劉 輝，白廣忱

（北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京 100191）

渦輪盤是航空發(fā)動機主要承力構件之一，隨著發(fā)動機推重比的增大，渦輪盤的設計應力水平逐漸提高，其使用壽命大大降低，而渦輪盤的低循環(huán)疲勞斷裂，往往會導致十分嚴重的后果。因此研究渦輪盤的低循環(huán)疲勞可靠性，對飛行安全具有重要意義。

疲勞壽命分析，有基于應力的和基于應變的兩種方法。基于應力的方法，最早被應用于疲勞分析，其以分析應力與壽命的關系為主，具有簡單易行的特點，能滿足一般結構設計分析要求。而基于應變的方法，在分析塑性應變起主要作用的低循環(huán)疲勞時具有優(yōu)勢。嚴格意義上的低循環(huán)疲勞故障，其疲勞斷裂周次小于疲勞過渡壽命，對于大多數(shù)用作壓氣機和渦輪盤的鈦合金和高溫合金，其疲勞過渡壽命僅為102～103循環(huán)之間。而航空發(fā)動機渦輪盤壽命，一般在103～105之間，因此，渦輪盤結構并不存在本質意義上的塑性應變損傷占主導的低循環(huán)疲勞[1]。本文分別利用基于應力和基于應變的疲勞可靠性分析方法，來計算航空發(fā)動機渦輪盤低循環(huán)疲勞壽命及可靠度，對兩種方法的計算結果進行了比較和分析。

1 疲勞壽命可靠性的兩種模型

渦輪盤疲勞可靠性問題，一般面臨解決兩類問題：一是具有一定可靠度的輪盤壽命是多少，二是一定輪盤壽命所具有的可靠度是多少。第一類問題，可用載荷壽命模型求解；而第二類問題，可用載荷強度模型求解[2]。

1.1 應力疲勞可靠性模型

應力與壽命的關系，一般由S-N曲線描述，不同存活率的S-N曲線構成P-S-N曲線。目前在疲勞可靠性設計中，常用的經驗公式有三種，其中如式(1)所示的三參數(shù)冪函數(shù)，具有較大的優(yōu)越性[3]。函數(shù)中的A、B、C均為常數(shù)，可由回歸分析得到，而傳統(tǒng)的同方差回歸分析，無法考慮到不同溫度和應力時其壽命分散性的差別，因此本文用異方差回歸分析的方法，回歸出所需的三參數(shù)冪函數(shù)。

由于疲勞實驗數(shù)據(jù)是在確定的應力比下得到的，但在實際的工程應用中，危險位置的應力比往往是變化的，所以要對得到的應力與壽命的關系進行修正，一般采用Goodman曲線，由式 σa/σ-1+σm/σb=1描述。

（1）應力壽命模型。應力壽命模型的可靠度表示為

Nσ為輪盤壽命，Nσ0為設計壽命。

輪盤壽命可由描述P-S-N曲線的三參數(shù)冪函數(shù)得到，函數(shù)中的應力項，可通過有限元計算得出。為了便于抽樣計算，首先可擬合出渦輪盤危險點的最大應力的響應面方程。根據(jù)數(shù)據(jù)手冊上的實驗數(shù)據(jù)[4]，進行異方差回歸，260℃時GH4133材料在置信度為0.5和0.95下的三參數(shù)冪函數(shù)分別表述為式(3)和式(4)：

計算出的應力經過Goodman曲線修正后，代入式(3)和式(4)，就可得到疲勞壽命。

（2）應力強度模型。應力強度模型的可靠度表示為

σN為應力強度，σt為應力載荷。

不同可靠度、不同置信度的應力強度，可由擬合的P-S-N曲線得到。給定壽命N后，可代入式(3)和式(4)，分別計算出置信度0.5和0.95下的應力強度，而應力載荷可由有限元計算得出，本文由渦輪盤危險點的最大應力的響應面方程得到。

1.2 應變疲勞可靠性模型

應變與壽命的關系由ε-N曲線描述，而基于存活率P的P-ε-N曲線能夠較好的描述材料在給定應變水平下的疲勞壽命的概率分布特性。用Mason-Coffin公式來擬合P-ε-N曲線在低循環(huán)疲勞壽命分析中應用較廣泛。異方差回歸的分析方法同樣可以應用在擬合P-ε-N曲線的過程中。

