范 瑜,陳 蘭

摘 要:分?jǐn)?shù)階Fourier變換是Fourier變換的一種廣義形式,揭示了信號(hào)從時(shí)域到頻域變化過程中所呈現(xiàn)的特征,運(yùn)用FrFT分析Chirp信號(hào)具有極佳的能量積聚效果。介紹分?jǐn)?shù)階Fourier變換的基本定義,給出高斯脈沖Chirp信號(hào)的FrFT以及最優(yōu)化高斯脈沖Chirp信號(hào)分析角度,對(duì)于該類信號(hào)的低噪聲檢測與參數(shù)估計(jì)具有良好的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞:Fourier變換;分?jǐn)?shù)階Fourier變換;Chirp信號(hào);高斯脈沖調(diào)制Chirp信號(hào)

中圖分類號(hào):TN911文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-373X(2009)17-069-04

Fractional Fourier Transform of Gauss Pulse Modulated Chirp Signal and

Its Analytical Representation

FAN Yu1,CHEN Lan2

(1.Changshu Institute of Technology,Changshu,215500,China;2.Software Institute,Southeast University,Suzhou,215123,China)

Abstract:Fractional Fourier transform is a version of generalized Fourier transform,which reveals the features of signal from time and frequency simultaneously.The analysis of Chirp signal using FrFT can bring excellent energy accumulation effect.The definition of fractional Fourier transform is presented.Fractional Fourier transform of Gauss pulse Chirp signal is analyzed and the design of optimal angle is also studied in Gauss pulse modulated Chirp signal analysis,which have a good future in signal detection and parameter estimation when in low signal noise ratio situation.

Keywords:Fourier transform;fractional Fourier transform;Chirp signal;Gauss pulse modulated Chirp signal

0 引 言

Fourier變換(Fourier Transform,FT)作為最主要的信號(hào)分析工具主要用于處理頻率不隨時(shí)間變化的平穩(wěn)信號(hào),在時(shí)頻平面時(shí)間軸與頻率軸相互垂直,即Fourier變換是從時(shí)間域旋轉(zhuǎn)π/2到頻率域。但是Fourier變換通常無法表述信號(hào)的時(shí)頻域性質(zhì),不能表示某種頻率分量發(fā)生在哪個(gè)時(shí)間,而這種性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號(hào)最關(guān)鍵的性質(zhì),這對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)十分重要。分?jǐn)?shù)階Fourier變換(Fractional Fourier Transform,FrFT)是Fourier變換的一種推廣形式,揭示了信號(hào)從時(shí)間域到頻率域變化過程中所呈現(xiàn)的特征,即從時(shí)間域和頻率域同時(shí)表示信號(hào)旋轉(zhuǎn)π/2分?jǐn)?shù)倍時(shí)的特征,從而克服了傳統(tǒng)Fourier變換不能反映非平穩(wěn)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)量隨時(shí)間變化的缺陷[1-4]。

分?jǐn)?shù)階Fourier變換是一種線性變換,與經(jīng)典的Fourier變換有著天然的聯(lián)系,又提供了Fourier變換所不具備的某些特點(diǎn),而且它與小波變換、Wigner-Ville分布(WVD)都有密切的關(guān)系[3],因此近年來分?jǐn)?shù)階Fourier變換受到了研究者的廣泛關(guān)注,相應(yīng)的離散變換算法也相繼提出[4]。此外,有關(guān)分?jǐn)?shù)階Fourier變換應(yīng)用的研究也越來越多,如[5-10]等文獻(xiàn)就介紹了分?jǐn)?shù)階Fourier變換在信號(hào)處理和通信系統(tǒng)方面的應(yīng)用。

線性調(diào)頻(Chirp)信號(hào)是一種典型的非平穩(wěn)信號(hào),它的瞬時(shí)頻率隨時(shí)間呈線性變化,常見于雷達(dá)、聲納和移動(dòng)通信等系統(tǒng)中。對(duì)Chirp信號(hào)的研究,是非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)處理理論及方法的基礎(chǔ)。研究證明,分?jǐn)?shù)階Fourier變換就是一種很適合處理Chirp信號(hào)的變換。近年來,將分?jǐn)?shù)階Fourier變換用于線性調(diào)頻信號(hào)(包括時(shí)不變、時(shí)變幅度線性調(diào)頻信號(hào))的檢測和參數(shù)估計(jì)引起了越來越多的關(guān)注[11,12]。本文介紹了FrFT的定義、性質(zhì)和簡單應(yīng)用,分析了高斯脈沖Chirp信號(hào)的FrFT以及最優(yōu)化分析角度的選取問題。

