石月珍 ，李 淼 ，鄭仰奇

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué)水利工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410114;2.湖南省水沙科學(xué)與水災(zāi)害防治重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長(zhǎng)沙410114)

湘江流域地處濕潤(rùn)多雨地區(qū)，降雨充沛。然而，由于降水時(shí)空分布極不均勻，70%的降雨量集中在汛期，大量的水資源在春夏以洪水的形式體現(xiàn)，而且年際豐枯變化很大，容易形成非澇即旱，旱澇交替發(fā)生的局面。毛德華等[1]的研究指出，1949—1998年間，湘江流域中下游區(qū)平均1.7 a發(fā)生一次洪澇災(zāi)害。而1998年、1999年和2003年秋冬季曾遇特大干旱，湘江長(zhǎng)沙段創(chuàng)歷史最低水位，自來(lái)水廠取水頻頻告急，2009年10月6日湘潭水文站最低水位25.06 m，更是創(chuàng)歷史新低。湘江流域水資源供需矛盾十分尖銳，嚴(yán)重阻礙了長(zhǎng)株潭城市群兩型社會(huì)配套改革試驗(yàn)區(qū)的建設(shè)。很多學(xué)者和專家提出了洪水資源化的管理理念并進(jìn)行研究，取得了不少成果[2-4]。對(duì)于湘江流域，在保證防洪安全的前提下，利用流域蓄、滯洪工程對(duì)汛期洪水實(shí)行分期調(diào)度將是解決水資源供需矛盾，提高洪水資源利用效率的重要舉措。因此，對(duì)湘江流域汛期洪水進(jìn)行合理分期就顯得尤為重要。

洪水具有季節(jié)性變化規(guī)律，在洪水資源利用過(guò)程中，必須考慮這種特性。目前洪水分期的劃分一般靠經(jīng)驗(yàn)方法確定，將洪峰量級(jí)大體一致的時(shí)段劃分為一個(gè)分期，這種方法帶有主觀性。洪水流量隨季節(jié)、時(shí)間變化的過(guò)程是自然界中的一種復(fù)雜現(xiàn)象，在這種復(fù)雜現(xiàn)象的背后隱藏著特定的規(guī)律性，這種規(guī)律性在通常尺度不變規(guī)則下不易直觀觀測(cè)到，在分形理論特定尺度變換規(guī)則下，其規(guī)律性則顯而易見(jiàn)。且洪水點(diǎn)據(jù)系列具有隨機(jī)性、非線性、確定性和相似性，洪水點(diǎn)據(jù)系列的這些特性與分形理論研究的對(duì)象一致，因此可應(yīng)用分形理論進(jìn)行洪水分期的研究。

目前國(guó)內(nèi)外在分形研究中普遍的做法是在對(duì)研究對(duì)象自相似性的定性認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，根據(jù)lnNN(ε)—ln(ε)關(guān)系曲線中是否存在直線段即無(wú)標(biāo)度區(qū)來(lái)判斷是否為分形的[5-9]。本文的研究即是在上述宗旨下進(jìn)行的。

1 分形維數(shù)的計(jì)算

樣本集具有標(biāo)度不變性是以分形維數(shù)來(lái)定量的，即分形維數(shù)是一個(gè)常數(shù)。在一個(gè)洪水分期中如果分形維數(shù)Dc是相近的，那么就稱為同一洪水分期[10]。一般選用容量維進(jìn)行分維計(jì)算[11]，即對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列且對(duì)任意ε，在尺度小于ε的不規(guī)則集下，觀察ε→0時(shí)其度量 N(ε)的變化。分形維數(shù)Dc可用下式表示:

顯然當(dāng)ε≈0時(shí)，下式成立:

點(diǎn)繪lnN(ε)—ln(ε)圖形，如果曲線中間直線段存在，則可認(rèn)為此序列為分形，直線段的斜率為Dc，即計(jì)算出分形維數(shù)。

Smally等[12]在計(jì)算新赫布里底群島地震譜系列的時(shí)間分維時(shí)，引入了一個(gè)新的量NN，即相對(duì)度量:

式中:N(ε)——絕對(duì)度量;NT——?jiǎng)澐值目倳r(shí)段數(shù)，NT≈T/ε，T——研究時(shí)段總長(zhǎng);ε——時(shí)段步長(zhǎng)。作出 lnNN(ε)—ln(ε)關(guān)系圖 ，若直線段的斜率為b，則容量維Dm為:

式中:d——拓?fù)渚S，洪水流量散點(diǎn)分布在Q—t二維平面上，故d取2，則容量維Dm=2-b。

2 湘江流域洪水分期

2.1 傳統(tǒng)方法確定洪水分期

湘潭水文站是國(guó)家重要水文站和湘江干流控制站，集水面積 81 638 km2。本文以湘潭水文站1997—2007年汛期實(shí)測(cè)日流量資料(4月1日至9月10日)作為分析對(duì)象，取歷年汛期日最大流量作為研究系列樣本。

