沈小紅 吳啟銳 肖 笛 鄧愛民

中國艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武 漢 430064

雙斷級(jí)滑行艇的阻力回歸公式

沈小紅 吳啟銳 肖 笛 鄧愛民

中國艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武 漢 430064

本文以5艘雙斷級(jí)滑行艇模型的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用多元線性回歸的方法對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，從而導(dǎo)出在不同斷級(jí)參數(shù)情況下雙斷級(jí)滑行艇的阻力回歸公式。通過相對(duì)誤差分析法驗(yàn)證了回歸公式的精確性，并根據(jù)回歸的結(jié)果繪制成圖以供設(shè)計(jì)參考。

雙斷級(jí)滑行艇；多元線性回歸；阻力回歸公式；相對(duì)誤差分析法

1 引言

雙斷級(jí)滑行艇的主要優(yōu)點(diǎn)是航速高、阻力小，而兩個(gè)斷級(jí)的幾何參數(shù)（斷級(jí)的縱向位置和高度）對(duì)其阻力性能的影響至關(guān)重要，由于各滑行面之間的干擾比較復(fù)雜［1］，因而斷級(jí)的確定主要還是依靠模型試驗(yàn)，至今尚無一種有效的理論計(jì)算方法。本文將根據(jù)模型試驗(yàn)所得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，用多項(xiàng)式回歸的方法［2－3］得到在不同斷級(jí)參數(shù)情況下雙斷級(jí)滑行艇的阻力公式。

本文將取5艘雙斷級(jí)滑行艇模型的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，除了斷級(jí)參數(shù)以外，這些模型的主尺度完全相同。這些模型的編號(hào)及斷級(jí)參數(shù)值如表1所示。

表中，l1為斷級(jí)總長度；θ1為斷級(jí)角度 （任何縱剖線上兩個(gè)斷級(jí)下緣點(diǎn)與艇尾封板下緣點(diǎn)的連線在一條直線上［4］，此直線與基線的夾角即為斷級(jí)角度）；l2為前斷級(jí)長度；l3為后斷級(jí)長度；h為斷級(jí)高度（兩個(gè)斷級(jí)高度相等）。通過斷級(jí)總長度l1和斷級(jí)角度θ1這兩個(gè)因素應(yīng)用幾何關(guān)系可求出前斷級(jí)長度l2、后斷級(jí)長度l3和斷級(jí)高度h的值，這樣就能將雙斷級(jí)艇的斷級(jí)參數(shù)從3個(gè)因素的變化轉(zhuǎn)化為兩個(gè)因素的變化。因此，本文所選取的試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄嗉?jí)參數(shù)就是由斷級(jí)總長度l1和斷級(jí)角度θ1這兩個(gè)因素來確定的。

表1 模型的編號(hào)及對(duì)應(yīng)的斷級(jí)參數(shù)值

2 多元線性回歸

設(shè)隨機(jī)變量y與非隨機(jī)變量之間有如下的p元線性回歸模型：

式中，β0、 β1、 …、 βp是p＋1 個(gè)待估參數(shù)；x1、 x2、…、xp是p個(gè)可以精確測量或可控制的一般變量；ε1、 ε2、…、 εN是 N 個(gè)相互獨(dú)立且服從同一正態(tài)分布N（0，σ）的隨機(jī)變量。這就是多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型［5］。

采用最小二乘估計(jì)法可求出系數(shù)β0、β1、…和βp，而后可確定 y 與 x1、 x2、…、 xp之間的關(guān)系為：

y＝β0＋β1x1＋ β2x2＋ …＋ βpxp（2）

在上述過程中，尚需討論兩個(gè)方面的問題：一方面是線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)檢驗(yàn)，以驗(yàn)證y與x1、x2、…、xp之間確實(shí)存在線性關(guān)系；另一方面是回歸系數(shù)的假檢驗(yàn)，以驗(yàn)證每個(gè)因子x1、x2、…、xp對(duì)y的影響程度，剔除那些影響不顯著的因子，這就需要選擇“最優(yōu)”的回歸方程［6］。

所謂“最優(yōu)”回歸方程，就是包含所有對(duì)y影響顯著的變量而不包含對(duì)y影響不顯著的變量的回歸方程。選擇“最優(yōu)”回歸方程的方法有幾種，本文將采用逐步回歸分析的方法來建立“最優(yōu)”回歸方程。

