摘 要:聯(lián)合估計(jì)過(guò)程有2種模式，分為總體誤差更新及階誤差遞歸更新方式。經(jīng)過(guò)格型結(jié)構(gòu)濾波后，提取其中產(chǎn)生的后向預(yù)測(cè)誤差序列作為聯(lián)合估計(jì)的輸入信號(hào)。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題的仿真分析，得出以下結(jié)論:如果不需要嚴(yán)格關(guān)注濾波模型本身噪聲所帶來(lái)的測(cè)量誤差，從實(shí)用性的角度考慮，在總體誤差更新模型中采用遞歸最小二乘格型聯(lián)合估計(jì)處理方式(RLSLJE)性能較好，其收斂效果較為理想。

關(guān)鍵詞:自適應(yīng)處理; 遞歸最小二乘格型聯(lián)合估計(jì); 誤差更新; 系統(tǒng)辨識(shí)

中圖分類號(hào):TN713 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-373X(2010)14-0140-04

Analysis of Recursive Least Squares Lattice Joint-process Estimation

CHEN Bo1， LIU Zheng-dong2， LIU Jin-gen1

(1. School of Information Engineering， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， China;

2. Shanghai Zhiyin Information Technology Co. Ltd.， Shanghai 201203， China)

Abstract: Joint-process estimation has two kinds of modes:the overall error updating and the step error recursion update. A sequence of backward prediction errors generated by the lattice filter is extracted as the input signal of the estimation. The simulation of the system identification obtained the following conclusions: if the measurement error caused by the noise of the filtering model need not be paid a strict attention and just takes practicability into account， it is better to use the recursive least squares lattice joint-process estimation (RLSLJE) in the overall error update model， and its convergence results is ideal.

Keywords: adaptive processing; RLSLJE; error update; system identification

0 引 言

自適應(yīng)處理技術(shù)在近幾十年的發(fā)展過(guò)程中，總體歸納為由Widrow.B等人提出的最小均方法(LMS)和之后的遞歸最小二乘法(RLS)2類，在結(jié)構(gòu)上可以分為橫向結(jié)構(gòu)、格型結(jié)構(gòu)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。其中格型結(jié)構(gòu)不同于橫向?yàn)V波結(jié)構(gòu)，其由多級(jí)相同單元及聯(lián)而成，對(duì)信號(hào)的傳遞是以預(yù)測(cè)誤差的方式進(jìn)行，有別于橫向結(jié)構(gòu)僅僅是對(duì)輸入信號(hào)采取單位延遲的方式，通過(guò)對(duì)輸入信號(hào)的變換提高了結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性?；谧钚【椒ǖ奶荻茸赃m應(yīng)格型結(jié)構(gòu)算法(GAL)已由Griffiths.L.J提出，文獻(xiàn)[1-2]分析了GAL的特點(diǎn)及其應(yīng)用。但由于最小均方法本身收斂性就不太好決定了GAL使用的局限性，而且GAL要求輸入為平穩(wěn)信號(hào)條件下，并且前向反射系數(shù)和后向反射系數(shù)相同。如果從另一類方式入手，利用最小二乘格型算法(LSL)產(chǎn)生預(yù)測(cè)誤差的性能將優(yōu)于GAL，文獻(xiàn)[3-4]分析了LSL的優(yōu)點(diǎn)及其應(yīng)用。然而在許多應(yīng)用情況下，需要由期望信號(hào)d(n)所表達(dá)的某一過(guò)程性質(zhì)的預(yù)測(cè)與輸入信號(hào)x(n)所包含的有關(guān)過(guò)程進(jìn)行測(cè)量和估計(jì)。將后向預(yù)測(cè)誤差序列用于另一自適應(yīng)處理過(guò)程中是格型聯(lián)合估計(jì)過(guò)程的核心，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，聯(lián)合處理分為2個(gè)階段，利用格型濾波結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的后向預(yù)測(cè)誤差序列再同時(shí)經(jīng)過(guò)單獨(dú)的另外一次常規(guī)自適應(yīng)濾波處理。本文結(jié)合自適應(yīng)處理中一個(gè)重要的應(yīng)用系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)模型內(nèi)部參數(shù)的識(shí)別，提出在最小二乘格型濾波結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對(duì)后向預(yù)測(cè)誤差序列采用遞歸最小二乘(RLS)算法進(jìn)行加權(quán)求和，做估計(jì)的聯(lián)合處理，稱之為遞歸最小二乘格型聯(lián)合估計(jì)處理方式(recursive least squares lattice joint-process estimation，RLSLJE)，并以歸一化最小均方算法(NLMS)作為參照進(jìn)行對(duì)比，從最后的仿真結(jié)果可以驗(yàn)證此種方式的可行性和有效性。另外也分析了一種非常特殊的濾波系數(shù)獲取方式的性能。

