摘 要:傳統(tǒng)的模糊聚類分析方法分兩個步驟，首先使用目標函數(shù)進行模糊生成，然后應用聚類有效性函數(shù)決定聚類的最佳數(shù)目。針對模糊形成和有效性驗證函數(shù)的內(nèi)在不同所導致的聚類不準確性，應用一種新的基于雙目標模糊聚類分析(BOFCM)的聚類方法。同時將基于三角形隸屬函數(shù)的T-S模糊系統(tǒng)應用于非線性系統(tǒng)辨識中，該方法可以很方便地確定輸入空間的劃分及隸屬函數(shù)的形狀，減少了計算量。將以上方法應用于一個二階系統(tǒng)辨識分析，證實了該方法的有效性。

關鍵詞:TS模糊模型; 雙目標聚類; 三角形隸屬函數(shù); 正交最小二乘法

中圖分類號:TP391 文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)10-0015-03

Cluster Analysis and Identification Method of T-S Fuzzy Model

LIU Cui

(Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China)

Abstract:The traditional fuzzy clustering analysis has two steps， the objective function was used for fuzzy generation and cluster effectivefunction was used for validating numbers of cluster. However， the intrinsic differences of the formation and validation functions may cause Inaccuracy A fuzzy clustering based on bi-objective (BOFCM) analysis is proposed. Moreover，Triangular membership function based on TS Fuzzy Systems is applied to nonlinear system identification. This method can easily determine the input space location and the shape of membership functions， reducing the computational complexity. The above method is confirmed by applying it to analyse a second-order system .

Keywords:TS fuzzy model; bi-objective fuzzy cluster; triangular membership function; orthogonal least squares method

模糊聚類分析是數(shù)據(jù)庫中知識發(fā)現(xiàn)和數(shù)據(jù)挖掘的一種重要技術，判定聚類結果是否合理以及如何獲取最佳類別數(shù)，屬于聚類有效性問題，是聚類分析中的核心問題之一[1]。

聚類有效性分析就是尋找最優(yōu)的聚類數(shù)目，使得數(shù)據(jù)劃分貼近實際情況，聚類目標函數(shù)最小。聚類數(shù)C關系到模糊模型的精確度和復雜性。在模糊聚類領域，模糊C均值聚類算法(FCM)和適合于該算法的聚類有效性函數(shù)已提出很多。例如Bezdek提出的劃分系數(shù)函數(shù)和劃分熵函數(shù)，這兩個函數(shù)是基于模糊劃分矩陣的隸屬度信息定義的，具有明顯的數(shù)學意義和良好的數(shù)學性質(zhì)，運算簡單高效。但它們的主要缺點是與數(shù)據(jù)本身缺乏直接聯(lián)系，因而存在局限性，針對此缺點，許多學者提出同時考慮隸屬度信息和數(shù)據(jù)集本身結構的聚類有效性函數(shù)[2-3]，例如XB，F(xiàn)S和最近提出的PBM，PCAE等。

這里提出一種高效的T-S模糊系統(tǒng)辨識方法，利用雙目標模糊聚類分析同時確定規(guī)則前件的最佳聚類劃分和聚類數(shù)目，無需參數(shù)調(diào)整過程。T-S模型的辨識采用三角形隸屬函數(shù)，大大地減少了計算量，提高了非線性系統(tǒng)辨識的快速性。最后利用正交最小二乘法確定規(guī)則后件參數(shù)，結果證實了其高效性。

1 模糊聚類分析

1.1 傳統(tǒng)的模糊聚類分析方法

(1) 對于預先設定的聚類數(shù)C，進行模糊聚類算法以最小化目標函數(shù);

(2) 利用聚類有效性函數(shù)來驗證模糊劃分的質(zhì)量;

(3) 對于不同的聚類數(shù)C反復進行步驟(1)，(2);

(4) 基于不同C的有效性函數(shù)值來決定最優(yōu)聚類數(shù)目。

1.2 雙目標模糊聚類方法

聚類有效性函數(shù)兼顧了緊致性和分離性這兩個主要影響因素。緊致性度量類內(nèi)各樣本之間的緊密程度或一致程度。分離性表示類與類之間的離散程度或相異程度。一個優(yōu)良的模糊劃分應具有盡可能大的類間分離度和盡可能小的類內(nèi)緊致度。

一種新的雙目標聚類函數(shù)[4-6]可同時體現(xiàn)聚類緊致性和分離性，無需過多的計算量即可用于模糊生成，其結構如下:

JW(U，V)=b∑Nd=1∑Cl=1(udl)m‖Sd-vl‖2-

a∑Cl=1∑i

式中:C是聚類數(shù);N是數(shù)據(jù)樣本個數(shù);Sd的形式為{(xd1，xd2，…，xdn，yd)}，這里(xd1，xd2，…，xdn)是輸入量，yd是相應的輸出量。vl=(vl1，vl2，…，vln，vln+1)是第l個聚類中心;udl是第d個數(shù)據(jù)在第l類里的隸屬度;m>1是設計參數(shù)，一般取為2;b>0，a≥0，a+b =1分別是聚類分離度和緊密度的權值。

在BOFCM算法中，目的就是要找到U=[udl]∈MfC和V=(V1，V2，…，VC)使JW(U，V)最小化。 其中:

MfC={[udl]|∑Cl=1udl=1，d∈{1，2，…，N}，

udl≥0， d∈{1，2，…，N}，l(wèi)∈{1，2，…，C}

經(jīng)過推理，這個最小化問題的充要條件如下:

對于給定的U，充要條件是:

vl=rl-a∑Cs=1(rs/qs)/[1+∑Cs=1(a/qs)]ql，l(wèi)(1)

ql=b∑Nd=1(udl)m-aC，rl=b∑Nd=1(udl)mSd

對于給定的V，充要條件是:

udl=1∑Cs=1(‖Zd-vl‖/‖Zd-vs‖)2m-1，d，l(2)

