鄭 昊,古娟妮,王 娜

(1.廣東工業(yè)大學,廣東 廣州 510090;2.廣東省城市建設(shè)高級技工學校,廣東 廣州 510650;3.華南理工大學土木與交通學院,廣東 廣州 510640)

膜結(jié)構(gòu)是一種非傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式,其造型優(yōu)美,極富現(xiàn)代氣息;結(jié)構(gòu)輕巧,有極強的空間跨越能力;易于建造搬遷,有明顯的經(jīng)濟效益。因此膜結(jié)構(gòu)建筑成為近幾十年蓬勃發(fā)展的一種新型的大跨度空間形式。

膜結(jié)構(gòu)的設(shè)計也迥異于傳統(tǒng)的剛性結(jié)構(gòu)。由于膜材的柔性特征,其本身沒有抗壓剛度和抗彎剛度,需賦予一定的預拉力才能形成確定的空間曲面形狀和抵抗外荷載的能力,成為真正的結(jié)構(gòu)。這種在一定預應(yīng)力作用下,找出的一個既符合建筑美觀,又滿足邊界條件和力學平衡的過程就是找形分析過程。

1 膜結(jié)構(gòu)的非線性有限元法找形

1.1 非線性有限元法簡介

1970年,E·Haug和 G·H·Powell提出了一種基于Newton-Raphson非線性迭代的索膜結(jié)構(gòu)找形方法。它是針對索膜結(jié)構(gòu)具有強烈的幾何非線性的特點,在小應(yīng)變、大位移的情況下,首先將膜結(jié)構(gòu)離散成由節(jié)點和三角形單元構(gòu)成的空間結(jié)構(gòu),設(shè)定一初始應(yīng)力分布,采用拉格朗日法建立非線性方程組,結(jié)合邊界條件迭代求解。由于是非線性求解,無法避免收斂問題,往往可以通過分段提升的方法來保證收斂性。現(xiàn)有的一些通用有限元軟件,如 ANSYS,SAP2000,ADIANA等都有用這種方法來進行膜結(jié)構(gòu)的找形。

1.2 非線性有限元法找形的基本原理

非線性有限元法找形的基本思路是先將索膜結(jié)構(gòu)離散成若干單元,然后針對索膜結(jié)構(gòu)的小應(yīng)變、大位移特點,應(yīng)用幾何非線性理論,建立以節(jié)點位移為基本未知量的非線性有限元方程組,最后用迭代計算方法并結(jié)合邊界條件求解。由于初始平衡狀態(tài)是純力學平衡問題,與所采用的材料無關(guān),故在計算過程中采用小彈性模量法,以便使結(jié)構(gòu)自由變形,達到平衡。

1.3 非線性有限元法的基本公式

膜單元采用三節(jié)點九自由度的三角形平面單元,索單元采用二節(jié)點六自由度的只拉不壓空間直桿單元。忽略材料非線性,考慮幾何非線性,有:

2 ANSYS找形及算例分析

2.1 ANSYS找形分析原理

ANSYS是一種基于非線性有限元思想的通用有限元軟件,可用于索膜結(jié)構(gòu)的找形分形。其基本分析原理是:先用小彈性模量技術(shù),將目標節(jié)點提升到指定高度,用支座移動法進行初步找形,目標點固定,其它點連動,得到結(jié)構(gòu)的近似平衡形狀。在此幾何位形基礎(chǔ)上更新節(jié)點坐標,釋放預應(yīng)力,重新設(shè)定索膜結(jié)構(gòu)的真實材料參數(shù)和預應(yīng)力,進行自平衡迭代求解。循環(huán)若干次,釋放掉不平衡力,直至應(yīng)力分布均勻度達到要求[3]、[4]。

由于索膜結(jié)構(gòu)中索單元和膜單元均只能承受拉力,故在單元選取時分別采用 Link 10和Shell41單元來模擬索單元和膜單元。在 ANSYS中不能直接輸入初始應(yīng)力,采用施加初始應(yīng)變和降溫的方法分別給索、膜施加初始預應(yīng)力。

索單元的初始張力的施加:

式中:T為索的預張力;Ec取一個很小的彈性模量,一般取真實模量的 1/1000～1/5000;A為索的截面面積。

膜面預應(yīng)力的施加:

先將膜面的參考溫度設(shè)為 0°,則施加壓力的溫度荷載可用下式計算:

式中:σ為膜面預張力,Ec取一個很小的彈性模量,一般取膜材真實模量的 1/1000～1/1500,αm為熱膨脹系數(shù)(可人為設(shè)定,一般設(shè)為α=1);h為膜材厚度。

根據(jù)上面所述,應(yīng)用有限元軟件ANSYS進行索膜結(jié)構(gòu)找形的流程為:

(1)選擇單元類型,一般索采用Link10,膜采用 Shell41,設(shè)定索和膜的虛擬彈性模量和實常數(shù)值;

(2)建立初始的平面幾何模型,進行單元網(wǎng)格劃分,通過初應(yīng)變法及降溫法為索膜單元施加初始預應(yīng)力;

(3)為各固定點施加位移約束,將控制點一次性提高到目標高度,打開大變形和應(yīng)力剛化開關(guān),用幾何非線性法求解,得到初步找形結(jié)果;

