王 慶，王東強(qiáng)

(蘇州職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，江蘇 蘇州 215104)

1 問題提出

衛(wèi)星和飛船在國民經(jīng)濟(jì)和國防建設(shè)中有著重要的作用，對它們的發(fā)射和運行過程進(jìn)行測控是航天系統(tǒng)的一個重要組成部分，理想的狀況是對衛(wèi)星和飛船(特別是載人飛船)進(jìn)行全程跟蹤測控。

測控設(shè)備只能觀測到所在點切平面以上的空域，且在與地平面夾角3度的范圍內(nèi)測控效果不好，實際上每個測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域。在一個衛(wèi)星或飛船的發(fā)射與運行過程中，往往有多個測控站聯(lián)合完成測控任務(wù)，如神舟七號飛船發(fā)射和運行過程中測控站的分布。

請利用模型分析衛(wèi)星或飛船的測控情況，具體問題如下:

(1)在所有測控站都與衛(wèi)星或飛船的運行軌道共面的情況下，至少應(yīng)該建立多少個測控站才能對其進(jìn)行全程跟蹤測控?

(2)如果一個衛(wèi)星或飛船的運行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，且在離地面高度為H的球面S上運行?？紤]到地球自轉(zhuǎn)時該衛(wèi)星或飛船在運行過程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異，問至少應(yīng)該建立多少個測控站才能對該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達(dá)到全程跟蹤測控的目的?

(3)收集我國一個衛(wèi)星或飛船的運行資料和發(fā)射時測控站點的分布信息，分析這些測控站點對該衛(wèi)星所能測控的范圍。

2 問題分析和模型假設(shè)

問題一，假設(shè)衛(wèi)星測控站分布在與衛(wèi)星軌道共面的地球表面，且衛(wèi)星的運行軌道為圓。利用幾何關(guān)系給出全部覆蓋需要的測控站點數(shù)與衛(wèi)星高度的關(guān)系。當(dāng)衛(wèi)星的運行軌道為橢圓，衛(wèi)星運行軌道的一個焦點在地球中心，利用幾何關(guān)系給出每個測控站的覆蓋范圍。問題二，在地球自轉(zhuǎn)的影響下衛(wèi)星運行過程中星下線的軌跡是地球表面的一些曲線，計算測控站的數(shù)量比較困難。一種粗略的估算方法是設(shè)置許多測控站，使得其能覆蓋衛(wèi)星飛過的所有空域。計算這個涵蓋赤道的球面的立體角，再用一個觀測站所能覆蓋的立體角去除得到要覆蓋這個區(qū)域至少需要的觀測站。問題三，收集衛(wèi)星或飛船的發(fā)射或運行數(shù)據(jù):軌道傾角、高度等;收集該衛(wèi)星發(fā)射和運行過程中觀測站的數(shù)據(jù):數(shù)量、位置等;給出衛(wèi)星運行軌道、衛(wèi)星運行過程中的軌跡方程、每個站的測控范圍、衛(wèi)星或飛船在運行到某一圈時可測控的范圍，最好能給出一段最長的觀測時間。

3 模型的建立和求解

3.1 問題一

在此問題中(見圖1)，我們假設(shè)衛(wèi)星測控站分布在與衛(wèi)星軌道共面的地球表面。

圖1 衛(wèi)星的運行軌道為圓

首先考慮簡單情形，衛(wèi)星的運行軌道為圓。

設(shè)衛(wèi)星或飛船飛行對地高度為H，地球半徑為R，衛(wèi)星的飛行軌道是以地心為圓心R+H為半徑的圓。在A處設(shè)有一測控站，測控范圍邊線與地平面的夾角為θ，為確定測控站數(shù)應(yīng)先計算出觀測區(qū)域在地球表面上投影所對應(yīng)的圓心角2α。根據(jù)圖1，在ΔABO中，由從而 2α=故所需的測控站個數(shù)n(θ，H)為:

由于在實際中衛(wèi)星或飛船繞地球運轉(zhuǎn)的軌道是橢圓形的。(見圖2)

我們?nèi)E圓軌道上距地心最近的距離為H0，以地心O為圓心，R+H0為半徑作圓(圖中虛線圓)。由于虛線圓包含在橢圓區(qū)域內(nèi)，若能監(jiān)控到圓周及其以外空域，則一定能監(jiān)控到橢圓及以外空域。因此我們只要在地球上均勻建站監(jiān)控整個虛線圓周。根據(jù)上述方法所需的測控站個數(shù)為n(θ，H0)。

