王新田，尹樹華，李江紅，孫巖清

（1.西安通信學(xué)院 陜 西 西 安 7 10106；2.通信指揮學(xué)院， 湖北 武 漢 4 30010）

合理配置部門的員工數(shù)可以減輕成本，提高效率[1]。在對維修人員的安排上，人員過多往往導(dǎo)致資源利用率低；而人員過少，滿負(fù)荷工作，則導(dǎo)致員工過累。這種情形其實(shí)是人員的安排和維修客戶需求的矛盾，是生產(chǎn)能力和客戶需求不匹配的表現(xiàn)。因此需采用科學(xué)的方法建立數(shù)學(xué)模型，合理安排維修人員的數(shù)目，實(shí)現(xiàn)資源利用的最高配置。

1 排隊(duì)論模型及其主要指標(biāo)

1.1 排隊(duì)論模型簡介

排隊(duì)論是指：顧客請求使用一個(gè)特定的服務(wù)裝置（服務(wù)員），如果某個(gè)服務(wù)裝置是可利用的，來到的顧客便占用它并使用某個(gè)時(shí)間長度。之后顧客離開系統(tǒng)，而服務(wù)裝置立即恢復(fù)為可利用的，而去服務(wù)于剛來或者等待的顧客。如果一個(gè)到來的顧客發(fā)現(xiàn)沒有可利用的服務(wù)裝置，他將采取等待或者離去的行動之一[2]。這樣的模型稱為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。研究隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的理論稱為排隊(duì)論。在本系統(tǒng)中，可將維修的裝備作為顧客，維修人員作為服務(wù)裝置。這可以看作是一個(gè)單排隊(duì)多通道服務(wù)的排隊(duì)系統(tǒng)，其排隊(duì)模型如圖1所示。

圖1 維修單排隊(duì)多服務(wù)系統(tǒng)

1.2 主要指標(biāo)

排隊(duì)長：指在系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的所有顧客數(shù)，其期望值記作Lq。等待時(shí)間：指一個(gè)顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間，其期望值記作Wq。忙期：指服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)繁忙的時(shí)間長度（從顧客到達(dá)空閑的服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次空閑止這段時(shí)間的長度），記作Tb。服務(wù)強(qiáng)度：表示在相同時(shí)間間隔內(nèi)，到達(dá)顧客的平均數(shù)與承受完服務(wù)的顧客平均數(shù)之比。反映服務(wù)效率和服務(wù)機(jī)構(gòu)的利用程度[3]。

2 模型的建立和求解

2.1 模型的建立

這是一個(gè)單排隊(duì)多服務(wù)的排隊(duì)模型，即到達(dá)間隔為負(fù)指數(shù)分布[4],服務(wù)時(shí)間也為負(fù)指數(shù)分布，c個(gè)服務(wù)臺,顧客源無限,系統(tǒng)容量也無限,先到先服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)[5]。可采用M/M/c/∞/∞求解。其中M表示顧客相繼到達(dá)間隔時(shí)間的分布和維修人員服務(wù)時(shí)間的分布，c是指維修人員的數(shù)目。由于顧客可以是源源不斷的，假設(shè)顧客流為泊松流，平均到達(dá)率為λ。各維修人員的服務(wù)時(shí)間滿足負(fù)指數(shù)分布，而各維修人員的工作是相互獨(dú)立的(不搞協(xié)作)，單個(gè)維修人員的平均服務(wù)率為μ，則整個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均服務(wù)率為cμ（當(dāng)n≥c），或nμ（當(dāng)n＜c）。令ρ=λ/（cμ）， 稱為系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度（服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均利用率），當(dāng)ρ＞1時(shí)，系統(tǒng)就會出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，即有顧客在排隊(duì)等待。隨著時(shí)間推移，隊(duì)伍會越來越長，系統(tǒng)就越來越不穩(wěn)定，具體表現(xiàn)就是顧客會對部門產(chǎn)生不滿，因此不能采納。當(dāng)ρ≤1時(shí)，并且時(shí)間充分，每個(gè)狀態(tài)將會循環(huán)出現(xiàn)[6]。系統(tǒng)狀態(tài)概率為：

通過連續(xù)10天的跟蹤調(diào)查得到數(shù)據(jù)，如表1所列。

表1 顧客維修情況統(tǒng)計(jì)表

從表1中看到顧客的到達(dá)時(shí)間劃分為2段，這有利于對員工的工作時(shí)間進(jìn)行安排。上午的工作時(shí)間中，顧客的到達(dá)平均數(shù)為17人。平均每小時(shí)是4.25人。下午的工作時(shí)間中，顧客的到達(dá)平均數(shù)為22人。平均每小時(shí)是5.5人。下午的顧客數(shù)相比上午較多。但部門在上午和下午都是安排3個(gè)維修人員。每個(gè)維修人員每半個(gè)工作日只能服務(wù)8個(gè)客戶。則每個(gè)員工的服務(wù)率為2人/h。這樣必然導(dǎo)致下午的工作人員工作強(qiáng)度比較大。而且會出現(xiàn)排隊(duì)等待的現(xiàn)象。下面運(yùn)用排隊(duì)論模型對維修人員的安排進(jìn)行建模，合理配置人員。