1 分?jǐn)?shù)階Fourier變換的基礎(chǔ)

分析和處理平穩(wěn)信號(hào)最常用和最主要的方法是Fourier變換(FT)。Fourier變換建立了信號(hào)整個(gè)時(shí)域與整個(gè)頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系,其中:

X(ω)=1/2π∫∞-∞x(t)e-jωtdt(1)

x(t)=1/2π∫∞-∞X(ω)ejωtdt(2)

時(shí)域和頻域構(gòu)成了分析一個(gè)信號(hào)的兩種表達(dá)方式,Fourier變換在整體時(shí)域上將信號(hào)分解為不同的頻率分量,但它沒有將時(shí)域和頻域組合成一個(gè)域,不能提供時(shí)間和頻率的聯(lián)合信息。譜X(ω)只是顯示任一頻率ω包含在信號(hào)x(t)內(nèi)的總強(qiáng)度,無法表述信號(hào)的時(shí)頻域性質(zhì),不能表示某種頻率分量發(fā)生在哪個(gè)時(shí)間,而這種性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號(hào)中的最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。如果x(t)是由幾個(gè)非平穩(wěn)分量組成的,那么時(shí)間上的任何變化都會(huì)改變X(ω)。此時(shí),傳統(tǒng)的Fourier變換就不能滿足信號(hào)分析的要求了。

時(shí)頻分析的基本思想就是設(shè)計(jì)時(shí)間和頻率的聯(lián)合函數(shù),用它描述信號(hào)在不同時(shí)間和頻率上的能量密度或強(qiáng)度,從而克服傳統(tǒng)Fourier變換不能反映非平穩(wěn)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)量隨時(shí)間變化的缺陷。分?jǐn)?shù)階Fourier變換(FrFT)是借用時(shí)頻面的概念,以時(shí)間和頻率分別為橫軸和縱軸,旋轉(zhuǎn)一定的角度進(jìn)行的一種線性變換。

傳統(tǒng)的Fourier變換X(ω)就是x(t)旋轉(zhuǎn)π/2,即x(t)由時(shí)間軸t變到頻率軸ω的表示形式。令:

α=pπ/2(3)

并且定義線性算子:

Rα=Rpπ/2(4)

記作Fp。F2相當(dāng)于t軸連續(xù)兩次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2,得到x(-t);F3相當(dāng)于t軸連續(xù)三次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2,得到指向-ω軸的函數(shù);F4表示t軸連續(xù)四次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2,得到原函數(shù)。因此線性算子Rα有以下數(shù)學(xué)性質(zhì):

(1) 零旋轉(zhuǎn):

R0=x(t)(5)

(2) 與Fourier變換等價(jià):

Rπ/2=F[x(t)](6)

(3) 旋轉(zhuǎn)相加性:

RαRβ=Rα+β(7)

(4) 2π旋轉(zhuǎn)(恒等變換):

R2π=x(t)(8)

如果角度α以π/2的非整數(shù)倍進(jìn)行旋轉(zhuǎn),則得到函數(shù)x(t)的廣義Fourier變換,記作:

{Rαx}(u)={Fpx}(u)=Xp(u)(9)

這就是x(t)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換:

Xp(u)={Fpx}(u)=∫∞-∞x(t)Kp(t,u)dt(10)

式中:變換核Kp(t,u)定義為:

Kp(t,u)=1-jcot α2πejt2+u22cot α-jutcsc α, α≠nπ

δ(t-u), α=2nπ

δ(t+u),α=(2n+1)π(11)

式中:n為整數(shù)。

從以上的定義可以看出,分?jǐn)?shù)階Fourier變換是經(jīng)典Fourier變換的廣義形式,它包含了信號(hào)的時(shí)間域和頻率域表示。旋轉(zhuǎn)角度為π/2時(shí),即階數(shù)為1的分?jǐn)?shù)階Fourier變換就是傳統(tǒng)的Fourier變換;不旋轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)的角度為2π的整數(shù)倍則為信號(hào)本身;當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度不在以上兩個(gè)位置即p為分?jǐn)?shù)時(shí),它同時(shí)從時(shí)間域和頻率域給出了信號(hào)的特征。在討論分?jǐn)?shù)階Fourier變換時(shí),由于角度以2π為模,所以只需要考慮0≤p≤2的旋轉(zhuǎn)階數(shù)。α角度的分?jǐn)?shù)階Fourier反變換對(duì)應(yīng)著-α角度的分?jǐn)?shù)階Fourier變換,即:

x(t)=∫∞-∞Xp(u)K-p(t,u)du(12)