圖2 衛(wèi)星或飛船繞地球運轉(zhuǎn)軌道是橢圓形

3.2 問題二

由于衛(wèi)星或飛船的運行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，而且地球自轉(zhuǎn)時該衛(wèi)星或飛船在運行過程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異。因此，在地球自轉(zhuǎn)的影響下衛(wèi)星或飛船運行過程中星下線的軌跡是地球表面的一些曲線。(見圖3)

圖3 星下線的軌跡是地球表面的一些曲線

由圖3觀察和分析可以得出:星下點軌跡均勻地分布在赤道的兩邊，即南緯與北緯之間。因此，只需測控南緯與北緯之間的帶狀區(qū)域內(nèi)，就可以實現(xiàn)對該衛(wèi)星的全程測控。

某一觀測站的觀測區(qū)域在以地心為球心，半徑為R+H的球面上，其在地球表面的投影為一球冠(見圖4)，面積為S=2πR(R－Rcosα)。衛(wèi)星或飛船運行軌道在地球表面投影的帶狀區(qū)域面積為 S^=4πR2sinλ。若要測控帶形區(qū)域內(nèi)所有的范圍，需測控站的最少個數(shù)為帶形區(qū)域與球冠面積之比，即

其中，2α表示觀測站在距離為H的高空觀測區(qū)域所對應(yīng)的圓心角，λ為衛(wèi)星或飛船的運行軌道與地球赤道平面的夾角。神七軌道平面與地球赤道平面的夾角是42.2度，距地面343km，覆蓋這個區(qū)域至少需要55個觀測站。

3.3 問題三

根據(jù)世界地圖及神舟七號測控通信系統(tǒng)分布圖，我們對其中的測控站進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)所成圖形近似正弦函數(shù)的曲線。對此，我們試作以下分析，飛船的運行軌道在地球表面上的投影應(yīng)大致服從正弦曲線分布。測控站的作用是為了能夠更清晰更準(zhǔn)確地了解飛船運行的具體情況，故測控站應(yīng)分布在飛船的運行軌道在地球表面上的投影曲線上。通過查資料獲得神州七號飛船與赤道的夾角為42.2°，高度為343km，周期為90min，小于地球同步軌道運行的高度。由于測控站對飛船的測控范圍彼此會有重復(fù)，所以很難計算出測控站點對飛船所能測控的范圍，由于每一個測控站點在地球上的經(jīng)、緯度已知，所以我們將由地球經(jīng)緯網(wǎng)展開成的平面圖近似看成是網(wǎng)格圖，從而將空間測控范圍投影在地球經(jīng)緯網(wǎng)格圖上(見圖4)。我們可以通過計算各測控站點測控范圍的投影圓能覆蓋飛船矩形飛行區(qū)域(圖4南北緯42.2°之間)的最小覆蓋數(shù)，求得測控站點對神舟七號飛船所能測控的范圍。

我們把飛船矩形飛行區(qū)域長k1等分，寬k2等分(不足部分往外延伸)，則整個矩形區(qū)域被劃分成k1×k2個小正方形區(qū)域。經(jīng)計算

圖4 空間測控范圍投影在地球經(jīng)緯網(wǎng)格圖

4 結(jié)語

對于問題一，我們通過計算觀測區(qū)域的張角，得到了衛(wèi)星或飛船的運行軌道為圓形的情況下，對其進(jìn)行全程跟蹤測控的測控站數(shù)的計算方法。進(jìn)一步，把圓形軌道推廣到橢圓形軌道。問題二，論證了在地球自轉(zhuǎn)情況下，衛(wèi)星在地球表面投影為帶狀區(qū)域及觀測區(qū)域在地球表面的投影為球冠這一事實，并給出了最少測控站點數(shù)的計算方法。在問題3中，通過計算各測控站點測控范圍的投影圓能覆蓋飛船矩形飛行區(qū)域的最小覆蓋數(shù)，求得測控站點對神舟七號飛船所能測控的范圍。

［1］中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽［EB/OL］.www.mcm.edu.cn，2009.

［2］姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型［M］.3版.北京:高等教育出版社，2003.

［3］柳仲貴.衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)的動態(tài)范圍［J］.飛行器測控學(xué)報，2003，22(1):3.

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