1 格型濾波原理

格型結(jié)構(gòu)一個(gè)最大的優(yōu)點(diǎn)是能夠?qū)⑾嚓P(guān)輸入序列變換為一個(gè)新的相互之間正交的后向預(yù)測(cè)誤差序列[5]，即將輸入/輸出信號(hào)做映射，對(duì)一組正交序列的線性組合遠(yuǎn)比對(duì)一組非正交序列的線性組合更加精確。由LSL產(chǎn)生預(yù)測(cè)誤差的格型濾波結(jié)構(gòu)如圖1所示，需要計(jì)算2組不同的反射系數(shù)[6-7]:

圖1 格型結(jié)構(gòu)示意圖

κfm(n)=-Δm(n)εbm-1(n-1)， κbm(n)=-Δm(n)εfm-1(n) (1)

m=1，2，…，M

在格型結(jié)構(gòu)中前后級(jí)間預(yù)測(cè)誤差存在以下關(guān)系:

fm(n)=fm-1(n)+κfm(n)bm-1(n-1)

bm(n)=bm-1(n-1)+κbm(n)fm-1(n)(2)

式(1)，式(2)中其他變量如Δm(n)為前向預(yù)測(cè)誤差與后向預(yù)測(cè)誤差之間的部分相關(guān)系數(shù);γm(n-1)為角參量;εfm(n)和εbm(n)分別為前后向殘數(shù)，即分別為前后向預(yù)測(cè)誤差序列自身內(nèi)積，各變量更新如下:

Δm(n)=Δm(n-1)+bm-1(n-1)fm-1(n)γm-1(n-1)

γm(n-1)=γm-1(n-1)-[bm-1(n-1)]2εbm-1(n-1)

εfm(n)=εfm-1(n)-Δ2m(n)εbm-1(n-1)

εbm(n)=εbm-1(n-1)-Δ2m(n)εfm-1(n)(3)

2 聯(lián)合估計(jì)過(guò)程

經(jīng)過(guò)格型結(jié)構(gòu)濾波后，提取其中產(chǎn)生的后向預(yù)測(cè)誤差bm(n)序列作為聯(lián)合估計(jì)的輸入信號(hào)。因?yàn)楹笙蝾A(yù)測(cè)誤差bm(n)彼此之間具有正交的特性，使得格型結(jié)構(gòu)前后兩級(jí)間是去耦的，因此級(jí)間信號(hào)抗干擾性得到了保障。對(duì)后向預(yù)測(cè)誤差bm(n)序列做加權(quán)求和，并與參考信號(hào)d(n)進(jìn)行比較，以獲得誤差e(n)。

通過(guò)對(duì)期望信號(hào)引入方式的分析，聯(lián)合估計(jì)過(guò)程有2種模式，分為總體誤差更新和階誤差遞歸更新方式，它們對(duì)權(quán)值的更新的方式不同，前者如圖2所示以當(dāng)前時(shí)刻的總體誤差即為期望信號(hào)與整個(gè)濾波系數(shù)同時(shí)和所有估計(jì)器輸入信號(hào)的乘積之差作為調(diào)整下一時(shí)刻整個(gè)濾波系數(shù)的修正因子;而后者如圖3所示則是在當(dāng)前時(shí)刻先從第一級(jí)濾波系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，逐次計(jì)算每一個(gè)濾波系數(shù)的更新，調(diào)整后的單級(jí)誤差成為下級(jí)單元的期望信號(hào)，依次遞歸計(jì)算每一級(jí)的誤差和濾波系數(shù)以達(dá)到整體最優(yōu)。總體誤差更新方式中如圖2所示，總體誤差為:

e(n)=d(n)-w(n)b(n)

W=[w0，w1，w2，…，wM]，B=[b0，b1，b2，…，bM] (4)

濾波系數(shù)的更新可以采用NLMS算法或者是RLS算法以及其他類型的更新算法。

圖2 總體誤差更新過(guò)程

階誤差遞歸更新方式如圖3所示，單級(jí)誤差為:

圖3 階誤差遞歸更新過(guò)程

em+1(n)=em(n)-wm(n)bm(n)

e0(n)=d(n)， m=0，1，2，…，M(5)

