高明向 陳定方

（武漢理工大學(xué)理學(xué)院1） 武漢 430063） （武漢理工大學(xué)智能制造與控制研究所2） 武漢 430063）

0 引 言

高爾夫球是一種把享受大自然樂趣、體育鍛煉和游戲集于一身的運(yùn)動(dòng)，是一種在優(yōu)美環(huán)境中進(jìn)行的高尚娛樂活動(dòng).對(duì)高爾夫球類運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究，將有助于高爾夫球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展.在國外，對(duì)高爾夫球運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究方法除理論和實(shí)驗(yàn)研究外，還采用數(shù)值模擬方法［1］.在國內(nèi)則側(cè)重于理論分析［2－3］，而在實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值模擬上做得還不夠.在這些文獻(xiàn)中，為了分析和表示的方便，多將一些對(duì)球的運(yùn)動(dòng)影響較小的因素忽略不計(jì)，并把空氣的阻力系數(shù)當(dāng)成常量處理，因而得到的理論分析結(jié)果和實(shí)際情況有一定差別.

盡可能多地考慮影響高爾夫球運(yùn)動(dòng)的因素，建立高爾夫球運(yùn)動(dòng)微分方程，利用數(shù)值模擬方法，對(duì)高爾夫球的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)模擬，可以最大限度地獲得其真實(shí)的動(dòng)力學(xué)行為，無論對(duì)于工程應(yīng)用還是游戲娛樂都具有很大的實(shí)際意義.本文針對(duì)球員能夠控制且對(duì)射程有明顯影響的因素進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)模擬與分析.

1 高爾夫球的運(yùn)動(dòng)微分方程

設(shè)高爾夫球的質(zhì)量為m；半徑為r；質(zhì)心速度為u，是位置x和時(shí)間t的函數(shù)；為單位速度矢量，繞過質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω；g為重力加速度；ρ為空氣密度；Cd為空氣的阻力系數(shù)；μ為空氣的動(dòng)態(tài)粘滯系數(shù)；A為球的特征面積；V為球的體積；Fw為風(fēng)對(duì)球的作用力，也是位置和時(shí)間的函數(shù)，可以根據(jù)實(shí)際需要建立不同的風(fēng)力模型.則球在空氣中平動(dòng)的常微分方程為

在空氣中轉(zhuǎn)動(dòng)的常微分方程為

方程（1）右側(cè)第1項(xiàng)為球的重力G；第2項(xiàng)為空氣阻力Fd；第3項(xiàng)為馬格納斯升力Fl；第4項(xiàng)為空氣浮力Ff；方程（2）右側(cè)為空氣對(duì)球的阻力矩τ.

下面根據(jù)此2方程對(duì)高爾夫球的射程問題進(jìn)行數(shù)值模擬，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析.下文提到的粗糙球是指現(xiàn)代高爾夫球（網(wǎng)紋高爾夫球）.

2 阻力與光滑程度和球速的關(guān)系

當(dāng)高爾夫球在空氣中飛行時(shí)，由于其速度比較高，空氣阻力所產(chǎn)生的影響就顯得十分明顯.對(duì)于大小相同、初始速率相等的球來說，其所受空氣阻力的差異表現(xiàn)在Cd的不同，Cd則與球表面粗糙程度以及雷諾數(shù)Re有關(guān).

圖1反映了Re＞4×104時(shí)，粗糙球與光滑球的Cd與Re間的關(guān)系.當(dāng)Re＜4×104時(shí)，由于光滑球與粗糙球表面形成的邊界層都是層流，邊界層的分離點(diǎn)大致相同，壓差阻力也差不多一樣.但是，由于粗糙的表面會(huì)增加摩擦阻力，因而此時(shí)粗糙球也會(huì)比光滑球受到更大的阻力.

圖1 粗糙球與光滑球的Cd與Re間的關(guān)系

如圖1所示，對(duì)于光滑球，當(dāng)Re超過3×105時(shí)Cd突然減小，對(duì)于粗糙球，當(dāng)Re超過0.5×105時(shí)開始減少，而接近0.75×105時(shí)Cd達(dá)到最小.優(yōu)秀高爾夫球運(yùn)動(dòng)員的擊球速度可達(dá)到61 m／s，可以計(jì)算，對(duì)于實(shí)際的高爾夫球，在1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，20℃時(shí)，此速度下，Re＝1.73×105，根據(jù)圖1，在此雷諾數(shù)下空氣對(duì)粗糙球的阻力系數(shù)約為0.26，而對(duì)光滑球的阻力系數(shù)約為0.48（圖中已用虛線標(biāo)出）.因此粗糙球受到的空氣阻力要比光滑球小得多.但速度為31m／s時(shí)，Re＝0.75×105，根據(jù)圖1，空氣對(duì)二者的阻力系數(shù)相差更多.