逐步回歸分析的基本思想是將因子逐個(gè)引入。引入因子的條件是，該因子的偏回歸平方和經(jīng)檢驗(yàn)是顯著的。同時(shí)，每引入一個(gè)新因子后，要對(duì)舊因子逐個(gè)檢驗(yàn)，將偏回歸平方和變?yōu)椴伙@著的因子剔除。采用上述方法，由于每一步都進(jìn)行檢驗(yàn)，因而保證了最后所得的方程中所有的因子都是顯著的。

3 雙斷級(jí)滑行艇的阻力回歸公式

下面將模型A1、A2和A3（這些模型具有相同的斷級(jí)總長度l1）作為一組進(jìn)行回歸，再將模型A2、B2和C2（這些模型具有相同的斷級(jí)夾角θ1）作為一組進(jìn)行回歸。

3.1 A1、A2 和 A3 阻力回歸公式

在回歸分析前，首先要將因變量和所有自變量進(jìn)行無因次化［7］，各變量無因次化結(jié)果如下：

阻力無因次化：阻升比R／Δ；重心無因次化：xg／B（B為折角線平均寬度）；斷級(jí)長度 l1無因次化：l1／B。

斷級(jí)夾角θ1在實(shí)艇和模型中具有相同的角度，它們的幾何關(guān)系不會(huì)發(fā)生變化，故斷級(jí)夾角θ1無需進(jìn)行無因次化。

以斷級(jí)夾角θ1、xg／B和動(dòng)負(fù)荷系數(shù)CB為自變量，阻升比R／Δ為因變量，進(jìn)行三元多項(xiàng)式回歸分析［8］，這樣可以把阻升比R／Δ的試驗(yàn)數(shù)據(jù)在斷級(jí)夾角θ1、xg／B和動(dòng)負(fù)荷系數(shù)CB3個(gè)方向上進(jìn)行光順。故可設(shè)回歸多項(xiàng)式的表達(dá)式如下：

從繪出的試驗(yàn)點(diǎn)草圖可以看出試驗(yàn)曲線比較平緩，沒有出現(xiàn)拐點(diǎn)，則可取 n1＝n2＝n3＝2，即可將式（3）轉(zhuǎn)化為：

顯然，式（4）為一非線性表達(dá)式，為了能應(yīng)用回歸的方法進(jìn)行處理，可以采用變量替換的方法將其轉(zhuǎn)化為多元線性回歸表達(dá)式［9］。

本文所取試驗(yàn)數(shù)據(jù)為：斷級(jí)夾角θ1取0.81°、1.11°、1.41°等 3 個(gè)值； xg／B 取 1.062 5、1.125 0、1.187 5 等 3 個(gè)值；動(dòng)負(fù)荷系數(shù) CB取 0.030 16、0.032 18、0.033 42、0.034 19、0.035 65、0.037 88、0.039 89、0.042 55、0.045 21、0.047 48、0.050 64、0.053 81、0.057 44、0.061 27、0.065 10 等 15 個(gè)值。形成的阻升比數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 A1、A2和A3阻升比R／Δ 數(shù)據(jù)

根據(jù)逐步回歸的計(jì)算方法，應(yīng)用Matlab編程計(jì)算可算得顯著變量回歸系數(shù)Lijk的值，其具體結(jié)果如表3。

表3 A1、A2和A3阻升比R／Δ 計(jì)算公式的Lijk值

3.2 A2、B2 和 C2 阻力回歸公式

按照回歸A1、A2和A3阻力公式的方法，同樣可以對(duì)A2、B2和C2阻力公式進(jìn)行回歸，故可設(shè)其回歸多項(xiàng)式的表達(dá)式為：

采用變量替換的方法將式（6）轉(zhuǎn)化為多元線性回歸表達(dá)式的方法同上節(jié)內(nèi)容，故在此不再贅述。 在本節(jié)所取的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，l1／B 取 1.481 25、1.575 0、1.668 75 等 3 個(gè)值；xg／B 和動(dòng)負(fù)荷系數(shù) CB所取的值同上一節(jié)。同樣也形成了個(gè)數(shù)據(jù)，其阻升比R／Δ的數(shù)據(jù)如表4所示，應(yīng)用Matlab編程計(jì)算所得的阻升比R／Δ計(jì)算公式的Lijk值如表5所示。