濾波系數(shù)的更新一般采用NLMS算法。Morf.M和Lee.D.T曾總結(jié)出一種特殊的濾波系數(shù)獲取方式[3] ，后來(lái)Haykin.S在研究卡爾曼變量與LSL變量之間的關(guān)系時(shí)詮釋如下[8]:

wm(n)=πm(n)/εbm(n) (6)

πm(n)=πm(n-1)+bm(n)em(n)γm(n) (7)

通過(guò)對(duì)比觀察式(7)中πm(n)和式(3)中Δm(n)，發(fā)現(xiàn)它們?cè)谛螒B(tài)上存在一定程度的相似性，可以理解為πm(n)是一個(gè)與bm(n)及em(n)有聯(lián)系的中間變量;進(jìn)一步對(duì)比式(6)中wn(n)和式(1)中κfm(n)及κbm(n)，三者是一致的，這體現(xiàn)了濾波系數(shù)直接獲取的本質(zhì):將后向估計(jì)誤差bm(n)投影到聯(lián)合估計(jì)處理中誤差em(n)的方向上，使投影后的下一級(jí)誤差em+1(n)達(dá)到最小，從而獲得最佳濾波系數(shù)wm(n)。

3 性能仿真分析

自適應(yīng)濾波器具有學(xué)習(xí)功能，能夠在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中不斷修正濾波系數(shù)，以達(dá)到使濾波器輸出與待參考量一致的特性。自適應(yīng)濾波器最主要的應(yīng)用之一就是系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題如圖4所示，對(duì)于一個(gè)黑箱系統(tǒng)，如果對(duì)輸入信號(hào)分別通過(guò)未知系統(tǒng)和自適應(yīng)濾波器后達(dá)到一致，因此就可以以自適應(yīng)濾波器的濾波系數(shù)來(lái)近似表征未知系統(tǒng)的內(nèi)部參數(shù)。

可以采用聯(lián)合處理系統(tǒng)作為圖4中的自適應(yīng)濾波器，其各級(jí)結(jié)構(gòu)相同因而調(diào)整階的數(shù)量較為容易，便于對(duì)實(shí)際模型擬合過(guò)程中需要隨時(shí)增加或者減少濾波器系數(shù)以最大限度來(lái)近似未知系統(tǒng)。這里考慮一個(gè)滑動(dòng)平均(MA)模型[9-10]，該模型由8個(gè)系數(shù)組成，假定為[1，-1.6，0.8，0.5，2，2.2，-1.9，2]，因此聯(lián)合處理系統(tǒng)取為8階，輸入信號(hào)一般采用隨機(jī)噪聲序列即可。MA系統(tǒng)參考模型如下:

Sout(n)=∑7i=0aiSin(n-i) (8)

首先在對(duì)總體誤差更新模式中由LSL產(chǎn)生的后向預(yù)測(cè)誤差序列作為聯(lián)合估計(jì)輸入信號(hào)進(jìn)行處理過(guò)程中分別采用NLMS算法和RLS算法對(duì)濾波系數(shù)更新，由同一信源通過(guò)未知系統(tǒng)和2種自適應(yīng)算法后的收斂曲線結(jié)果如圖5，圖6所示。

圖4 系統(tǒng)辨識(shí)原理

圖5 NLMS估計(jì)曲線

從圖5和圖6中可以分別看出采用NLMS算法的聯(lián)合估計(jì)各濾波系數(shù)整體在數(shù)據(jù)通過(guò)125點(diǎn)左右后開(kāi)始收斂，收斂曲線較為平滑;相對(duì)采用RLS算法的聯(lián)合估計(jì)各系數(shù)整體需要100點(diǎn)左右后就開(kāi)始收斂，收斂曲線剛開(kāi)始時(shí)波動(dòng)較為劇烈，幅度變化大，隨后急劇收斂為一條直線。

因?yàn)槲粗到y(tǒng)是無(wú)法用精確值來(lái)確定的，所以用收斂后的濾波系數(shù)值來(lái)近似表征未知模型的假定參考數(shù)值被認(rèn)為是可行的，存在一定的誤差也是不能夠避免的。表1為2種算法最終收斂后的濾波系數(shù)值，可以看到2種算法收斂值均趨向于未知MA系統(tǒng)的已知給定參數(shù)。

