韓 東，韓楊飛

（1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三研究所，北京 100015；2.武警通信總站，北京 100089）

1 引言

互補(bǔ)積累分布函數(shù)（Complementary Cumulative Distribution Function，CCDF）簡(jiǎn)單的說(shuō)就是從功率分配的角度描述輸出信號(hào)質(zhì)量的函數(shù)，它體現(xiàn)了信號(hào)在等于或超過(guò)某個(gè)給定電平或者峰/均功率比的概率或者總共的時(shí)間。說(shuō)起CCDF的由來(lái)要從概率密度分布函數(shù)（Probability Density Function，PDF）開(kāi)始。對(duì) PDF進(jìn)行積分就得到了累計(jì)分布函數(shù) （Cumulative Distribution Function，CDF）。而CCDF是CDF的補(bǔ)集，或者說(shuō)CCDF與CDF是互補(bǔ)的。即CCDF=1-CDF。之所以用CCDF而不用CDF表示功率分布，是因?yàn)镃CDF比CDF更適合描述低概率分布的情況。

在數(shù)字調(diào)制信號(hào)測(cè)量、產(chǎn)品調(diào)試特別是分析放大器的非線(xiàn)性失真時(shí)經(jīng)常用到CCDF測(cè)量[1]。CCDF是一種時(shí)域上的功率分配統(tǒng)計(jì)函數(shù)，在分析變化的功率包絡(luò)和峰均功率比的概率分布方面有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。CCDF與峰均功率比（PAPR）有關(guān)，是衡量信號(hào)功率特性、設(shè)備功率線(xiàn)性的一個(gè)重要參數(shù)。

2 CCDF曲線(xiàn)圖

圖1是用EFA測(cè)量接收機(jī)測(cè)得的256QAM的DVB-C調(diào)制信號(hào)的CCDF曲線(xiàn)圖。原點(diǎn)0 dB表示所有測(cè)量點(diǎn)的平均功率值或參考功率值。x軸是以dB為單位，每格1 dB，表示峰值功率超過(guò)均值功率的分貝數(shù)。y軸表示某一個(gè)點(diǎn)超出平均功率的概率。由圖1可看出，大多數(shù)功率都集中在低幅度信號(hào)上，大功率峰值出現(xiàn)的概率相對(duì)罕見(jiàn)。

圖1 CCDF曲線(xiàn)圖（系統(tǒng)截圖）

3 CCDF與峰值因數(shù)

峰值因數(shù)（crest factor）即峰均功率比（PAPR），是信號(hào)的峰值功率（Ppeak）與平均功率（Paverage）的比值。crest factor的計(jì)算有兩種方法。第一種單純考慮了載波的功率，稱(chēng)為載波法（carrier approach）；第二種從調(diào)制信號(hào)的包絡(luò)功率考慮，稱(chēng)為包絡(luò)法（envelope approach）。兩種方法計(jì)算的結(jié)果相差3 dB。對(duì)于恒包絡(luò)信號(hào)（比如純正弦波）用包絡(luò)法算得的crest factor為0 dB。因此在提到crest factor時(shí)必須明確是用哪種方法計(jì)算的，否則沒(méi)有意義。就crest factor與CCDF的關(guān)系而言，crest factor主要關(guān)注的是即時(shí)信號(hào)峰值功率，而CCDF是用統(tǒng)計(jì)的方法表現(xiàn)在某一時(shí)間段內(nèi)的峰值功率的分布情況，也就是crest factor值在統(tǒng)計(jì)區(qū)間內(nèi)的變化和分布情況。用crest factor方法所得的結(jié)果來(lái)描述信號(hào)的功率特性時(shí)會(huì)因?yàn)閷?duì)整體樣本的考慮不足帶來(lái)一定的偏差。比如有時(shí)認(rèn)為被測(cè)信號(hào)的99.8%都小于所得峰值，0.2%大于所得峰值，這種考慮方法減少了單點(diǎn)信號(hào)對(duì)波形影響的關(guān)注，特別是0.2%的信號(hào)的出現(xiàn)常常是隨機(jī)的。用crest factor來(lái)計(jì)算信號(hào)的峰值功率特性會(huì)帶來(lái)以下問(wèn)題：1）在進(jìn)行誤差修正編碼時(shí)常常會(huì)除去個(gè)別單次出現(xiàn)的峰值導(dǎo)致的影響；2）單次出現(xiàn)的峰值高于主流信號(hào)電平很多時(shí)，被當(dāng)作異常情況忽略掉；3）稀有的峰值信號(hào)導(dǎo)致的譜線(xiàn)再生非常少，從而不利于重復(fù)測(cè)量；4）由真正噪聲導(dǎo)致的最大峰值的測(cè)量依賴(lài)于測(cè)量時(shí)間的長(zhǎng)度。

而CCDF用統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)信號(hào)的高電平給出了較完整、準(zhǔn)確的描述，在規(guī)定的測(cè)量區(qū)間內(nèi)，CCDF不會(huì)忽略任何一個(gè)隨機(jī)出現(xiàn)的峰值信號(hào)。與crest factor一樣，CCDF也有載波法和包絡(luò)法兩種不同的狀態(tài)，兩種方法間同樣有3 dB的差值。CCDF對(duì)于評(píng)估信號(hào)功率失真特性是一個(gè)有用的統(tǒng)計(jì)工具。例如對(duì)于OFDM信號(hào)功率包絡(luò)不是恒定的，CCDF在展現(xiàn)被測(cè)信號(hào)的峰值—平均統(tǒng)計(jì)性質(zhì)上就很有用處。CCDF曲線(xiàn)可以被用來(lái)檢測(cè)被測(cè)信號(hào)是否被削波。