2.2 模型求解

從建立的模型得到上午的顧客期望值λ=4.25人/h，下午顧客的期望值λ=5.5人/h。每個(gè)維修人員的平均服務(wù)率λ=2人/h。維修人員數(shù)c=3。這里需要求出維修臺的平均服務(wù)強(qiáng)度ρ，在系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的所有顧客數(shù)Lq，顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間Wq。根據(jù)這3個(gè)指標(biāo)得出這個(gè)系統(tǒng)中顧客平均需等待的時(shí)間，每個(gè)維修員工的忙閑程度，從而得出員工的安排是否發(fā)揮了最大的利用率，顧客是否對服務(wù)滿意。由式（1）～式（4）得出：

1）上午工作時(shí)段

ρ=λ/（cμ）=0.708，λ/μ=2.125。利用LINGO軟件來求解，有關(guān)參數(shù)為c=3，L=λ=4.25，T=1/μ=1/2，R=λ/μ=2.125。其編程為：

運(yùn)行該程序得Lq=1.226，Wq=17 min。

2）下午工作時(shí)段

ρ=λ/（cμ）=0.917，λ/μ=2.75。利用LINGO軟件來求解，有關(guān)參數(shù)為c=3,L=λ=5.5,T=1/μ=1/2，R=λ/μ=2.75。其編程為：

運(yùn)行該程序得Lq=9.31，Wq=1.69 h。

從計(jì)算結(jié)果可以看出，員工上午的平均工作強(qiáng)度為0.708，強(qiáng)度有點(diǎn)偏低，顧客的等待時(shí)間為17 min，這在維修一些比較大的機(jī)器時(shí)是可以忍受的。而員工下午的平均工作強(qiáng)度為0.917，強(qiáng)度很大，基本上得不到休息，而顧客的等待時(shí)間竟然為1.69 h，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出顧客忍受程度，所以必須調(diào)整員工人數(shù)。

在不同的時(shí)間段設(shè)置不同數(shù)目的員工，利用前面的計(jì)算方法，得到結(jié)果如表2所示。

表2 系統(tǒng)維修指標(biāo)表

從表2可知，當(dāng)配置2個(gè)員工時(shí)，服務(wù)強(qiáng)度ρ＞1，這時(shí)將出現(xiàn)排隊(duì)無窮盡的情況，所以不適用。當(dāng)配置3個(gè)員工時(shí)，上午時(shí)段，每個(gè)顧客的等待時(shí)間為17 min，服務(wù)強(qiáng)度ρ為0.708，可以接受；下午時(shí)段，每個(gè)顧客的等待時(shí)間為101 min，顯然不能接受。當(dāng)配置4個(gè)員工時(shí)，上午時(shí)段，每個(gè)顧客等待時(shí)間為3 min，服務(wù)強(qiáng)度為0.531，員工空閑時(shí)間太多，資源利用率不高，應(yīng)該舍棄；下午時(shí)間段，顧客等待時(shí)間為10 min，服務(wù)強(qiáng)度ρ為0.688，可以接受。當(dāng)配置5個(gè)以上的員工時(shí)，服務(wù)強(qiáng)度小于0.5，不適合。由以上看出，上午時(shí)間段，應(yīng)該配置3個(gè)員工。而下午時(shí)間段，配置4個(gè)員工比較合理。

綜上可知，對于維修部門的員工配置，重點(diǎn)參考2個(gè)指標(biāo)：顧客平均需等待的時(shí)間Wq和每個(gè)維修員工的忙閑程度ρ。通過觀察平均到達(dá)的顧客數(shù)和員工的維修時(shí)間，得出λ和μ，并利用上述編程進(jìn)行簡單的數(shù)字替換，得到合適的員工數(shù)目。

3 結(jié)束語

綜上所述，利用排隊(duì)論模型M/M/c/∞/∞，通過對顧客的數(shù)目和員工的維修時(shí)間進(jìn)行觀察，結(jié)合模型，得出各個(gè)參考指標(biāo)，進(jìn)而求出最佳的維修人員的數(shù)量。從而可以對維修部門的員工配置進(jìn)行合理安排，這樣既方便顧客，又考慮到部門的人力資源利用率。

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