隨著雷諾數(shù)的增加，當(dāng)超過4×105時(shí)，從圖1中看到，空氣對(duì)粗糙球的阻力系數(shù)反而超過了光滑球.此時(shí)的球速大約為140m／s，一般情況下，很難打出這么高的速度.

3 高爾夫球射程的動(dòng)力學(xué)模擬［4－5］

3.1 射程與初速率及表面光滑程度的關(guān)系

針對(duì)光滑球與粗糙球進(jìn)行射程模擬實(shí)驗(yàn)，研究初速率對(duì)射程的影響，并對(duì)光滑球和粗糙球的射程進(jìn)行比較.結(jié)果如下.

環(huán)境條件 空氣溫度為20℃（溫度影響空氣阻力系數(shù)）、無風(fēng).

初始條件 球的運(yùn)行方向?yàn)椋瓁軸，并采用理論最佳拋射角［5］，即與地面夾角為45°斜向上拋射，球不旋轉(zhuǎn).

研究方法 給定初始條件和環(huán)境條件，改變初始速率，獲取高爾夫球飛行過程中的數(shù)據(jù)，使用Microsoft Excel軟件處理數(shù)據(jù).

圖2反映了粗糙球的射程與初始速率的關(guān)系.從圖中可以看到，在一定的初始速率范圍內(nèi)，增加球的初始速率能夠有效地增加射程.大約在23～50m／s的范圍內(nèi)，球的射程幾乎隨著初始速率的增加而線性地增大，當(dāng)初始速率超過50m／s時(shí)，隨著初始速率的增加，射程的增量開始減小.

圖2 射程與初始速率的關(guān)系

通過對(duì)粗糙球與光滑球的射程差（粗糙球射程－光滑球射程）及射程比（粗糙球射程／光滑球射程）與初速率間的關(guān)系進(jìn)行模擬，結(jié)果顯示，二者之間的最大比值約為1.66，即粗糙球的射程是光滑球的1.66倍，此時(shí)球的初始速率在70～100 m／s的范圍內(nèi)，一般情況下，球的初始速率都要低于此值，此時(shí)的射程比為1.2～1.6之間.

模擬結(jié)果還表明，當(dāng)初始速率低于23m／s時(shí)，光滑球與粗糙球的射程無差別，高于80m／s時(shí)射程的增大量變得越來越小，超過115m／s時(shí)，粗糙球的優(yōu)勢(shì)就變得越來越小了，這種優(yōu)勢(shì)隨著初始速率的增加幾乎線性地減小，當(dāng)速度超過160m／s時(shí)，光滑球反而比粗糙球飛行得更遠(yuǎn).這是由于，如圖1所示，此時(shí)空氣對(duì)光滑球的阻力系數(shù)要小于對(duì)粗糙球的阻力系數(shù).所以，現(xiàn)代高爾夫球的極限初始速率應(yīng)該控制在160m／s以內(nèi).

3.2 拋射角對(duì)射程的影響

通過拋射角對(duì)射程影響的模擬，得到了最佳拋射角與初始速率的關(guān)系，模擬結(jié)果如下.

環(huán)境條件 空氣溫度為20℃（溫度影響空氣阻力系數(shù)）、無風(fēng).

初始條件 球的運(yùn)行方向?yàn)椋瓁軸，球不旋轉(zhuǎn).

研究方法 給定初始條件和環(huán)境條件，改變拋射角，獲取高爾夫球飛行過程中的數(shù)據(jù).

模擬結(jié)果顯示，不同的初始速率下，最佳拋射角并不相同.初始速率為10m／s時(shí)，最佳拋射角約為44°，此時(shí)的射程約為9.67m；初始速率為31.09m／s時(shí)，最佳拋射角約為35°，此時(shí)的射程約為74.63m；初始速率為61m／s時(shí)，最佳拋射角約為42°，此時(shí)的射程約為196.31m；而當(dāng)初始速率增至75m／s時(shí)，最佳拋射角約為41°，此時(shí)的射程為235.52m.模擬試驗(yàn)表明，當(dāng)考慮到旋轉(zhuǎn)的影響時(shí)，射程會(huì)超過這個(gè)數(shù)值，但最大射程不會(huì)超過300m，這就是現(xiàn)代小型高爾夫球場要求洞間距在300m以內(nèi)，而球的飛行速率設(shè)計(jì)為最高75m／s的原因所在.