Fourier變換在線性系統(tǒng)分析、光學(xué)系統(tǒng)、信息處理系統(tǒng)等方面起著核心作用,并應(yīng)用于眾多的工程技術(shù)領(lǐng)域。作為廣義Fourier變換,FrFT具有比Fourier變換更普遍的特性和更廣的應(yīng)用場合,尤其是普通Fourier變換技術(shù)不能解決問題的場合,FrFT更顯其優(yōu)越性。在FrFT研究的啟示下,許多學(xué)者推廣了分?jǐn)?shù)階的概念,得到分?jǐn)?shù)階卷積和分?jǐn)?shù)階相關(guān),還把分?jǐn)?shù)階的概念應(yīng)用到Hadamard變換、Hartley變換等,得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階變換。而且,分?jǐn)?shù)階Fourier變換已應(yīng)用到圖象處理的優(yōu)化圖象恢復(fù)方面。此外,將分?jǐn)?shù)階Fourier變換算子的分?jǐn)?shù)冪推廣至復(fù)數(shù)冪也成為目前研究的一個(gè)熱點(diǎn)。

在20世紀(jì)90年代中期,分?jǐn)?shù)階Fourier變換被引入了信號(hào)處理領(lǐng)域。在信號(hào)處理中,FrFT有很多應(yīng)用,其中兩個(gè)典型的應(yīng)用是信號(hào)濾波和信號(hào)分離[5]。實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證實(shí)分?jǐn)?shù)階Fourier變換濾波的效果明顯優(yōu)于Fourier變換;特別是對(duì)于線性調(diào)頻Chirp信號(hào),分?jǐn)?shù)階Fourier變換能夠獲得最佳的能量積聚效果,是分?jǐn)?shù)階Fourier變換最合適的應(yīng)用領(lǐng)域之一。

2 高斯脈沖Chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換

線性調(diào)頻Chirp信號(hào)是一種特殊的非平穩(wěn)信號(hào),它的瞬時(shí)頻率隨時(shí)間呈線性變化,廣泛地出現(xiàn)在通信、雷達(dá)、聲納和地震勘探等系統(tǒng)中。在工程實(shí)踐中,高斯調(diào)制Chirp信號(hào)有著廣泛的應(yīng)用,而FrFT對(duì)于Chirp信號(hào)良好的檢測和分析效果自然讓我們想到能否將此分析用具引入到高斯調(diào)制的Chirp信號(hào)分析中。本文對(duì)此進(jìn)行了深入研究,給出了相關(guān)解析結(jié)果。

高斯信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)形式為:

f(t)=12πδ2e-(t-t0)22δ2(13)

這是一個(gè)服從正態(tài)分布(t0,δ)的函數(shù),它的Fourier變換和分?jǐn)?shù)階Fourier變換都具有高斯信號(hào)的形式[12]。利用已有的這些性質(zhì),可以研究高斯脈沖Chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換。

令高斯脈沖Chirp信號(hào)為:

x(t)=e-(t-t0)22δ2ej(at2+bt+c)(14)

將高斯脈沖Chirp信號(hào)寫成幅度和相位的函數(shù),得到:

x(t)=x(t)ejθ(ω)(15)

其中:

x(t)=abs(e-(t-t0)22δ2ej(at2+bt+c))=e-(t-t0)22δ2

θ(ω)=at2+bt+c(16)

式(14)所表示的高斯脈沖Chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換為:

Xp(u)=1-jcot α2πeju22cot α∫e-(t-t0)22δ2ej(at2+bt+c)ejt22cot αe-jutcsc αdt

=1-jcot α2πejceju22cot αe-t202δ2∫e-[(12δ2-ja-jcot α2)t2-(t0δ2+jb-jucsc α)t]dt

=P∫e-(M2t2-2MNt)dt(17)

其中:

P=1-jcot α2πejceju22cot αe-t202δ2

M=12δ2-ja-jcot α2

N=t0δ2+jb-jucsc α12δ2-ja-jcot α2(18)

所以式(17)化為:

Xp(u)=P∫e-(M2t2-2MNt+N2-N2)dt

=PeN2∫e-(Mt-N)2dt(19)

令Mt-N=Q,則t=Q+NM,dt=dQM,因此得到:

Xp(u)=PeN2M∫e-Q2dQ(20)

然后取積分限為(-∞,∞),由于∫∞-∞e-Q2dQ =π,所以可得:

Xp(u)=πPeN2M(21)

再將P,M,N的值代入式(21)得:

Xp(u)=1-jcot α2ejceju22cot αe-t202δ2?