上述逐步充要條件必須滿足如下假設前提:

a<minl∑Nd=1(udl)m∑Nd=1(udl)m+C-1，

b>maxlC-1∑Nd=1(udl)m+C-1(3)

算法步驟:

(1) 給定數(shù)據(jù)S={S1，S2，…，SN}，Sd∈Rn+1。設定C∈{2，3，…，N-1}，m∈(1，∞)。同時初始化U0∈Mfc，設定g為一個非常小的值，初始步長p=0。

(2) 計算

a=minl∑Nd=1(udl)m∑Nd=1(udl)m+C-1-g，

b=maxlC-1∑Nd=1(udl)m+C-1+g，1≤l≤C

滿足式(3)。

(3) 通過式(1)利用a，b，Up計算Vp。

(4) 通過式(2)利用Vp更新Up到Up+1。

(5) 判定如果Up+1不滿足式(3)，進行p=p+1回到步驟(2)。

(6) 如果Up+1滿足式(3)則更新U，直到‖Up+1-Up‖<ε，計算停止;否則p=p+1回到步驟(3)。

上述聚類分析方法流程如圖1所示。

圖1 聚類分析流程圖

2 模糊辨識

一個MIMO系統(tǒng)可以由多個MISO系統(tǒng)組成，具有P個輸入、單個輸出的MISO系統(tǒng)的離散時間模型可由C條模糊規(guī)則組成的規(guī)則集來表示[7-8]，第l條規(guī)則的形式如下:

Rl:IF x1 is Al1 and x2 is Al2 and…and xn is Aln，

THEN yl=Pl0+Pl1x1+Pl2x2…+Plnxn

式中:l=1，2 ，… C，C為規(guī)則總數(shù);P為結論參數(shù);yl是規(guī)則Rl的輸出;Alj為第j個變量的第l個語言值(模糊集合)，其隸屬函數(shù)采用三角形函數(shù)[9]表示如下:

vlj≤xj≤vl+1j，

uAlj=-(xj-vl+1j)/(vl+1j-vlj)

uAl+1j=(xj-vlj)/(vl+1j-vlj)

可看出采用三角形隸屬函數(shù)無需過多的參數(shù)求證，大大地減少了計算量，提高非線性系統(tǒng)辨識的快速性。T-S模糊模型輸出可使用如下加權平均法計算得到:

=∑Cl=1ylwl∑Cl=1wl=∑Cl=1δlyl

=∑Cl=1δl(pl0+pl1x1+pl2x2+…+plnxn)

式中:δl=wl∑Cl=1wl，wl=Al1∧Al2∧…∧Aln。

最小二乘法是最簡單的一種辨識T-S模型后件參數(shù)的方法，但是這種方法只能應用于簡單的非性系統(tǒng)辨識。對于復雜的非線性系統(tǒng)，需利用正交最小二乘法[10]辨識后件參數(shù)。

將N個輸入/輸出數(shù)據(jù)對代入上式可得矩陣等式:

Y=XP(4)

式中:Y為N×1的矩陣;P=[p10…p1n…pC0…pCn]T;

X=δ11δ11x11…δ11x1n…δ1Cδ1Cx11…δ1Cx1n

δ21δ21x21…δ21x2n…δ2Cδ2Cx21…δ2Cx2n



δN1δN1xN1…δN1xNn…δNCδNCxN1…δNCxNn

采用古典的Gram-Schmidt正交化算法，可將矩陣X分解如下式:

X=UL(5)

式中:U∈RN×N，其列向量互為正交;L∈RM×M，M=(n+1)×C，是上三角形矩陣，且其對角線上元素為1。聯(lián)立式(4)和式(5)可得:

Y=ULP=Ug(6)

通過上述算法可得到U和參數(shù)g，為了求得結論參數(shù)P，利用如下公式:

LP=g P=L-1g(L是可逆矩陣)

總結模糊辨識步驟如下:

(1) 對于輸入/輸出數(shù)據(jù)集S應用BOFCM聚類分析方法決定最佳規(guī)則數(shù)C和模糊劃分。

(2) T-S模糊模型的前件結構和參數(shù)已由上述聚類分析方法求得，然后采用正交最小二乘法進行后件參數(shù)辨識。

3 仿真實例

一個二階系統(tǒng)如下:

初始條件:y(1)=y(2)=0，計算y(t)。

y(t+2)=y(t+1)y(t)[y(t+1)-2.5]1+y(t+1)y(t+1)+y(t)y(t)+u(t+1)

設輸入變量為[y(t+1) u(t+1)]，輸出變量為y(t+2)。控制信號u(t+1)取[-1，1]內(nèi)的隨機序列。

利用上述方程產(chǎn)生100個采樣數(shù)據(jù)，初始C=3，m=17，運用本文方法可得最佳聚類數(shù)5及聚類中心:

-3.010 2-2.702 2-1.920 3-0.828 90.359 7-0.534 8-0.231 5-0.032 50.211 70.581 8

建立TS模糊模型辨識[11-12]結果如圖2所示。

計算辨識精度為:

δ=1102∑102k=1(yk-k)20.009 3

4 結 語

本文這種新的聚類分析方法，合并劃分目標函數(shù)和有效性函數(shù)成一個，使用一個模糊函數(shù)找到最優(yōu)劃分，然后應用正交最小二乘法辨識后件參數(shù)。由仿真可知，采用本文的方法可以方便快速的找到最佳聚類數(shù)目和劃分，大大減少了計算的復雜性。

圖2 T-S模型輸出與真實值比較

參考文獻

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