4 計(jì)算公式精確性分析

對(duì)于以上回歸的阻升比計(jì)算公式，還應(yīng)分析其精確性。本文將采用相對(duì)誤差分析法［10］，從兩個(gè)方面來驗(yàn)證以上回歸公式的精確性。首先從進(jìn)行回歸的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中取出原始數(shù)據(jù)進(jìn)行比較 （由于試驗(yàn)數(shù)據(jù)太多，故只取小部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行比較驗(yàn)證），其比較結(jié)果如表6和表7所示；其次，由于模型 A3 在重心縱向位置 xg＝640 mm（即 xg／B＝1.0）時(shí)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)并沒有參加回歸，則可用此試驗(yàn)數(shù)據(jù)與回歸公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，其比較結(jié)果如表8所示。

由以上分析結(jié)果可見，根據(jù)回歸計(jì)算公式所求得結(jié)果與原始試驗(yàn)值非常接近。此外，如圖1～5所示，回歸曲線與試驗(yàn)數(shù)值點(diǎn)具有良好的貼近性，由此，可以看出本文的回歸公式計(jì)算精度比較高。

表4 A2、B2和C2阻升比R／Δ 數(shù)據(jù)

表5 A2、B2和C2阻升比R／Δ 計(jì)算公式的Lijk值

表 6 A1、A2 和 A3 在 xg／B ＝ 1.575 時(shí)比較結(jié)果

表 7 A2、B2 和 C2 在 xg／B ＝ 1.575 時(shí)比較結(jié)果

表 8 A3 在 xg／B＝1.0 時(shí)比較結(jié)果

5 結(jié) 論

本文采用多元線性回歸中逐步回歸的計(jì)算方法，得出雙斷級(jí)滑行艇在不同斷級(jí)參數(shù)下的 “最優(yōu)”阻力回歸公式，通過對(duì)計(jì)算值與試驗(yàn)值的相對(duì)誤差分析，可以看出回歸所得的計(jì)算公式精度比較高，從而證明了根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用回歸分析的方法得出雙斷級(jí)滑行艇的阻力計(jì)算公式是有效而可信的。本文所得的回歸公式可以為設(shè)計(jì)雙斷級(jí)滑行艇的斷級(jí)參數(shù)選擇提供一些理論依據(jù)。

［1］董祖舜.快艇動(dòng)力學(xué)［M］.武漢：華中理工大學(xué)出版社出版，1991，4.

［2］周連第.多元回歸分析方法及在船舶科研設(shè)計(jì)中的應(yīng)用［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1979.

［3］譚仲楷.應(yīng)用回歸分析方法估算圓艇舭阻力［J］.中國造船，1979，67（2）：14－29.

［4］夏翔.超高速斷級(jí)滑行艇推進(jìn)系統(tǒng)工況配合特性的研究［J］.中國艦船研究，2008，3（2）：39－42.

［5］上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.回歸分析及其試驗(yàn)設(shè)計(jì) ［M］.上海：上海教育出版社，1978.

［6］何志飛，邢圣德.滑行艇之最佳阻力［J］.江蘇船舶，1996，13（4）：1－4.

［7］郭亨翔，倪家俊，張蓓玉.當(dāng)今世界優(yōu)秀船型主要參數(shù)的回歸分析［J］.船舶設(shè)計(jì)通訊，2002（4）：12－31.

［8］ LAMMEREN W P A VAN，MANEN J D VAN，OOSTERVELD M W C.The wageningen B－screw series Trans［J］.Society of Naval Architects and Marine Engineer，1969（77）.

［9］陳賓康，趙成璧，洪安祥.船用組合舵水動(dòng)力系數(shù)的回歸公式［J］.中國造船，1999，147（4）20－27.

［10］李紅.數(shù)值分析［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2003.

A Resistance Regression Formula for Double－stepped Planing Craft

Shen Xiao－h(huán)ong Wu Qi－ruiXiao DiDeng Ai－min
China Ship Development and Design Center， Wuhan 430064， China

Based on the model test data of five double－stepped planing crafts， the multiple linear regression method was used to treat the test data and thus a resistance regression formula was obtained for the craft with different parameters of its double steps.Then， the accuracy of the regression formula was verified through the relative error analysis.Finally，the regression results were plotted in charts so as to be references for design.

double－stepped planing craft； multi－factor linear regression； resistance regression formula；relative－error analysis method

U661.3

A

1673－3185（2010）02－59－05

2009－04－16

沈小紅（1980－），女，碩士研究生。研究方向：船舶與海洋結(jié)構(gòu)物設(shè)計(jì)制造。E-mail：shenxiaohong304＠163.com

吳啟銳（1965－），男，研究員，碩士生導(dǎo)師。研究方向：船舶與海洋結(jié)構(gòu)物設(shè)計(jì)制造