如前所述，傳統(tǒng)洪水分期的劃分一般靠經(jīng)驗(yàn)確定，即將洪水量級(jí)大體一致的時(shí)段劃分為一個(gè)分期。具體做法為:以湘潭水文站1997—2007年歷年汛期實(shí)測(cè)日最大流量數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，繪制以時(shí)間為橫軸，流量值為縱軸的流量過(guò)程散點(diǎn)圖，如圖1所示。

圖1 湘潭水文站歷年汛期實(shí)測(cè)日最大流量散點(diǎn)

從圖2—4可以看出，lnNN(ε)—ln(ε)曲線中有直線段存在，可初步斷定洪水點(diǎn)據(jù)序列為分形。此外，還可看出，汛期各分期 lnNN(ε)—ln(ε)關(guān)系曲線簇中，A，B曲線的直線段斜率大體一致，而C曲線中直線段的斜率與A，B曲線的直線段斜率相差較大。因此，可認(rèn)為B曲線對(duì)應(yīng)的時(shí)期作為一個(gè)分期。據(jù)此，本文將湘潭水文站汛期洪水分期劃分為3段。表1列出了湘潭水文站汛期洪水分期結(jié)果。按照傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析，由圖1可以看出，洪水分期分界點(diǎn)大概在5月10日，7月31日前后。如果洪水期劃分為3個(gè)洪水分期，那么第一個(gè)分期從4月1至5月9日，稱為前汛期;第二分期從5月10至7月31日，稱為主汛期;第三分期從8月1日至9月10日，稱為后汛期。

圖2 前汛期lnNN(ε)—ln(ε)曲線關(guān)系變化情況

表1 分形分析法得到的湘江湘潭水文站洪水分期結(jié)果

圖3 主汛期lnNN(ε)—ln(ε)曲線關(guān)系變化情況

圖4 后汛期lnNN(ε)—ln(ε)曲線關(guān)系變化情況

2.2 分形法確定洪水分期

在一定的切割水平下，用尺度變換法求容量維數(shù)。具體步驟為:

(1)取樣本點(diǎn)據(jù)系列:X1，X2 ，…，Xi，…，Xn。

(2)根據(jù)樣本點(diǎn)據(jù)的跨度，確定總時(shí)段長(zhǎng)T。

(3)取定能反映某一洪水分期的樣本固定值YQ。

(4)取某一時(shí)段長(zhǎng)ε作為時(shí)間尺度，量度樣本值Xi超過(guò)YQ的時(shí)段數(shù)N(ε)。

(5)根據(jù)總時(shí)段長(zhǎng)T和時(shí)間尺度ε，計(jì)算相對(duì)的時(shí)間尺度 NT=T/ε。

(6)計(jì)算相對(duì)量度值 NN(ε)=N(ε)/NT。

(7)計(jì)算 lnNN(ε)，ln(ε)，并將點(diǎn)據(jù)〔ln(ε)，lnNN(ε)〕點(diǎn)在 lnNN(ε)—ln(ε)相關(guān)圖上，獲得一個(gè)點(diǎn)。

(8)取不同的時(shí)間尺度ε，重復(fù)上述(4)—(7)步，獲得一系列點(diǎn)。

(9)在一系列點(diǎn)中，確定所存在的直線段，并求直線的斜率b，即可計(jì)算出總時(shí)段長(zhǎng)為T(mén)的樣本分形的容量維數(shù)Dm=2-b。

(10)重復(fù)上述(1)—(9)步，得到不同總時(shí)段長(zhǎng)為T(mén)的樣本分形的容量維數(shù)Dm，如Dm在某一時(shí)段T左右為基本相等，則這個(gè) T時(shí)段即為分形法確定的一個(gè)洪水分期。

圖2列出了在一定切割水平下，湘潭水文站汛期各分期lnNN(ε)—ln(ε)關(guān)系曲線的變化情況。

2.3 傳統(tǒng)方法與分形法確定洪水分期結(jié)果比較

從圖1及其分析結(jié)論對(duì)比表1可以看出，傳統(tǒng)法與分形法確定的湘潭水文站洪水分期大體一致。與傳統(tǒng)方法相比，用分形理論劃分洪水分期，其結(jié)果相對(duì)較為客觀，受經(jīng)驗(yàn)和人為影響較小，但分析計(jì)算的工作量較大。

3 結(jié)論

(1)水文現(xiàn)象的隨機(jī)性、非線性、確定性和相似性具有分形特性，以此作為應(yīng)用分形理論劃分洪水分期的依據(jù)。本文利用分形理論確定了湘江湘潭水文站汛期洪水的分期，結(jié)果比較客觀、合理。

(2)由于選取樣本、切割水平以及水文序列本身的復(fù)雜性，洪水汛期的分期可能不同，更深入的水文序列時(shí)空分布的確定性、規(guī)律性及應(yīng)用有待更深入的研究。

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