圖3反映了最佳拋射角與初始速率間的關(guān)系.初始速率低于20m／s時(shí)的最佳拋射角均為44°，隨著初始速率的增加，最佳拋射角在減小.當(dāng)球速接近31m／s時(shí)，最佳拋射角將減小為33°，高于此速率時(shí)，最佳拋射角又開始增大，但不超過43°，而當(dāng)初始速率高于55m／s時(shí)，拋射角又開始減小，并漸漸趨向35°的拋射角.初始速率高于160m／s時(shí)，就要更換為光滑的球了，因而不需考慮此時(shí)的拋射角問題.

圖3 初始速率與最佳拋射角的關(guān)系

3.3 轉(zhuǎn)速對(duì)射程的影響

旋轉(zhuǎn)對(duì)高爾夫球的射程也有明顯的影響.從球手的角度看，球的旋轉(zhuǎn)可以分為上旋、下旋、側(cè)旋等，其中，上旋將會(huì)增大球的射程，而下旋則會(huì)減小球的射程，因?yàn)橄滦龝r(shí)，空氣對(duì)球的升力將導(dǎo)致球很快下墜.而側(cè)旋則會(huì)改變球在空中的路徑，從而形成各種各樣的飛行姿態(tài)，高爾夫球空中飛行的“九形圖”［6］就與球的不同旋轉(zhuǎn)形式有關(guān).

旋轉(zhuǎn)對(duì)射程的影響，還與球的拋射角有關(guān)，不同拋射角下，需要有不同的轉(zhuǎn)速配合才能達(dá)到最大射程.下面以61m／s初始速率研究轉(zhuǎn)速、拋射角對(duì)射程的影響.

從圖4看到，提高轉(zhuǎn)速的同時(shí)降低拋射角能夠有效增加射程.當(dāng)拋射角較大時(shí)，增大轉(zhuǎn)速對(duì)射程的增加并沒有太大的好處，相反當(dāng)轉(zhuǎn)速提高到一定程度后，反而使射程減少，原因在于，旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的升力不僅在豎直方向上與重力抗衡，還會(huì)在水平方向上產(chǎn)生與球運(yùn)動(dòng)方向相反的分量，從而加劇了球在水平方向上的減速運(yùn)動(dòng).而當(dāng)球的旋轉(zhuǎn)速度超過一定數(shù)值后，球反而會(huì)在空中折回球的拋射點(diǎn).在其他初始速率下，轉(zhuǎn)速對(duì)射程的影響是相似的.

圖4 轉(zhuǎn)速、拋射角與射程的關(guān)系

4 結(jié) 束 語

通過建立高爾夫球的動(dòng)力學(xué)微分方程，并利用空氣對(duì)不同粗糙程度球的阻力曲線，在初始速率為10～160m／s的范圍內(nèi)對(duì)高爾夫球的射程問題進(jìn)行模擬研究，得出了能夠人為控制的多種因素（如初始速率、拋射角度、旋轉(zhuǎn)等）對(duì)高爾夫球射程的影響規(guī)律，模擬結(jié)果與真實(shí)高爾夫球的運(yùn)動(dòng)非常接近，因而對(duì)于增強(qiáng)高爾夫球的擊球技術(shù)和相關(guān)娛樂游戲的開發(fā)是有實(shí)際指導(dǎo)意義的.

［1］夏皮羅.形與流——漫談阻力流體動(dòng)力學(xué)［M］.談鎬生，譯.北京：科學(xué)出版社，1979.

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［4］高明向.虛擬環(huán)境中球形物體的動(dòng)力學(xué)行為建模及其應(yīng)用研究［D］.武漢：武漢理工大學(xué)理學(xué)院，2008.

［5］楊寶勝，王淑惠.仰角取何值時(shí)鉛球拋得最遠(yuǎn)［J］.物理通報(bào)，1990（5）：7－9.

［6］譚受清，熊定勛.高爾夫?qū)д摚跰］.長沙：國防科技大學(xué)出版社，2005.