（1）應變壽命模型。應變壽命模型是以疲勞壽命為參數(shù)的可靠性模型，可靠度表示為

輪盤壽命可由經過平均應力修正的Mason-Coffin公式得到。對于GH4133材料，置信度水平0.5和0.95下，用Morrow修正項修正過的Mason-Coffin公式分別為式(7)和式(8)[2]。

式中的循環(huán)應變幅由有限元計算得出，同樣為了便于抽樣計算，可先擬合出渦輪盤危險點的最大應變的響應面方程。將計算得到的循環(huán)應變幅分別代入式(7)和式(8)，就可得到置信度0.5和0.95下的疲勞壽命。

（2）應變強度模型。應變強度模型的可靠度表示為

△εN為應變強度，△εt為應變載荷。

應變強度由P-ε-N曲線給出，在給定壽命N下，可將壽命N代入用Morrow修正項修正過的Mason-Coffin公式分別計算出置信度0.5和0.95下的應變強度。應變載荷可用有限元法計算，本文由響應面方程得到。

2 渦輪盤的應力應變計算

用于計算的渦輪盤的外形和有限元模型如圖1所示，為某發(fā)動機高壓一級渦輪盤，經過適當?shù)暮喕?，將其視為軸對稱模型，利用ANSYS進行溫度場及彈塑性分析，得知渦輪盤中心孔邊緣上一點應力最大，將此點定為危險點。渦輪盤所用材料為GH4133，最大工作轉速11 440 r/min。

圖1 渦輪盤外形和有限元模型

將計算過程中的渦輪盤前后側冷卻空氣溫度Tg2和Tg1、輪緣輪心溫度和Tmax、Tmin渦輪盤轉速ω和對應轉速均值時的輪緣均布載荷σw選為隨機變量，所選隨機變量均為正態(tài)分布，其均值和標準差如表1所示。

表1 隨機變量分布表

用中心復合因子法得到13組樣本點，用這13組參數(shù)重新進行有限元計算，分別擬合危險點的最大應力和應變變程二次響應面方程，即式(10)和式(11)。

3 渦輪盤壽命分布及可靠度計算

對應力壽命模型，由Monte-Carlo法對6個隨機變量抽樣1萬次，并代入模型計算得到了置信度為0.5和0.95下渦輪盤的疲勞壽命的分布（如圖2所示）?？梢钥闯?，疲勞壽命并不服從正態(tài)分布，而是明顯呈偏態(tài)分布。

圖2 置信度為0.5（左）和0.95（右）渦輪盤疲勞壽命分布

對應力強度模型，由Monte-Carlo法對6個隨機變量抽樣1萬次，并代入模型計算得到的可靠度隨循環(huán)數(shù)變化的結果如圖3所示，高置信度下的可靠度曲線，在低置信度下曲線的左側，且在循環(huán)數(shù)為2 000至6 000段內，可靠度相差較大，最大處相差近50%。

圖3 置信度為0.5和0.95的渦輪盤可靠度

對應變壽命模型，經過抽樣計算得到的置信度為0.5和0.95下的疲勞壽命的分布如圖4所示，疲勞壽命同樣不服從正態(tài)分布，而是呈明顯的偏態(tài)分布。

對應變強度模型，經過抽樣計算得到的可靠度隨循環(huán)數(shù)變化的結果如圖5所示，兩種置信度下可靠度曲線的位置與變化趨勢，均與應力強度模型相同；不同的是，應變強度模型在整個壽命區(qū)間上兩種置信度下，可靠度相差并不大，最大處僅為16.9%。這說明，與應力強度模型相比，應變強度模型對置信度不敏感。

將置信度為0.5時，不同模型對應不同可靠度水平的輪盤概率壽命列表比較，如表2所示。

表2 置信度為0.5時根據(jù)4種模型得到的渦輪盤壽命

可以看出，對應力壽命模型和應變壽命模型，可靠度為0.0013時，相對誤差為38.3%；可靠度為0.5時，相對誤差為29.4%；可靠度為0.9987時，相對誤差37.9%。對應力強度模型和應變強度模型，可靠度為0.0013時，相對誤差4.7%；可靠度為0.5時，相對誤差為29.0%；可靠度為0.9987時，相對誤差為35.4%。