圖6 RLS估計(jì)曲線

表1 濾波系數(shù)收斂值

系數(shù)w1w2w3w4

NLMS1.126 5-1.475 50.796 50.481 9

RLS1.081 4-1.486 50.905 20.355 1

系數(shù)w5w6w7w8

NLMS2.026 82.290 5-1.915 62.017

RLS2.038 82.303 5-1.964 82.033 4

另外從頻譜圖7中也可以看出輸入信號(hào)分別通過(guò)2種算法后的輸出頻譜與未知系統(tǒng)的輸出頻譜幾乎一致，但是從部分小細(xì)節(jié)處，如在16 Hz，98 Hz，162 Hz等處近似程度RLS算法優(yōu)于NLMS算法，更加貼近未知系統(tǒng)輸出頻譜，因此可以證實(shí)本文中所提出的對(duì)LSL產(chǎn)生的后向預(yù)測(cè)誤差序列采用RLS算法進(jìn)行聯(lián)合處理的方式，即RLSLJE的性能優(yōu)于聯(lián)合處理第2階段中相對(duì)采用NLMS算法的估計(jì)性能。

圖7 頻譜分析

然后在對(duì)階誤差遞歸更新模式中分別采用NLMS算法和Haykin.S所定義的方法對(duì)濾波系數(shù)更新，兩種自適應(yīng)算法的收斂曲線結(jié)果如下:

從圖8和圖9中可以分別看出采用NLMS算法的聯(lián)合估計(jì)各系數(shù)整體在數(shù)據(jù)通過(guò)200點(diǎn)左右后開(kāi)始收斂，收斂曲線慢并且平滑性也不太好;相對(duì)采用直接獲取法的聯(lián)合估計(jì)各系數(shù)整體需要120點(diǎn)左右后就開(kāi)始收斂，收斂曲線剛開(kāi)始時(shí)雖有波動(dòng)，但幅度不大。據(jù)此可以直觀得出直接獲取法優(yōu)于NLMS算法的結(jié)論。

圖8 NLMS估計(jì)曲線

圖9 直接獲取估計(jì)曲線

表2為兩種算法最終收斂后的濾波系數(shù)值，盡管存在難以避免的誤差，還是可以看到兩種算法收斂值均趨向于未知MA系統(tǒng)的已知給定參數(shù)。

另外從頻譜圖10中也可以看出輸入信號(hào)分別通過(guò)2種算法后的輸出頻譜與未知系統(tǒng)的輸出頻譜大體一致，然而還是可以明顯看出在35 Hz、40 Hz、124 Hz等處NLMS不同于未知系統(tǒng)輸出頻譜，而直接獲取法的頻譜在這些點(diǎn)與未知系統(tǒng)頻譜是吻合的，這說(shuō)明其更加貼近未知系統(tǒng)輸出頻譜。

表2 濾波系數(shù)收斂值

系數(shù)w1w2w3w4

NLMS0.994 1-1.466 80.814 90.570 2

直接獲取1.085 6-1.963 10.907 10.571 2

系數(shù)w5w6w7w8

NLMS2.217 82.078-1.817 51.987

直接獲取2.118 62.092-1.768 61.995 4

圖10 頻譜分析

4 結(jié) 語(yǔ)

從以上分析可以看出在以總體誤差作為濾波系數(shù)修正因子的過(guò)程中，聯(lián)合處理過(guò)程第2階段中RLS算法明顯比NLMS算法特性好，而且該聯(lián)合估計(jì)模型也比另外一個(gè)簡(jiǎn)單得多。而以階誤差作為各級(jí)濾波系數(shù)修正因子的過(guò)程中，NLMS算法也沒(méi)有直接獲取法的效果好，但是這種模型在處理過(guò)程中各級(jí)誤差遞歸計(jì)算需要一定時(shí)間，比前一種模型構(gòu)造要復(fù)雜得多。

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題的仿真分析，比較這2種模型的仿真結(jié)果后得出以下結(jié)論:如果一定需要嚴(yán)格限制估計(jì)過(guò)程中濾波模型本身噪聲所帶來(lái)的測(cè)量誤差，那么就有必要采用后一種模型中的直接獲取法進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)，因?yàn)殡A誤差遞歸更新模型以每一級(jí)為最優(yōu)處理對(duì)象，致使總的M級(jí)測(cè)量誤差之和也將最小;但是如果不需要嚴(yán)格關(guān)注濾波模型本身噪聲所帶來(lái)的測(cè)量誤差，從實(shí)用性的角度考慮，在易于實(shí)現(xiàn)的總體誤差更新模型中采用RLSLJE處理方式作為聯(lián)合估計(jì)性能較好，其收斂效果較為理想，計(jì)算量也相對(duì)較小。

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