許小健,干 洪,張金輪

(1.蕪湖市勘察測繪設(shè)計研究院,安徽 蕪湖 241000;2.安徽工程科技學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

隨著軟土地區(qū)鐵路和高速公路的大力發(fā)展,軟土路基的沉降問題日益突出[1]。有關(guān)路基沉降的研究已有相當(dāng)多的報道,其中沉降預(yù)測問題一直是眾多研究者廣泛關(guān)注的問題?，F(xiàn)有的沉降預(yù)測方法主要有兩大類:一是根據(jù)固結(jié)理論基于土的本構(gòu)模型,應(yīng)用數(shù)值方法計算沉降量;二是根據(jù)實測資料推算沉降量與時間關(guān)系的預(yù)測方法。由于路基沉降影響因素的復(fù)雜性及本構(gòu)模型參數(shù)選取困難等問題,基于固結(jié)理論的沉降計算值往往與實測值差異較大。因此,如何從前期的沉降數(shù)據(jù)來推算軟土路基后期的沉降規(guī)律,這方面的研究工作具有重要意義。在第2類方法中,長期以來,常用的方法有雙曲線法[2]、修正雙曲線法[3]、指數(shù)曲線法[2]、Asaoka法[4]、灰色預(yù)測法[4]、星野法[5]等。

近來,有關(guān)研究結(jié)果表明,線性加載過程中,軟土路基的沉降可以分為4個階段[6]:沉降量線性增長階段—沉降速率不斷增加階段—沉降速率遞減階段—沉降趨于穩(wěn)定階段,即軟土路基沉降發(fā)展過程呈S形曲線。Logistic曲線的形狀也呈S形,與沉降曲線特點極為一致,因此被用來描述沉降的發(fā)生發(fā)展過程,從而在沉降的預(yù)測中得到了應(yīng)用[7]。除此之外,具有飽和增長趨勢的S形曲線如Gompertz曲線模型[8]、Weibull曲線模型[9]、Usher曲線模型[10]等幾種經(jīng)驗曲線模型也逐漸得到應(yīng)用,取得了良好的效果。然而上述幾種S形曲線模型在模型結(jié)構(gòu)上仍然存在一些不足。針對這一缺點,筆者將用于資源預(yù)測的廣義Usher模型[11]引入沉降預(yù)測中,通過對廣義Usher模型的分析,表明了 Logistic模型、Bertalanffy模型、Gompertz曲線模型[8]、Weibull曲線模型[9]、Usher曲線模型[10]均為廣義Usher模型的幾種特例,因此,廣義Usher模型具有更強的適應(yīng)性;同時,鑒于合理的優(yōu)化方法可以進一步改善模型的預(yù)測精度,本文選用筆者研發(fā)的基于并行優(yōu)進策略的差分進化算法[12](DEPES算法)來優(yōu)化模型結(jié)構(gòu)參數(shù)。實例計算結(jié)果顯示,本文給出的模型及參數(shù)優(yōu)化方法有效,可取得滿意的結(jié)果。

1 軟土路基沉降預(yù)測的廣義Usher模型

用于資源預(yù)測的廣義Usher模型是以Usher模型為基礎(chǔ)拓展建立起的一個新的生長曲線模型。其建立的微分表達式為[11]

式中:t為時間變量;α為時間t的修正因子;y為被描述事物的特征指標(biāo);r為增長速度因子,正實數(shù);β為形狀因子;L為y的上限。

對式(1)進行分離變量求解,得通解為

式中:s為沉降量;s∞為極限沉降量。

分析可知,在式(3)中,若令 c=1,a=d=-1,該模型可簡化為指數(shù)曲線沉降預(yù)測模型;令c=1,該模型可簡化為Usher沉降預(yù)測模型;若令a=-1,c=1,d=-3,該模型可簡化為Bertalanffy沉降預(yù)測模型;若令c=d=1,該模型可簡化為Logistic沉降預(yù)測模型;若令 a=d=-1,該模型可簡化為Weibull沉降預(yù)測模型;若令微分表達式(1)中α=0,β→1,由式(1)經(jīng)羅必塔法則求導(dǎo)后可得Gompertz模型的微分表達式,從而可以得到Gompertz沉降預(yù)測模型。由此可見,沉降預(yù)測的指數(shù)曲線模型、Bertalanffy曲線模型、Logistic曲線模型、Weibull曲線模型、Gompertz曲線模型、Usher曲線模型均為廣義Usher模型的幾種特例,通過選取不同的模型參數(shù),廣義Usher模型可以將現(xiàn)有的幾個沉降預(yù)測模型統(tǒng)一起來。因此,廣義Usher模型具有更強的適應(yīng)性,能夠更好地擬合實測數(shù)據(jù)。