4 CCDF的應(yīng)用

CCDF廣泛的應(yīng)用于數(shù)字電視及通信產(chǎn)品、系統(tǒng)的性能評(píng)測(cè)和產(chǎn)品、器件的研發(fā)過(guò)程中[2]。

1） 用于器件或系統(tǒng)的CCDF分布曲線(xiàn)與理想CCDF曲線(xiàn)的比對(duì)

圖2為用EFA測(cè)量DVB-T[3]的OFDM調(diào)制信號(hào)的CCDF曲線(xiàn)并與標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)比較。

圖2 用EFA測(cè)量DVB-T信號(hào)源（系統(tǒng)截圖）

這里所說(shuō)的OFDM信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)CCDF曲線(xiàn)取決于計(jì)算crest factor的方法。對(duì)于包絡(luò)法，理想的OFDM信號(hào)的CCDF曲線(xiàn)近似于瑞麗分布；對(duì)于載波法，理想的OFDM信號(hào)的CCDF曲線(xiàn)近似于正態(tài)分布。

2）用于器件間性能的比較

圖3顯示出不同濾波器的滾降系數(shù)α對(duì)CCDF曲線(xiàn)的影響。A線(xiàn)對(duì)應(yīng)的α=0.22，B線(xiàn)α=0.75。

圖3 不同滾降系數(shù)的CCDF曲線(xiàn)示意圖

5 數(shù)字電視中的CCDF總結(jié)

現(xiàn)行的數(shù)字電視根據(jù)不同傳輸方式和不同的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)有不同的數(shù)字調(diào)制方式。無(wú)論哪種調(diào)制方式，CCDF在其射頻信號(hào)功率性能的測(cè)量中都非常有用。圖4分別為DVB-C，DVB-T和ATSC信號(hào)的CCDF曲線(xiàn)，由圖可見(jiàn)，ATSC和DVB-C的CCDF曲線(xiàn)的形狀及測(cè)得數(shù)值基本相同，而DVB-T信號(hào)比前兩者平滑一些，數(shù)值也較大。這是因?yàn)槠湔{(diào)制方式不同于前兩者。DVB-T用的是OFDM正交頻分復(fù)用調(diào)制技術(shù)，屬于多載波調(diào)制系統(tǒng)，根據(jù)中心極限定理，這種調(diào)制系統(tǒng)在子載波數(shù)增大時(shí)依分布收斂于復(fù)平穩(wěn)Gaussian隨機(jī)過(guò)程，因而其CCDF分布近似于正態(tài)分布（用Carrier approach時(shí)）。這種調(diào)制方式在抗多徑干擾、移動(dòng)接收等方面具有明顯優(yōu)勢(shì)，但這種優(yōu)勢(shì)需要較高的峰均功率比（PAR），這是由DVB-T規(guī)定的導(dǎo)頻信號(hào)所致。實(shí)踐證明，在相同的覆蓋范圍內(nèi)DVB-T調(diào)制信號(hào)的PAR在99.99%的時(shí)間內(nèi)比ATSC系統(tǒng)高2.5 dB。而圖4中DVB-T和ATSC信號(hào)的CCDF曲線(xiàn)最大值正好相差約2.5 dB。DVB-C和ATSC屬于單載波系統(tǒng)，其峰均功率比及CCDF由頻譜成型濾波器的滾降系數(shù)決定。而QPSK調(diào)制方式是一種恒定包絡(luò)的二維角度調(diào)制技術(shù)，所以QPSK信號(hào)的平均功率恒定，不受幅度衰減的影響，即幅度失真不會(huì)使QPSK產(chǎn)生誤碼。

圖4 DVB-C，DVB-T和ATSC信號(hào)的CCDF曲線(xiàn)（系統(tǒng)截圖）

6 影響CCDF的因素

影響CCDF的因素有：

1）不同的調(diào)制方式有不同的CCDF曲線(xiàn)；

2）對(duì)于OFDM信號(hào)，不同的載波數(shù)或調(diào)制星座的大小會(huì)影響峰均功率比，調(diào)制星座越大峰均功率比就可能越大；

3）對(duì)于DVB-C和ATSC的單載波系統(tǒng)，其峰均功率比和CCDF受頻譜成型濾波器的滾降系數(shù)的影響；

4）通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)載噪比（C/N）對(duì)CCDF曲線(xiàn)及峰值因數(shù)有影響，如圖5所示，用ETL測(cè)量DVB-C信號(hào)的CCDF，當(dāng)C/N=15 dB時(shí)CCDF曲線(xiàn)的橫向最大值和峰值因數(shù)都大于C/N=5.5 dB時(shí)的相應(yīng)值。

圖5 C/N對(duì)CCDF曲線(xiàn)及峰值因數(shù)的影響（截圖）

[1]余兆明，余智，車(chē)欣.數(shù)字電視測(cè)量[M].北京：人民郵電出版社，2008.

[2]劉達(dá).數(shù)字電視技術(shù)[M].2版.北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[3]R&S.The crest factor in DVB-T(OFDM)transmitter systems and its influence on the dimensioning of power components[EB/OL].[2009-11-05].http://www2.rohde-schwarz.com/file_1098/7TS02_2E.pdf.