可以看出，與兩種壽命模型不同，低可靠度時，兩種強度模型得到的渦輪盤壽命相差不大，而隨著可靠度的提高，兩種強度模型得到的渦輪盤壽命之差逐漸增大?？傮w上無論是兩種壽命模型還是兩種強度模型，都呈現(xiàn)出低可靠度時，基于應力模型的渦輪盤壽命較安全；而高可靠度時，基于應變模型的渦輪盤壽命較安全。同樣的，無論是基于應力的模型，還是基于應變的模型，也都呈現(xiàn)出低可靠度時，根據(jù)壽命模型得到的的渦輪盤壽命較安全；而高可靠度時，根據(jù)強度模型得到的渦輪盤壽命較安全。但是可靠度大于0.5時，同樣基于應力或基于應變的壽命模型和強度模型得到的渦輪盤壽命，均相差不超過5%，這說明，預估中高可靠度的渦輪盤壽命時，采用壽命模型或強度模型，得到的是相似的結果。

圖6 置信度為0.5和0.95應力壽命與應變壽命模型計算得到的渦輪盤可靠度

置信度分別為0.5和0.95時，使用應力壽命與應變壽命模型計算得到的渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠度隨循環(huán)數(shù)的變化如圖6所示。以應變壽命模型的計算結果為基準，置信度為0.5和0.95時，兩種模型得到的可靠度差值如圖7所示。

圖7 置信度為0.5(左)和0.95(右)應力壽命與應變壽命模型計算得到的渦輪盤可靠度之差

圖8 置信度為0.5和0.95應力強度與應變強度模型計算得到的可靠度

置信度分別為0.5和0.95時，使用應力強度與應變強度模型計算得到的渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠度隨循環(huán)數(shù)的變化，如圖8所示。以應變強度模型的計算結果為基準，置信度為0.5和0.95時，兩種模型得到的可靠度差值如圖9所示。

圖9 置信度為0.5(左)和0.95(右)應力強度與應變強度模型計算得到的可靠度之差

由圖6和圖7可以看出，置信度為0.5時，應力壽命模型與應變壽命模型得到的渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠度差別較大，尤其是在循環(huán)數(shù)2 000至5 000區(qū)間上，應力壽命模型的可靠度，明顯高于應變壽命模型的可靠度，且相差均超過0.1，最大絕對誤差為0.251 2，相對誤差為46.4%。置信度為0.95時，應力壽命模型與應變壽命模型得到的渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠度差別較小，在整個低循環(huán)區(qū)間上，絕對誤差均小于0.1，絕對誤差最大達到0.065 2，此時的相對誤差只有8.36%?？紤]到P-S-N及P-ε-N曲線在低循環(huán)區(qū)間上的擬合誤差、渦輪盤危險點處最大應力和循環(huán)應變幅的響應面方程的擬合誤差及數(shù)值計算過程中產生的計算誤差，高置信度時，計算結果的相似，可以說明應力壽命模型和應變壽命模型均可用于計算渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠度。

圖8與圖6相似，而圖9與圖7相似，這也能說明采用壽命模型和強度模型能得到相似的結果。而由圖8和圖9的可以看出，高置信度下應力強度模型與應變強度模型得到的可靠度，在整個低循環(huán)區(qū)間上仍然相差較小，考慮到基于應變的渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠性分析不僅需要應力分析、材料的P-ε-N曲線數(shù)據(jù)，還需要材料的循環(huán)應力應變關系曲線數(shù)據(jù)，相對來說，基于應力的分析方法成本較小，所以可以采用基于應力的疲勞可靠性分析方法，來分析渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠性。

4 結束語

本文對比了基于應力和基于應變的疲勞可靠性分析方法在渦輪盤低循環(huán)疲勞分析中的應用?；趹Φ姆治龇椒?，在高置信度下，和基于應變的分析方法具有相近的計算結果?；趹Φ钠诳煽啃苑治瞿Ｐ秃唵?，理論成熟，避開了復雜的循環(huán)應力應變分析，為渦輪盤低循環(huán)疲勞壽命預測與可靠性分析提供了另一種思路。

[1]陶春虎，鐘培道，王仁智，等.航空發(fā)動機轉動部件的實效與預防[M].北京：國防工業(yè)出版社，2000.

[2]高 陽.航空發(fā)動機渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠性分析[D].北京：北京航空航天大學，2009.

[3]高鎮(zhèn)同，熊俊江.疲勞可靠性[M].北京：北京航空航天大學出版社，2000.

[4]北京航空材料研究所.航空發(fā)動機計算用材料數(shù)據(jù)手冊[K].北京：國防工業(yè)出版社，1989.