李 吉

（武漢理工大學(xué)航運(yùn)學(xué)院，湖北武漢 430063）

曼德布勞特“英國的海岸線有多長？”［1］文章提出，當(dāng)認(rèn)真研究起像海岸線這種曲線的長度時，是很難有一個準(zhǔn)確的數(shù)值的。當(dāng)把海岸線的任意一段放大時，放大后的圖又存在著許許多多凸出的海角和凹陷的海灣。因此，用長度是很難來描述海岸線的復(fù)雜性的。

1 海岸線分形維數(shù)的計算方法［2］

分形算法是研究具有任意層次的精細(xì)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜海岸線的最佳方法。分形維數(shù)是描述空間和客體的一個重要參數(shù)，相對經(jīng)典維數(shù)而言，其既可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)。海岸線擁有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，若要用分形理論來研究海岸線，就必須先研究其分形維數(shù)。實際測定海岸線分形維數(shù)的方法很多，通常有量規(guī)法和網(wǎng)格法。

量規(guī)法是基于通過測定海岸線的長度來測定海岸線的維數(shù)的。根據(jù)分形理論有下式：

其中C為常數(shù)，D f是分形維數(shù)。

網(wǎng)格法就是通過使用長度都不同的正方形網(wǎng)格去覆蓋被測的海岸線，因此根據(jù)分形理論有下式：

其中，C為待定常數(shù)，D為被測海岸線的分形維數(shù)。

2 分形插值函數(shù)

2．1 定義［3］

定理1 設(shè)a≤x0＜x0＜x1＜x2＜…＜x N≤b，則滿足插值條件的N次多項式P N（x）存在并且唯一，這也是分形插值的唯一性定理。

定理2 設(shè)N是一個大于1 的正整數(shù)，｛（x i，F(xiàn)i）∶1 ≤i≤N，i∈Z｝是一組數(shù)據(jù)，相伴這組數(shù)據(jù)的IFS 是，且垂直比例因子d i滿足，則在R2上存在一個相當(dāng)于歐式距離的距離d，使得這個IFS相對于d是雙曲型的，且存在唯一一個非空緊集G?R2，使得

定理3 設(shè)N是一個大于1 的正整數(shù)，｛（x i，F(xiàn)i）∶1 ≤i≤N，i∈Z｝是一組數(shù)據(jù)，相伴這組數(shù)據(jù)的IFS 是，且垂直比例因子d i滿足，使得這個IFS是ρ，ρ是雙曲型的。若令G是一個插值于數(shù)據(jù)集的連續(xù)函數(shù)的圖像，即。其中

函數(shù)f（x）的圖像若是上述定理2 及定理3中所描述的IFS 的吸引子，則稱f（x）為相應(yīng)于數(shù)據(jù)集｛（x i，F(xiàn)i）∶1 ≤i≤N，i∈Z｝的分形插值函數(shù)。

2．2 基于IFS 的分形插值模擬岸線

分形插值函數(shù)可以近似描述那些歐氏函數(shù)不能很好地描述的物象，它利用大自然中許多現(xiàn)象都具有精細(xì)的自相似結(jié)構(gòu)這個特性來擬合波動性很強(qiáng)的曲線，如山脈輪廓，森林頂部起伏的外形，鐘乳石的外形等等，而且也提供了處理實驗數(shù)據(jù)的新方法。

分形插值函數(shù)像歐氏函數(shù)一樣也可以由“公式”表示，還可以應(yīng)用IFS 的仿射變換及隨機(jī)迭代算法（或確定性算法）進(jìn)行快速計算。它具有的非整數(shù)維數(shù)，又是不同于歐氏函數(shù)的優(yōu)越之處。

設(shè)i＝1 ，2 ，…，N，則仿射變換ω－i應(yīng)由滿足如下方程的5 個實數(shù)ai、ci、d i、ei和f i確定：

其中

3 海岸線模擬的實現(xiàn)

模擬開始時，首先創(chuàng)建一個線性數(shù)據(jù)集，以存放生成的模擬結(jié)果，然后通過查詢，從該矢量數(shù)據(jù)集中產(chǎn)生一個源記錄集，以對迭代結(jié)果進(jìn)行操作。迭代步驟：

（1）確定開始點（x0，y0），迭代總次數(shù) N，起始閾限迭代次數(shù)N0（為防止生成圖形與原圖的差別太大，當(dāng)?shù)螖?shù)大于N0時開始畫點），隨機(jī)數(shù)R。

（2）根據(jù)隨機(jī)數(shù)，選取相對應(yīng)的di，并依據(jù)上述公式計算得出ai、ci、ei和fi的結(jié)果，也同時得出對（x0，y0）進(jìn)行仿射變換所產(chǎn)生新坐標(biāo)點（x1，y1）。

（3）若此時的迭代次數(shù)大于起始閾限迭代次數(shù) N0，則繪制新坐標(biāo)點（x1，y1），否則跳轉(zhuǎn)到步驟（2）。

（4）若此時的迭代次數(shù)大于總迭代次數(shù)N時，生成的點集能夠充分接近該IFS 的吸引集或吸引子，則繪圖結(jié)束。否則，再以（x1，y1）作為初始點，重復(fù)步驟（2），見圖1 。

圖1 基于IFS 的分形插值岸線回波的模擬圖

4 結(jié) 語

（1）海岸線的曲折度與分維數(shù)是成正比關(guān)系的，但在不同的方法模擬海岸線時，即使是在相同分維值的情況下，它們所模擬的曲線的曲折度也是不同的，故不能將一者進(jìn)行簡單的比較。

（2）將海岸線圖像位置明顯變化的點作為控制點（即插值點），從而使海岸線圖像的整體輪廓相似。垂直尺度因子對模擬海岸線有重要影響，通過調(diào)整垂直因子 值可以使分形插值模擬的海岸線更加逼真。

（3）由于海岸線的模擬是通過采用迭代點列構(gòu)成的，因此可以直接計算出由這些點列生成的海岸線曲線長度，然后近似計算出海岸線的真實長度。

1 Mandelbrot B B．How long is the coast of Britain？［J ］．Science ，1967 ，156 （3775）：636－638．

2 朱曉華，王建．海岸線空間分形性質(zhì)探討—以江蘇省為例［U］．地理科學(xué)，2001 ，21（1）：70－75．

3 金以文，魯世杰．二分形幾何原理及其應(yīng)用［M］．浙江大學(xué)出版社，1998．

4 江富泉，羅朝盛．基于迭代函數(shù)系統(tǒng)的分形算法及其應(yīng)用［J ］．2002．

5 Mandelbrot B B．The Fractal Geometry of Nature ［M］．New York：Freeman，1982．