蔡勇斌，劉女英，蔡勇平，蔡曉鴻

（1.江西省吉安市水利局，江西吉安343000；2.江西省吉安市水利水電規(guī)劃設(shè)計(jì)院，江西吉安343000）

0 引言

壩下涵管是中小型水庫工程常用輸水建筑物，其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)首先應(yīng)進(jìn)行承載能力極限狀態(tài)計(jì)算。此外，壩下涵管不允許出現(xiàn)裂縫，以免危害大壩安全，需滿足抗裂要求[1]。

有必要指出，目前壩下涵管按獨(dú)立構(gòu)件進(jìn)行分析計(jì)算，計(jì)算理論與模型均欠合理，拙文給出的壩下涵管結(jié)構(gòu)內(nèi)力與變位計(jì)算及抗裂驗(yàn)算解析法彌補(bǔ)了上述缺陷，具有實(shí)際應(yīng)用意義。顯然，所獲成果可順利應(yīng)用于圓形隧道結(jié)構(gòu)內(nèi)力與變位計(jì)算。

1 彈性地基圓弧曲梁控制微分方程

壩下涵管承受豎向荷載qv、水平側(cè)向荷載qH(θ)（qH1、qH2分別為涵管頂、底水平側(cè)向荷載）、自重G和外水壓力p0(θ)等主動(dòng)荷載與土體彈性抗力被動(dòng)荷載的作用（圖1）。其最不利計(jì)算工況是涵管內(nèi)無水檢修期荷載組合。

壩下涵管弧段，可視作彈性地基圓弧曲梁。涵管結(jié)構(gòu)、荷載關(guān)于CD直線對(duì)稱。設(shè)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，管壁厚h=r1-r0；斷面中心半徑為ri=0.5(r0+r1)，H為頂部水頭，γω為水的重度，混凝土重度為γc、彈性模量為Ec，斷面面積為F，慣性矩為I0。截取微分單元ridθ，其中徑向位移為W(θ)，切向位移為V(θ)，K為涵管周邊土體抗力系數(shù)，涵管與土體間的剪應(yīng)力為τ，斷面的彎矩為M(θ)，剪力為Q(θ)，軸力為N(θ)，曲梁截面角位移為?(θ)（圖2）[2]。上述各力與夾角θ均以圖示方向?yàn)檎?/p>

圖1 圓形壩下涵管計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic drawing for circular embedded pipe in calculation

圖2 微分單元受力示意圖Fig.2 Schematic drawing of forces in differentiation element

列出微段的靜力平衡方程，略去二階微量后有[2]

對(duì)式（6）從0到θ積分，并注意到

整理得

又由結(jié)構(gòu)力學(xué)知，徑向位移與截面內(nèi)力間有關(guān)系式

據(jù)式（4）～（9），可導(dǎo)出徑向位移W(θ)應(yīng)滿足的控制微分方程

2 彈性地基圓弧曲梁內(nèi)力與變位計(jì)算

微分方程式（10）的解由特解W0(θ)與基本解W1(θ)組成[3]，即

其特解為

其基本解W1(θ)為

據(jù)式（11）、（12）、（13）可得彈性地基曲梁截面角位移

當(dāng)壩下涵管未出現(xiàn)裂縫時(shí)，據(jù)對(duì)稱性W(π)=W(-π)，可得c1=c3，c2=-c4，τ=0；又由，得c1=0，c2=0。于是式（11）可改寫成

相應(yīng)彈性地基曲梁內(nèi)力與角位移?(θ)表達(dá)式為

忽略軸向力產(chǎn)生的切向應(yīng)變?chǔ)纽?，有切向位移[4]

將式（15）代入上式積分，并利用V(θ)|θ=0=0確定微積分常數(shù)C，可得

3 壩下涵管結(jié)構(gòu)內(nèi)力與變位解析計(jì)算式及抗裂驗(yàn)算

將式（22）代入式（15）～（19）、式（21），可得圓形壩下涵管內(nèi)力與變位解析計(jì)算式

壩下涵管在外壓荷載作用下，內(nèi)緣、外緣的切向應(yīng)力σθ計(jì)算式為[2]

將式（16）、（17）代入上式，整理得

將求解式（31）、（32）所得θ值代入式（30），即可得到壩下涵管切向應(yīng)力極大值，將其與混凝土軸心抗拉強(qiáng)度ftk進(jìn)行比較，便可判定壩下涵管是否滿足抗裂要求。

4 工程算例

鋼筋混凝土圓管結(jié)構(gòu)，r0=1.25 m，r1=1.45 m，Ec=2.535×107kPa，rc=24.53 kN/m3，γω=9.81 kN/m3，qv=333.43 kN/m，H=10 m，k=1.96×104kN/m3。于是有ri=1.35 m，η1=1.074074074，η0=0.925925925，F(xiàn)=0.2 m2，I=6.666666667×10-4m4，m2=5.1451,α=0.7963,β=1.2783。

計(jì)算bM、cM、dM、gM、fM值，據(jù)式（26）～（28）可得圓管內(nèi)力計(jì)算式，將所計(jì)算點(diǎn)位的角度值代入，可得圓管各點(diǎn)內(nèi)力值如表1所示。

表1 圓管結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算結(jié)果表Table 1:Calculation result of the structure inner force of the cir?cular embedded pipe

利用式（23）～（25）可計(jì)算出圓管各點(diǎn)變位值；利用式（30）計(jì)算參數(shù)B、C、D、E值，代入式（31）、（32），可求算出圓管切向應(yīng)力極大值相應(yīng)點(diǎn)位的角度值；再將所得極值點(diǎn)的角度θ值代入式（30），即可得出切向應(yīng)力極大值σθmax，進(jìn)而將其與混凝土軸心抗拉強(qiáng)度ftk相比較，便可判別圓管是否出現(xiàn)裂縫，具體計(jì)算不予贅述。

5 結(jié)語

圓形壩下涵管與圓形隧道目前多采用數(shù)值計(jì)算方法對(duì)其進(jìn)行內(nèi)力近似分析。本文采用壩下涵管（隧道）結(jié)構(gòu)與巖土體聯(lián)合工作模型[5，6]，通過建立彈性圓弧曲梁控制微分方程，給出了圓形壩下涵管（隧道）結(jié)構(gòu)內(nèi)力、變位及抗裂驗(yàn)算計(jì)算方法與相應(yīng)解析計(jì)算式，揭示了相關(guān)物理力學(xué)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)力、變位的影響，且可用于數(shù)值計(jì)算方法精度的定量評(píng)估?！?/p>

[1]SL191-2008，水工混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[S].北京：中國水利水電出版社，2009：9～14.

[2]蔡曉鴻，蔡勇平.水工壓力隧洞結(jié)構(gòu)應(yīng)力計(jì)算[M].北京：中國水利水電出版社，2004：224～232.

[3]盧存恕.建筑結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社，1987：45～51.

[4]王維英.用伽遼金權(quán)殘法分析圓形隧道[J].水利學(xué)報(bào)，1990，（1）：49～54.

[5]蔡勇斌,蔡勇平,吳韶華.壩下埋管環(huán)向裂縫與軸向抗裂驗(yàn)算[J].大壩與安全,2008,(4):1～3.

[6]張志堅(jiān),項(xiàng)和祖.石門水庫輸水管的加固設(shè)計(jì)[J].大壩與安全,2005,(1):73～75.