高明慧

（華中師范大學(xué)電子信息工程，湖北武漢430079）

1.序言

隨著數(shù)字通信技術(shù)的發(fā)展及對通信質(zhì)量的的要求越來越高，數(shù)字通信獲得飛速發(fā)展，成為當(dāng)代通信技術(shù)的主流。與模擬通信系統(tǒng)相比，數(shù)字通信系統(tǒng)有很多優(yōu)勢：傳輸差錯可控、抗干擾能力強(qiáng)、易再生中繼且無噪聲積累等。而在數(shù)字通信系統(tǒng)中，從接收端的角度看，發(fā)送哪一個可能的信號波形是不確定的；且信號在信道傳輸過程中又會受到加性高斯白噪聲的干擾，因此這種發(fā)送信號的不確定性與噪聲的隨機(jī)性，導(dǎo)致接收波形是一個隨機(jī)波形，故在接收端作判決時會不可避免地出現(xiàn)錯判，也即存在一定的差錯概率。因此常常需要利用某種方法對一個數(shù)字通信系統(tǒng)進(jìn)行差錯概率評估，以評價該數(shù)字通信系統(tǒng)的可靠性，以及根據(jù)評估的結(jié)果進(jìn)一步改善系統(tǒng)性能以使得系統(tǒng)的錯判概率達(dá)到最小。

2.Monte Car lo算法簡介

蒙特卡羅(Monte Carlo)方法，也稱計算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于"隨機(jī)數(shù)"的計算方法。它源于美國在第二次世界大戰(zhàn)研制原子彈的"曼哈頓計劃"。該計劃的主持人之一用馳名世界的賭城-摩納哥的Monte Carlo-來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。20世紀(jì)40年代中期，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機(jī)的發(fā)明，Monte Carlo方法作為一種獨(dú)立的方法被提出來，并在核武器研究中首先得到應(yīng)用，但其基本思想很早就已經(jīng)被人們發(fā)現(xiàn)與利用，例如：計算平面上的一個單位邊長的正方形及其內(nèi)部的一個形狀不規(guī)則的"圖形"的面積時，Monte Carlo方法"隨機(jī)化"的思想就是向該正方形"隨機(jī)地"投擲N個點(diǎn)，若有M個點(diǎn)落于"圖形"內(nèi)部，則該"圖形"的面積近似為M/N。蒙特卡羅方法廣泛應(yīng)用在金融工程學(xué)、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、計算物理學(xué)等領(lǐng)域中，在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中蒙特卡羅（Monte Carlo）計算機(jī)仿真主要用于估算數(shù)字通信系統(tǒng)的誤碼率，特別適用于難以對判決器的性能進(jìn)行分析的情況。

3.數(shù)字通信系統(tǒng)中Monte Carlo仿真的一般條件

為了計算出樣本值N應(yīng)該滿足什么條件時利用Monte Carlo估計差錯概率能較逼近理論值，我們現(xiàn)在考慮利用Monte Carlo仿真估計一個隨機(jī)變量Y=m+G，Y＜0的概率情況，即P(m)=P(Y＜0/m)，其中m為某個給定的正值，G為零均值、方差為1的高斯隨機(jī)變量，則Y就是一個均值為m，方差為1的高斯隨機(jī)變量。

我們利用一個統(tǒng)計獨(dú)立的、同分布的、0均值的單位方差高斯隨機(jī)變量Gi，i=1，2，…，N，加上正值m來得到隨機(jī)變量序列：Yi=m+Gi，i=1，2，…，N。分析隨機(jī)變量的概率密度，我們定義估計值為概率密度函數(shù)的面積，即有P'(m)=，當(dāng)Yi＜0時Xi=1，也就是Yi＜0(i=1，2，…，N)個數(shù)與總隨機(jī)變量N的比值，這種估計思想與Monte Carlo基本算法一致。

為了使驗(yàn)證估計值能較好地逼近真正概率，我們計算估計的均值和方差。有

由此說明估計P'(m)的均值等于真正的P(m)的均值，即是無偏估計。

如果假設(shè)對較小概率（即P(m)＜＜1）進(jìn)行估計，為了保證估計的標(biāo)準(zhǔn)偏差比P(m)更小，我們假定則有，又由于P(m)＜＜1，因此有，所以在加性噪聲和加性干擾存在的情況下，對數(shù)字通信系統(tǒng)的差錯概率進(jìn)行估計時，一般應(yīng)該滿足這個條件，但通常當(dāng)P(m)＜＜1時，滿足就足夠了。下面我們就以二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)為例對數(shù)字通信系統(tǒng)的Monte Carlo仿真進(jìn)行詳細(xì)分析。

