摘 要:倒立擺系統(tǒng)是一個典型的多變量、非線性、強耦合和快速運動的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，作為一個典型的控制對象，一直受到不少專家學(xué)者的關(guān)注與研究。通過推導(dǎo)和分析倒立擺的數(shù)學(xué)模型，主要討論了模糊控制器的設(shè)計與仿真。仿真結(jié)果表明，模糊控制器能對倒立擺進行很好的控制。

關(guān)鍵詞:倒立擺; 模糊控制; 非線性運動; 強耦合

中圖分類號:TP274 文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)07-0135-03

Research on Fuzzy Controller of Inverted Pendulum

HUANG Mei， ZHANG He

(Southwest Petroleum University， Chengdu 610500， China)

Abstract:Inverted pendulum system is a unstable system with typical multi-variable，non-linear，strong -coupling and fast movement. As a typical control object， it has been subjected to the attention by many experts and scholars. The design and simulation of the fuzzy controller is discussed by deriving and analyzing the mathmetic model of the inverted pendulum.And the simulation results show that the fuzzy controller can control the inverted pendulum well.

Key words:inverted pendulum; fuzzy control; non-linear movement; strong coupling

0 引 言

倒立擺作為一個高階次、多變量、非線性和強耦合的開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，能有效地反映控制中的許多關(guān)鍵問題，如鎮(zhèn)定問題、非線性問題、魯棒性問題、跟蹤問題等，而這些問題都可以以倒立擺為對象加以研究。一直以來，作為一個典型的控制對象，倒立擺受到了不少專家學(xué)者的關(guān)注與研究[1]。因此，無論是從理論上還是從方法上來說，對倒立擺這樣的典型被控對象進行研究都具有重要意義。

倒立擺系統(tǒng)的研究，最常用的方法就是通過Matlab軟件及其集成的Simulink工具，對倒立擺進行仿真研究[2]。通過學(xué)習自動控制的相關(guān)理論，利用固高直線倒立擺系統(tǒng)，可設(shè)計出直線倒立擺的各種控制器，如:PID控制器、根軌跡法控制器、頻域響應(yīng)法控制器、最優(yōu)控制器及模糊控制器，其中PID控制器、根軌跡法控制器和頻域響應(yīng)法控制器都屬于常見的經(jīng)典控制器，此處就不再做仔細討論，本文主要對倒立擺模糊控制器的設(shè)計進行研究。目前，關(guān)于用模糊控制器對倒立擺進行實時控制的研究還很少。但鑒于模糊控制屬于智能控制，具有魯棒性和穩(wěn)定，算法簡單等特點，可以用在實時性要求較高的場合，因此用其對倒立擺進行控制，在理論上是能取得較好的控制效果的。

1 倒立擺系統(tǒng)及其數(shù)學(xué)模型

由于倒立擺系統(tǒng)是自不穩(wěn)定系統(tǒng)，因此其實驗建模存在一定的困難。但是經(jīng)過假設(shè)和忽略掉一些次要因素后，倒立擺系統(tǒng)便可視為一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，并可以在慣性坐標系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立此系統(tǒng)的動力學(xué)方程[3]。

在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，直線一級倒立擺系統(tǒng)可抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。記小車質(zhì)量為M，擺桿質(zhì)量為m，擺桿轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心的距離為l，作用在系統(tǒng)上的外力為F，重力加速度為g，φ為擺桿偏角，即擺桿與豎直向上方向的夾角，取順時針方向為正方向，x為小車水平方向位移，水平向右為正方向，水平向左為負方向。

分別對小車和擺桿進行受力分析并用u來代表被控對象的輸入力F，可得倒立擺系統(tǒng)的動力學(xué)方程如下:

(I+ml2)-mglφ=ml

(N+m)+b-ml=u

(1)

對上述方程組進行拉普拉斯變換，整理后得到傳遞函數(shù)為:

φ(s)U(s)=mlqs2s4+b(I+ml2)qs3-(M+m)mglqs2-bmglqs

(2)

