外學者關注的問題。文[4]和[5]對標的資產服從幾何布朗運動下的參數估計進行了研究。文[6～8]對分數布朗運動模型進行了參數估計。上述研究都是在連續(xù)情況下對參數進行估計。對于離散情形的參數估計，主要有兩種方法。一種是先求出連續(xù)時間樣本的參數估計量，然后用離散時間樣本逼近[9]；另一種方法是給出過程的離散化形式，然后求出參數估計量[10]。然而分數布朗運動既不是馬氏過程也不是鞅，從而使得傳統的空間狀態(tài)轉移模型以及卡爾曼濾波方法不能對其進行參數估計。本文擬采用極大似然方法對離散模式下帶有漂移項的分數布朗運動進行參數估計，并研究估計量均方收斂性和一致收斂性。

本文采用隨機游走逼近分數布朗運動，從而將傳統的鞅方法應用與分數布朗運動下的參數估計。具體來說主要將做以下三方面的工作。首先采用極大似然方法，在利用隨機游走逼近分數布朗運動的條件下，推到出帶漂移項的分數布朗運動的參數估計量。其次，利用分數布朗運動的性質證明該估計量在一定條件下滿足均方收斂和一致收斂。最后，給出數值算例，比較本文結果與已有結果，說明本文給出的估計量的精確性。

1 參數估計及一致收斂性

為了體現標的資產的長期記憶性，近年來，許多學者采用幾何分數布朗運動刻畫金融資產的價格變化過程，即t時刻標的資產的價格行為模式滿足以下過程：

由文獻[11]知在L1空間中采用黎曼求和可得該隨機微分方程(1)的解可以表示為

其中，S0表示初始時刻標的資產的價格。由此估計模型(1)的參數等價于估計下面模型的參數：

從而可以容易對參數σ進行估計。不失一般性，本文假設波動率σ=1。同時，很多文獻對赫斯特指數H進行了參數估計研究，所以本文著重研究漂移參數μ。即本文研究下面模型的參數估計

文獻[10]給出了模型(3)的參數μ估計，本文旨在給出參數μ的另外一種形式的估計量，并研究估計量的統計性質。為了研究的需要，這里首先給出文獻[12]中的引理。

引理1[12]分數布朗運動可以采用下面的隨機游走逼近

其中ξi為獨立同分布均值為零方差為1的隨機變量，表示不超過 x 的最大整數，，且

首先，離散化模型(3)，我們有

將(4)代入(5)中即有

利用(5)，對于每一個 j∈{1，…，Nα}，每個 ξi可以表示為Yi，…，Yj與 μ 的函數。 因此我們有

其中A=(aij)=進一步我們可以得到

根據(7)和(8)，對于 j∈{1，…，Nα}，有

其中函數gj和hj依賴于aij和fij。 從而有

這里我們假設隨機變量ξi滿足標準正態(tài)分布N(0，1)。從而易得轉移密度函數為

因此似然函數可以表述為

故得到參數μ的極大似然估計量為

定理1 μ的極大似然估計量(由式(10)給出)是無偏的，而且在L2空間中滿足均方收斂。

證明：由式(10)，顯然μ^為無偏估計量。同時由于

根據ξj的獨立性，我們有

我們得到gj滿足下面關系

從1到Nα-1求和我們得到

因此

從而

另一方面，我們有

將 Nα-1改為 Nα

再由柯西不等式可得

其中C為一個正數。即

從而有 E|μ^-μ|2≤CN(2-2H)(1-α)，定理證畢。

定理2 μ的極大似然估計量(由式(9)給出)強收斂，即滿足

證明：要證明(12)，利用 Borel-Cantelli定理，只需證明:存在ε使得

取0＜ε＜1-H，則由Chebyshev不等式以及Nelson's hypercontractivity不等式[13]，立即得到

對于足夠大的 p，我們有 2pε+(p-Hp)(1-α)＜-1 如果 α＞-1。從而(13)式成立，再根據Borel-Cantelli定理易得(12)式也成立，定理證畢。

2 算例

為了說明本文提出的估計量的準確性，我們對本文提出的估計量進行數值分析。首先根據文獻[14]的算法產生分數布朗運動，繼而得到不同的赫斯特指數下模型(3)的路徑如圖1、圖 2。

同時，我們根據不同赫斯特指數，對比文獻[10]和本文提出的估計量。對于每次模擬，設定N=200且α=1.305。然后根據估計量的表達式計算所得結果分別如表1和表2所示。其中表1給出了根據文獻 [10]結果計算的估計量均值及標準差；表2給出了根據本文結果所得的估計量均值及標準差。

從表中的結果可以看出，不同赫斯特指數下漂移參數的估計均值都非常接近實際值，且方差非常小。從而可以得出只要樣本容量足夠大的話，方差就可能接近于零。同時可以發(fā)現在同樣的前提下，本文提出的估計量比文獻[10]給出的估計量更接近真實值且方差更小，說明了本文提出的估計量的優(yōu)越性。

3 結論

本文對帶漂移項分數布朗運動下模型進行了參數估計，并研究了估計量的收斂性，進一步用數值算例說明了本文提出的估計量的精確性。對比文獻[10]和本文的估計量，可以得出以下結論：在理論方面前者提出的估計量不僅依賴于觀察量Yj，同時也依賴于模擬量ξj。而本文提出的估計量僅僅依賴于觀察量Yj。在數值模擬結果方面，本文提出的估計量比文獻[10]的估計量具有均值更接近真實值，方差更接近于零的特點。所以本文在理論和實際應用上都有所創(chuàng)新。當然，如何采用更好方法得到更高階收斂的估計量有待進一步研究。

表1 根據文獻[10]計算的不同赫斯特指數下的值

表1 根據文獻[10]計算的不同赫斯特指數下的值

μ的真實值μ的均值μ的方差μ的真實值μ的均值μ的方差H=0.55 0.1000 0.1019 0.1205 0.8000 0.8035 0.1013 H=0.60 0.2000 0.1960 0.6835 0.9000 0.9035 0.1962 H=0.65 0.3000 0.3078 0.1135 1.0000 1.0869 0.3073 H=0.70 0.4000 0.4035 0.1529 1.1000 1.1143 0.4025 H=0.75 0.5000 0.4912 0.1689 1.2000 1.1689 0.4926 H=0.80 0.6000 0.5931 0.1321 1.3000 1.3325 0.5907 H=0.85 0.7000 0.6891 0.1054 1.4000 1.4054 0.6973

表2 根據本文結果計算的不同赫斯特指數下的值

表2 根據本文結果計算的不同赫斯特指數下的值

μ的真實值μ的均值μ的方差μ的真實值μ的均值μ的方差H=0.55 0.1000 0.1014 0.0201 0.8000 0.7984 0.0962 H=0.60 0.2000 0.2009 0.0634 0.9000 0.9018 0.0375 H=0.65 0.3000 0.2989 0.0843 1.0000 1.0325 0.0156 H=0.70 0.4000 0.4003 0.0354 1.1000 1.0985 0.0364 H=0.75 0.5000 0.5013 0.0537 1.2000 1.2009 0.0658 H=0.80 0.6000 0.5976 0.0549 1.3000 1.2987 0.0954 H=0.85 0.7000 0.7012 0.0345 1.4000 1.4019 0.0648

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