4.二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)的Monte Carlo仿真

4.1 二進(jìn)制通信系統(tǒng)理論差錯概率分析

在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，我們常用波形信號S0(t)和S1(t)來表示0和1組成的二進(jìn)制數(shù)據(jù)，假設(shè)數(shù)字速率為R(bps)，且傳輸信號的信道為加性高斯白噪聲（AWGN）信道，則序列0和1與信號波形S0(t)和S1(t)的映射關(guān)系可以表示為：

0→S0(t)，0≤t≤Tb

1→S1(t)，0≤t≤Tb(其中Tb＝定義為比特時間區(qū)間)

接收到的信號r(t)則表示為：r(t)=Si(t)+n(t)，i=0，1，其中n(t)是功率譜為常數(shù)N0的加性高斯白噪聲，這樣在接收2端我們將利用信號相關(guān)器（或匹配濾波器）與檢測器對接收到的信號r(t)進(jìn)行判斷，確定發(fā)送端在0≤t≤Tb時刻發(fā)送的是0還是1。

因?yàn)樾盘栂嚓P(guān)器的原理是將接收到的信號r(t)與兩個發(fā)送端信號S0(t)和S1(t)進(jìn)行互相關(guān)運(yùn)算，在t=Tb時對這兩個輸出進(jìn)行采樣（容易證明匹配濾波器在t=Tb時刻的輸出與信號相關(guān)器的輸出是一樣的），并將采樣輸出反饋給檢測器，信號相關(guān)器原理圖如圖1所示。假設(shè)兩個信號波形S0(t)和S1(t)是正交的，即后面的計算中有且發(fā)送的信號為S0(t)，則接收到的信號就為r(t)=S0(t)+n(t)，0≤t≤Tb。

計算得信號相關(guān)器的輸出為：

由此得，r0和r1的概率密度函數(shù)分別表示為：

因此發(fā)送S0(t)信號波形的差錯概率為：

同理我們也可以計算出發(fā)送S1(t)信號的差錯概率和發(fā)送S0(t)同。

下面我們來計算隨機(jī)變量x=(n1－n0)的方差：

4.2 利用Monte Carlo仿真差錯概率分析

實(shí)際中我們常常以用Monte Carlo計算機(jī)仿真來估計數(shù)字通信系統(tǒng)的差錯概率，特別是對檢測器的性能難以分析時。二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中Monte Carlo仿真的模型如圖3所示：

在圖3的仿真模型中我們先由一個產(chǎn)生范圍在（0，1）內(nèi)的均勻隨機(jī)發(fā)生器決定等概率出現(xiàn)并且互為統(tǒng)計獨(dú)立的二進(jìn)制0和1的序列。當(dāng)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)在（0，0.5）內(nèi)時，二進(jìn)制源輸出0，否則輸出1；因此當(dāng)產(chǎn)生0時，信號相關(guān)器輸出r0＝E+n0，r1＝n1；當(dāng)產(chǎn)生1時，r0＝n0，r1＝E+n1。最后由差錯計數(shù)器統(tǒng)計出比特差錯數(shù)，并得出差錯數(shù)與采樣值N的比值。為滿足我們前面分析的利用估計概率時應(yīng)滿足的條件，我們?nèi)≡诓煌琒NR值下，采樣N=10000。同時為了與理論值進(jìn)行比較，我們也將理論值在圖中同時繪出，仿真結(jié)果如圖4所示。

從圖4我們可以看出估計概率值與理論概率值基本一致，應(yīng)用類似的算法也可以得出在其它形式的數(shù)字通信系統(tǒng)中，Monte Carlo仿真估計差錯概率與相應(yīng)的理論概率具有一致性，這也就是Monte Carlo在數(shù)字通信系統(tǒng)中可以仿真差錯率的準(zhǔn)確性與可靠性，因此在數(shù)字通信系統(tǒng)中我們常常利用Monte Carlo仿真估計系統(tǒng)的差錯概率。

5.結(jié)束語

蒙特卡羅(Monte Carlo)方法是一種基于"隨機(jī)數(shù)"的計算方法，其在很多領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。在數(shù)字通信系統(tǒng)中，常常利用Monte Carlo仿真對存在噪聲和干擾的通信系統(tǒng)進(jìn)行差錯概率估計。通過二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)理論與仿真的差錯分析，我們從中得出Monte Carlo對數(shù)字通信系統(tǒng)差錯概率仿真的準(zhǔn)確性與重要性。

[1] 劉樹棠譯.現(xiàn)代通信系統(tǒng)（MATLAB版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2008.

[2] 王立寧，樂光新等.MATLAB與通信仿真[M].北京：人民郵電出版社，2000.

[3] 唐向宏，岳恒立等.MATLAB及在電子信息類課程中的應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2006.