2 模型參數(shù)確定的改進差分進化算法

設(shè)一般非線性模型參數(shù)優(yōu)化問題為

式中:J為優(yōu)化準(zhǔn)則系數(shù);f為非線性系數(shù)模型輸出值;c1,c2,…,cD為D個模型參數(shù);Ul,Vl為m對輸入、輸出觀測數(shù)據(jù);q為任意實常數(shù),工程上一般取q=2,即為通用的最小二乘法準(zhǔn)則。

由于式(4)是一個非線性函數(shù),因此該問題的參數(shù)確定是一個非線性參數(shù)的確定問題?？梢圆捎迷S多方法,如高斯-牛頓或麥夸特法等,但這些傳統(tǒng)的算法都對輸入的模型參數(shù)初始值有一定的要求,若輸入的參數(shù)值與參數(shù)的真實值偏離較大,可能造成迭代不收斂,而且也很難得到全局優(yōu)化解。而進化算法如遺傳算法[13]是目前處理一般非線性數(shù)學(xué)模型優(yōu)化的一種新的優(yōu)秀算法,它對模型是否線性、連續(xù)、可微等沒有限制,也不受優(yōu)化變量數(shù)目、約束條件的束縛,直接在優(yōu)化準(zhǔn)則函數(shù)(目標(biāo)函數(shù))的引導(dǎo)下進行全局自適應(yīng)尋優(yōu),該方法直觀、簡便、通用、適應(yīng)性強。因此可以用進化算法進行搜索,從而確定模型結(jié)構(gòu)參數(shù)。

差分進化算法(DE算法)是Storn等[14]于1995年提出的一種較為簡單、有效的進化算法。由于其原理簡單,受控參數(shù)少,易于理解和實現(xiàn),實施隨機、并行、直接的全局搜索,已成為進化算法的一個重要分支。目前,DE算法已在優(yōu)化應(yīng)用方面取得了良好的效果[15]?？紤]到已有較多文獻研究證明DE算法優(yōu)化性能優(yōu)于遺傳算法,這里采用筆者改進研發(fā)的DEPES算法來進行優(yōu)化求解。下面給出DEPES算法求解沉降預(yù)測廣義Usher模型的步驟[12]:

步驟1 構(gòu)建目標(biāo)函數(shù):根據(jù)式(3)和式(4),由m對實測沉降觀測數(shù)據(jù){tl,sl}可構(gòu)建待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)(累計殘差平方和)如下:

式中,X為列向量,X=[s∞,a,b,c,d]T;^sl為根據(jù)式(3)得出的沉降量計算值;g1為考慮極限沉降量s∞大于最后一次沉降觀測值 s latest而設(shè)置的約束;g2,g3為使式(5)目標(biāo)函數(shù)式有意義而設(shè)的約束。以上約束采用罰函數(shù)法進行處理。

步驟2 初始化種群:置當(dāng)前進化代數(shù)G←1,利用預(yù)設(shè)的算法控制參數(shù)(種群中個體數(shù)量N p、交叉概率Cr、最大進化代數(shù) Gmax、變量維數(shù)D)在變量下上限范圍[XL,XU]內(nèi)(問題可行域)隨機初始化種群個體 Xi,G(i=1,2,…,Np)。

步驟3 種群評價:將種群個體代入式(5)計算出目標(biāo)函數(shù)值,以確定最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值Vbf和相應(yīng)的最優(yōu)個體 X best。

步驟4 參數(shù)調(diào)整:隨機產(chǎn)生差分進化模式集合DE/x/y/z(x表示在變異操作時,是隨機選取當(dāng)前代中某一個體Xrand,G作為父個體還是選擇當(dāng)前代中最優(yōu)個體作為父個體 Xbest,G;y表示在變異操作時,所使用差分個體的個數(shù);z表示交叉方案),作為第G代的差分進化模式;并在[0.2,0.9]范圍內(nèi)隨機動態(tài)調(diào)整當(dāng)前代的縮放因子F G。