式中:q=(M+m)(I+ml2)-(ml)2。

圖1 直線一級倒立擺系統(tǒng)

通過整理變換，最終可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為:

=

01000-(I+ml2)bI(M+m)+Mml2m2gl2I(M+m)+Mml2000010-mlbI(M+m)+Mml2mgl(M+m)I(M+m)+Mml20#8226;

xφ+0I+ml2I(M+m)+Mml20mlI(M+m)+Mml2 u

y=xφ=10000010xφ+00u

(3)

2 模糊控制器的設(shè)計

2.1 模糊控制原理

模糊控制理論是建立在模糊集合論、模糊語言變量及模糊邏輯推理基礎(chǔ)上的一種計算機數(shù)字控制理論。因在設(shè)計系統(tǒng)時它不需要建立被控對象精確的數(shù)學(xué)模型而得到了日益廣泛的應(yīng)用。所以模糊控制在研究像倒立擺這樣的高度非線性系統(tǒng)上有很大的優(yōu)勢。從線性控制與非線性控制的角度分類，模糊控制是一種非線性控制;從控制器的智能性看，模糊控制屬于智能控制的范疇，而且它己成為目前智能控制的一種重要而有效的形式。

模糊控制系統(tǒng)是一種基于規(guī)則的知識型控制系統(tǒng)[4]，其主要特征表現(xiàn)在:將受控對象領(lǐng)域的專家知識和熟練操作人員經(jīng)驗描述成一類“如果…，則…(if…，then…)”形式的語言控制規(guī)則。規(guī)則的if部分作為“前提條件”，即表示當前所觀測到的系統(tǒng)狀態(tài)，并包涵有這種狀態(tài)與期望狀態(tài)之間的偏差、偏差變化率和被控制量等信息構(gòu)成的一個模糊陳述語句(模糊命題);而then部分作為“結(jié)論”，它指示系統(tǒng)應(yīng)該做怎樣操作，才能減小或消除系統(tǒng)當前狀態(tài)與期望狀態(tài)之間的偏差，形成一個描述控制量的模糊命題。

綜合前面對模糊控制器工作原理的分析，可將其工作原理概括如下:首先將模糊控制器的輸入量轉(zhuǎn)化為模糊量，從而供模糊決策系統(tǒng)使用，模糊決策系統(tǒng)再根據(jù)控制規(guī)則確定的模糊關(guān)系，應(yīng)用推理算法得出控制器的模糊輸出控制量。最后經(jīng)過去模糊化計算得到精確的控制值來控制被控對象[6]。

2.2 模糊控制器的設(shè)計

模糊控制器的設(shè)計過程如下所示:

(1) 確定輸入變量和輸出變量。以擺角θ、擺角角速度θ#8226;、小車位移x、速度x#8226;為狀態(tài)變量，將這4個狀態(tài)變量作為控制器的輸入量，而以作用在小車上的力F作為模糊控制器的輸出量。其中，擺角θ、擺角角速度θ#8226;、小車位移x、速度x#8226;的隸屬度函數(shù)分別如圖2~圖5所示。

圖2 擺角θ的隸屬度函數(shù)

圖3 擺角角速度的隸屬度函數(shù)

圖4 位移x的隸屬度函數(shù)

圖5 速度的隸屬度函數(shù)

(2) 設(shè)計模糊規(guī)則庫。這里選取T-S的控制器，此控制器可根據(jù)輸入量，綜合得出作用于小車的控制信號，然后，寫出每種輸入所對應(yīng)的輸出量的模糊規(guī)則。本設(shè)計共設(shè)置了16條規(guī)則。