112δ2-ja-jcot α2et0δ2+jb-jucsc α22δ2-j4a-j2cot α(22)

將(t0/δ2+jb-jucsc α)22/δ2-j4a-j2cot α的分子分母同時(shí)乘以2/δ2+j4a+j2cot α,則式(22)化為:

Xp(u)=1-jcot α2ejceju22cot αe-t20 2δ2112δ2-ja-jcot α2?

et0δ2+jb-jucsc α22δ2+j4a+j2cot α4δ4+(4a + 2cot α)2(23)

若t0=0,可以得到:

Xp(u)=1-jcot α2112δ2-ja-jcot α2?

ejceju22cot αe-j(4a+2cot α)(ucsc α-b)24δ4+(4a+2cot α)2e-2δ2(ucsc α-b)24δ4+(4a+2cot α)2(24)

將Chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換寫成幅度和相位的函數(shù),得到:

Xp(u)=Xp(u)ejρ(ω)(25)

因?yàn)閑jA=1,在計(jì)算Xp(u)的幅值時(shí)可以忽略所有模為1的部分,這樣就能得到:

Xp(u)=

abs1-jcotα2112δ2-ja-jcot α2e-(u-bsin α)22sin2α[1δ2+δ2(2a+cot α)2](26)

令: σ2=sin2α[1δ2+δ2(2a+cot α)2](27)

得:

Xp(u)=abs1-jcot α2

112δ2-ja-jcot α2e-(u-bsin α)22σ2(28)

由式(24)和式(25)得:

ejρ(ω)=ejc+u22cot α-(4a+2cot α)(ucsc α-b)24δ4+(4a+2cot α)2(29)

因此Xp(u)的相位:

ρ(ω)=c+u22cot α-(4a+2cot α)(ucsc α-b)24δ4+(4a+2cot α)2(30)

由式(28)可得Xp(u)具有高斯函數(shù)的形式,服從正態(tài)分布(bsin α,σ2)。當(dāng)方差σ2最小時(shí),高斯脈沖Chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換Xp(u)的能量最大,因此這時(shí)的α就是最優(yōu)化角度αopt。從式(27)可知,σ2最小時(shí),有2a+cot αopt=0,即:

αopt=-arctan12a(31)

同樣,由式(3)可知,此時(shí)Xp(u)的最優(yōu)化階數(shù)popt為:

popt=-2πarctan12a(32)

由式(31)和式(32)對(duì)比文獻(xiàn)[12]可得,Chirp信號(hào)和高斯脈沖調(diào)制Chirp信號(hào)的αopt,popt是一樣的,這說明加上高斯窗的Chirp信號(hào)(即高斯脈沖Chirp信號(hào))的最優(yōu)化參數(shù)并沒有改變。這就為高斯Chirp信號(hào)的FrFT最優(yōu)化分析奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ),可以充分利用FrFT對(duì)于LFM信號(hào)最優(yōu)的能量積聚性質(zhì),將其應(yīng)用于高斯Chirp信號(hào)的分析中,在低信噪比的環(huán)境中這一點(diǎn)更具有實(shí)際意義。

3 結(jié) 語

分?jǐn)?shù)階Fourier變換是Fourier變換的廣義形式。作為一種新的時(shí)頻分析工具,分?jǐn)?shù)階Fourier變換既與經(jīng)典的Fourier變換有著天然的聯(lián)系,又提供了Fourier變換所不具備的某些特點(diǎn),而且它與小波變換、Wigner-Ville分布(WVD)都有密切的關(guān)系[12,13],是一種很適合處理線性調(diào)頻Chirp信號(hào)等非平穩(wěn)信號(hào)的變換。

在Chirp信號(hào)的檢測和參數(shù)估計(jì)方面,分?jǐn)?shù)階Fourier變換具有重要的應(yīng)用價(jià)值。尤其是它所具有的線性特性,可以方便地用于多分量線性調(diào)頻信號(hào)的檢測和參數(shù)估計(jì)而不受交叉項(xiàng)的干擾,大量被用于恒定幅度的線性調(diào)頻信號(hào),并取得了良好的效果。事實(shí)上,時(shí)變幅度線性調(diào)頻信號(hào)在工程實(shí)際中有著更為廣泛的應(yīng)用背景,在工程實(shí)踐中,會(huì)遇到很多經(jīng)過幅度調(diào)制的線性調(diào)頻信號(hào),其中的高斯窗調(diào)制就是典型的一種。

從分析結(jié)果看,經(jīng)過高斯窗調(diào)制的Chirp信號(hào)保持了原本的特性,在FrFT這個(gè)分析工具下能夠獲得優(yōu)異的性能。

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