步驟5 變異操作:對每個目標(biāo)個體Xi,G,按步驟4確定的進化模式變異得到擾動個體 V i,G+1。

步驟6 交叉操作:根據(jù) Xi,G和Vi,G+1按步驟4確定的相應(yīng)進化模式交叉,生成新的試驗個體U i,G+1。

步驟7 并行試驗搜索:按式(6)產(chǎn)生新的試驗個體Y i,G+1:

式中:Xbest,G為第G代的最優(yōu)秀個體;σi,G,σi,G+1分別為父代、子代個體的標(biāo)準(zhǔn)差;σε,σi,0分別為標(biāo)準(zhǔn)差基數(shù)和初始標(biāo)準(zhǔn)差,應(yīng)用中常取 σε=0,σi,0∈[1,3];隨機實數(shù)A∈[1,10];N(0,1)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機數(shù)。

步驟8 變量邊界約束處理:對不符合變量邊界約束的新個體Ui,G+1,Yi,G+1,Xi,G用在可行域內(nèi)產(chǎn)生的隨機個體來代替。

步驟9 選擇操作:將 Ui,G+1,Yi,G+1,Xi,G所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值進行比較,保留優(yōu)秀解;更新 Vbf和X b est;置 G←G+1。

步驟10 判斷是否收斂:若是,則結(jié)束算法,輸出結(jié)果;否則,轉(zhuǎn)入步驟4,直至滿足收斂條件。

基于上述步驟,在Matlab軟件環(huán)境中編制了相應(yīng)的計算程序。下面結(jié)合實際工程的沉降觀測數(shù)據(jù),將DEPES算法應(yīng)用于計算分析中。

3 工程實例計算分析

3.1 實例計算

為便于比較幾種常用預(yù)測模型的擬合預(yù)測情況,選用文獻[10]中的實例為例,即寧杭高速公路工程。其NH標(biāo)k95+520觀測點的沉降觀測資料如表1所示。沉降觀測從2002年8月19日至12月14日止。現(xiàn)同樣以該處沉降觀測資料前80 d的沉降觀測數(shù)據(jù)作為計算模擬值,用本文的廣義Usher模型及DEPES算法對沉降數(shù)據(jù)進行模擬和預(yù)測。經(jīng)編程并在計算機上實現(xiàn),DEPES算法的參數(shù)設(shè)置為Np=50,Cr=0.5,Gmax=1000,Vf=10-6。利用DEPES算法進行若干次隨機試驗搜索,取最好的一組結(jié)果為 s∞=12.346,a=338.381,b=8.90529,c=0.106501,d=871.744。即廣義Usher模型為

?

根據(jù)式(7)可計算出30～100 d的沉降模擬值和預(yù)測值,及相對誤差對比情況,如表1所示,得出的沉降與時間關(guān)系曲線如圖1所示。

圖1 實測曲線與各模型計算曲線的比較

3.2 討論分析

為提高預(yù)測的精度,首先要保證有充分高的模擬精度,尤其是 t=80 d時的模擬精度。從表1可見,廣義Usher模型在t=80 d時的沉降模擬值為10.103cm,與觀測值10.11cm非常接近,相對誤差的絕對值僅為0.073%,均小于表中所列其他模型相對誤差絕對值;再從30～80 d的整體沉降模擬情況來看,本文方法使平均絕對值相對誤差較小(2.001%),也均小于其他模型平均絕對值相對誤差。表2為各模型評價指標(biāo),表2中,無論是從相關(guān)指數(shù)還是從累計殘差平方和等評價指標(biāo)來看,廣義Usher模型的模擬和預(yù)測效果都是最佳的。以上分析表明,廣義Usher模型能更好地適應(yīng)實際情況的變化,可以獲得很高的擬合精度,其推算的結(jié)果是可靠的。

表2 各模型評價指標(biāo)