其中，i1f1和i1f2表示角θ是“大”和“小”;i2f1和i2f2表示角速度是“快”和“慢”;i3f1和i3f2表示位移x是“遠”和“近”;i4f1和i4f2表示速度是“快”和“慢”。

if θ=i1f1 and =i2f1 and x=i3f1 and =i4f1， then F=41.4θ+10+3.16x+4.28+0.34

if θ=i1f1 and =i2f1 and x=i3f1 and =i4f2， then F=40.4θ+10+3.16x+4.28+0.21

if θ=i1f1 and =i2f1 and x=i3f2 and =i4f1， then F=41.4θ+10+3.16x+4.28+0.34

if θ=i1f1 and =i2f1 and x=i3f2 and =i4f2， then F=40.4θ+10+3.16x+4.28+0.21

if θ=i1f1 and =i2f2 and x=i3f1 and =i4f1， then F=38.6θ+10+3.16x+4.28-0.05

if θ=i1f1 and =i2f2 and x=i3f1 and =i4f2， then F=37.6θ+10+3.16x+4.28-0.18

if θ=i1f1 and =i2f2 and x=i3f2 and =i4f1， then F=38.6θ+10+3.16x+4.28-0.05

if θ=i1f1 and =i2f2 and x=i3f2 and =i4f2， then F=37.6θ+10+3.16x+4.28-0.18

if θ=i1f2 and =i2f1 and x=i3f1 and =i4f2， then F=37.6θ+10+3.16x+4.28+0.18

if θ=i1f2 and =i2f1 and x=i3f1 and =i4f2， then F=38.6θ+10+3.16x+4.28+0.05

if θ=i1f2 and =i2f1 and x=i3f2 and =i4f1， then F=37.6θ+10+3.16x+4.28+0.18

if θ=i1f2 and =i2f1 and x=i3f2 and =i4f1， then F=38.6θ+10+3.16x+4.28+0.05

if θ=i1f2 and =i2f2 and x=i3f1 and =i4f1， then F=40.4θ+10+3.16x+4.28-0.21

if θ=i1f2 and =i2f2 and x=i3f1 and =i4f2， then F=41.4θ+10+3.16x+4.28-0.34

if θ=i1f2 and =i2f2 and x=i3f2 and =i4f1， then F=40.4θ+10+3.16x+4.28-0.21

if θ=i1f2 and =i2f2 and x=i3f2 and =i4f2， then F=41.4θ+10+3.16x+4.28-0.34

(3) 設(shè)計模糊控制器。當確定好模糊控制器的輸入變量、輸出變量及模糊規(guī)則后，就可以按照上述條件設(shè)計模糊控制器了，即在Matlab的命令窗口中輸入fuzzy，出現(xiàn)FIS editor界面，即可在此方便地編輯所需模糊推理系統(tǒng)，并將編輯好的文件命名為pendulum.fis。

(4) 構(gòu)建倒立擺模糊控制系統(tǒng)。根據(jù)對模糊控制器和倒立擺模型的分析，可以得到倒立擺控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 倒立擺控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

組建出倒立擺模糊控制系統(tǒng)的Simulink仿真模型后，雙擊Fuzzy Logic Controller 模塊，在parameters中輸入上面所建立的pendulum.fis文件名，在Matlab的命令窗口中輸入以下命令[5]:

readfis; fismat=readfis(′pendulum.fis′)

通過這兩條命令可將fis文件讀到Matlab的workspace里，從而實現(xiàn)Simulink與fis文件的連接，最后再對該控制系統(tǒng)進行編譯便可完成系統(tǒng)仿真[7]。仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 模糊控制器控制倒立擺的仿真圖

從圖6，圖7可以看出，小車位置輸出曲線能很好地跟蹤給定的階躍響應(yīng)信號?？梢?，曲線的超調(diào)量小，調(diào)節(jié)時間短，穩(wěn)態(tài)誤差為0，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和平穩(wěn)性較好。

3 結(jié) 語

由仿真結(jié)果可看出，與經(jīng)典控制器相比較，本模糊控制器能較好地對系統(tǒng)進行控制，達到了較好的控制效果。這也就說明，系統(tǒng)的線性化處理是相當近似的，而且本模糊控制器的設(shè)計是切實可行的。模糊控制具有魯棒性和穩(wěn)定性好，算法簡單等特點，可以用在實時性要求較高的場合，可以滿足控制要求，能達到較好的控制效果。

參考文獻

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