(4)更新節(jié)點坐標,固定支座控制點,恢復真實材料常數(shù),重新設(shè)定索膜的預應(yīng)力狀態(tài),關(guān)掉大變形開關(guān),求解;

(5)循環(huán)若干次,觀察應(yīng)力分布云圖,直至應(yīng)力分布均勻度達到要求。

2.2 找形算例分析

為了驗證 ANSYS找形方法的準確性,對兩個基本曲面-懸鏈面和馬鞍面進行了分析。

2.2.1 懸鏈面

根據(jù)上述原理與步驟,用 ANSYS軟件對懸鏈面進行找形。

取內(nèi)圓半徑 10m,外圓半徑 50m,厚度為 1mm的圓環(huán)膜面張拉成高度 h=22.943懸鏈面。取 1/4結(jié)構(gòu)進行分析,內(nèi)外圓周固定,內(nèi)圓周提升到指定高度。膜材的彈性模量取2.55E8,找形時取虛擬彈模為真實值的 1/1000。

網(wǎng)格劃分與找形后形狀如圖 1a、1b所示。

圖1 懸鏈面的 ANSYS找形

圖2 Von Mises應(yīng)力云圖

從 ANSYS輸出的等效 Von Mises應(yīng)力云圖(圖 2)可見,最小應(yīng)力 1.88 kN,最大應(yīng)力為 2.03 kN,大部分區(qū)域為 2.0 kN。同樣取其中一條半徑上的非約束節(jié)點進行分析,將ANSYS輸出的結(jié)果與解析解比較,列于表 1。

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從表 1中可見,找形誤差均在 7%以內(nèi),基本滿足精度要求。分析原因,由式(1)可知,在 ANSYS非線性有限元法找形過程中,由于采用降溫法來給膜面施加預應(yīng)力,導致了小彈性模量的存在,約束了膜面的完全自由變形,所以不可能找出完全的等應(yīng)力曲面,這就造成了與解析解間的誤差比較大。由結(jié)果可見,ANSYS找形結(jié)果網(wǎng)格分布比較均勻。

2.2.2 固定邊界的雙曲拋物面

取標準馬鞍面的方程為 z=2+(x2-y2)/25,邊長為 10 m,高低點高差為 4m。找形中膜面初始預張力為2 kN,膜材厚為 1mm。用 ANSYS進行找形分析,四條邊固定,膜材的彈性模量取 2.55E8,找形時取虛擬彈模為真實值的 1/1000。

圖3 馬鞍面的 ANSYS找形

網(wǎng)格劃分及找形結(jié)果如圖 3a、3b所示。經(jīng)過幾次不平衡力釋放后,最小應(yīng)力為 1.99 kN,最大應(yīng)力為 2.0 kN,等效Von Mises應(yīng)力云圖如 4所示。在此例中,因膜面比較平緩,曲率變化不大,故雖有彈性模量的存在,應(yīng)力的分布還是基本均勻的。

同樣,取兩高點 1、11連成的對角線上的所有節(jié)點進行分析,與解析解的比較如表 2所示。從表中可見,兩者的誤差是很小的。

圖4 Von Mises應(yīng)力云圖

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由以上兩個算例可以得出結(jié)論,ANSYS找形方法對于曲率變化較小的情況(標準拋物面)有較高的計算精度,而對于曲率變化較大的情況(懸鏈面),計算精度較低。且由于在ANSYS找形中,首次計算采用是大位移小彈模計算,二次以后的平衡迭代采用真實彈模小位移計算,彈性模量的存在在一定程度上約束了單元的自由變形,所以找形后的網(wǎng)格較為均勻,但應(yīng)力情況出現(xiàn)了不均勻分布,實際情況應(yīng)力分布不可能是完全均勻的?？梢?上述用ANSYS軟件找形的思路與步驟是正確的,可用于進一步的工程算例分析。曲率變化較小的情況(標準拋物面)有較高的計算精度,而對于曲率變化較大的情況(懸鏈面),計算精度較低。分析原因,在ANSYS找形過程中,由于采用降溫法來給膜面施加預應(yīng)力,引入了小彈性模量,約束了膜面的完全自由變形,所以不可能找出完全的等應(yīng)力曲面,這就造成了與解析解間的誤差比較大。

3 結(jié)束語

本文介紹了索膜結(jié)構(gòu)找形分析的有限元法,針對索膜結(jié)構(gòu)極強的幾何非線性特點,介紹了非線性有限元的基本思想。另外,介紹了利用通用有限元軟件ANSYS進行找形的方法。用懸鏈面及雙曲拋物面這兩個算例進行了驗證,證明ANSYS找形也是實用可行的。并發(fā)現(xiàn) ANSYS找形方法對于

[1]萬紅霞,吳代華.張力膜結(jié)構(gòu)找形的非線性分析[J].華中科技大學學報,2004,21(2)

[2]古娟妮.膜結(jié)構(gòu)的動力松弛法與ANSYS找形分析[C]∥第十三屆全國工程建設(shè)計算機應(yīng)用學術(shù)會議文集,2005

[3]王建華.索膜結(jié)構(gòu)找形方法及自振特性研究[D].河海大學,2005

[4]唐 喜.基于 ANSYS參數(shù)化語言的索膜結(jié)構(gòu)找形和荷載分析[D].河海大學,2005