對于DEPES算法和DE算法的優(yōu)化搜索性能比較,圖2、圖3繪出了該次算法試驗搜索的進化過程曲線。圖中縱坐標(biāo)采用對數(shù)坐標(biāo)。由圖2可見,當(dāng)各算法在處理如本文這一含有多變量、帶約束的較復(fù)雜非線性優(yōu)化模型時,DE算法表現(xiàn)欠佳,而DEPES算法較為理想,DEPES算法所對應(yīng)的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值下降曲線比DE算法的下降曲線具有更快的下降速度和更好的下降程度。這說明DEPES算法比DE算法具有更快的收斂速度和更好的收斂精度。為便于觀察各算法前期進化搜索情況,結(jié)合圖2,從圖3繪出的算法前200代進化過程曲線可見,DEPES算法大約在120代左右就可以收斂到問題的滿意解,而DE算法卻在給定的進化代數(shù)1000代內(nèi)仍未能收斂至DEPES算法的計算結(jié)果。綜上所述,DEPES算法可快速收斂至高精度解,是DE算法的一種有效改進算法。

圖2 各算法整體搜索過程的進化曲線

圖3 各算法進化200代的進化曲線

4 結(jié) 論

a.通過對軟土路基沉降預(yù)測廣義Usher模型分析,常用的指數(shù)曲線模型、Logistic模型、Gompertz模型 、Bertalanffy模型 、Weibull模型 、Usher模型等 6 種沉降預(yù)測模型均為其特例,該模型具有更強大的可塑性和適應(yīng)性,可獲得較其他模型更高精度的沉降模擬預(yù)測值。

b.給出了沉降預(yù)測廣義Usher模型參數(shù)優(yōu)化求解的改進差分進化算法,該算法具有計算速度快、自動化程度高、通用性強等特點,是一種有效的智能優(yōu)化算法,適用于非線性優(yōu)化問題的數(shù)值優(yōu)化求解,可在其他巖土工程非線性優(yōu)化問題中推廣應(yīng)用。

[1]吳鈺,徐澤中,陳景揚.不同方法估算路基最終沉降量的分析研究[J].水利水電科技進展,1998,18(2):17-21.

[2]王偉,宰金珉,盧延浩.軟土工后沉降雙曲線模型與指數(shù)曲線模型分析[J].江蘇大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,29(2):173-176.

[3]馮文凱,劉漢超.修正雙曲線法在路基沉降變形初期階段的應(yīng)用探討[J].地質(zhì)災(zāi)害與環(huán)境保護,2001,12(3):61-63.

[4]張儀萍,俞亞南,張土喬,等.沉降預(yù)測中的灰色模型理論與Asaoka法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2002(9):141-144.

[5]方寶.星野法在某軟基段沉降預(yù)測中的應(yīng)用[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報,2009(17):53-54.

[6]梅國雄,宰金珉,殷宗澤,等.沉降～時間曲線呈 S形的證明及其應(yīng)用:從一維固結(jié)理論角度[J].巖土力學(xué),2004,25(1):20-22.

[7]朱志鐸,周禮紅.軟土路基全過程沉降預(yù)測的Logistic模型應(yīng)用研究[J].巖土工程學(xué)報,2009,31(6):965-969.

[8]余闖,劉松玉.路堤沉降預(yù)測的Gompertz模型應(yīng)用研究[J].巖土力學(xué),2005,26(1):82-86.

[9]王偉,盧廷浩.基于Weibull曲線的軟基沉降預(yù)測模型分析[J].巖土力學(xué),2007,28(4):803-806.

[10]趙明華,龍照,鄒新軍.路基沉降預(yù)測的Usher模型應(yīng)用研究[J].巖土力學(xué),2008,29(11):2973-2976.

[11]李社文.廣義Usher模型的建立及其在油田生產(chǎn)中的應(yīng)用[J].新疆石油地質(zhì),2001,22(2):133-135.

[12]許小健,張金輪.基于并行優(yōu)進策略的差分進化算法[J].廈門理工學(xué)院學(xué)報,2009,17(3):73-78.

[13]金菊良,楊曉華,丁晶.基于實數(shù)編碼的加速遺傳算法[J].四川大學(xué)學(xué)報:工程科學(xué)版,2000,32(4):20-23.

[14]STORN R,PRICE K.Differential evolution:a simple and efficientheuristic forglobaloptimization over continuous space[J].Journalof Global Optimization,1997,11(4):341-359.

[15]許小健,涂芬芬,黃小平,等.差異演化算法在 Van Genuchten方程參數(shù)優(yōu)化估計中的應(yīng)用[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,31(11):1863-1866.